Bright educational banner featuring 'MATH' in green letters with school supplies illustration.

de Echipa Școala Virtuală5 septembrie 2026

Pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor

Q: Ce fac dacă enunțul îmi dă ecuația dreptei sub forma y = kx + n, nu ax + by + c = 0?

O rescrii. Din y=kx+n treci la kx−y+n=0 . De exemplu, y=2x+3 devine 2x−y+3=0 . Acum ai coeficienții a=2 , b=−1 , c=3 și poți aplica formula distanței fără nicio problemă. E un pas în plus, dar simplu.

Ai un cerc desenat pe foaie și o dreaptă care trece prin el — sau poate nu trece, sau abia îl atinge. Cum știi exact ce se întâmplă acolo? Asta-i întrebarea de la care pornesc pozițiile relative ale unei drepte și ale cercurilor, și îți promit că e mult mai simplă decât pare la prima vedere. Practic, totul se reduce la o singură comparație: distanța de la centrul cercului la dreaptă față de raza cercului. Atât. Nu-i nicio magie, nu-i nicio formulă complicată ascunsă undeva. Dacă știi să compari două numere, știi deja esența acestui capitol. Hai să vedem împreună cum funcționează fiecare caz și de ce logica din spatele lui e, de fapt, simplă.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege cele trei poziții posibile ale unei drepte față de un cerc și ce le diferențiază
Vei ști să calculezi distanța de la centrul cercului la o dreaptă și să o compari cu raza
Vei recunoaște rapid în orice exercițiu dacă dreapta este secantă, tangentă sau exterioară
Vei ști să eviți cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest capitol

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Cele trei poziții posibile — despre ce vorbim, de fapt

Imaginează-ți un cerc desenat pe foaie — ca un inel. Acum ia un creion și trage o linie dreaptă oriunde pe foaie. Se pot întâmpla exact trei lucruri: linia nu atinge cercul deloc, linia atinge cercul într-un singur punct, sau linia intră în cerc și iese prin cealaltă parte — adică îl taie în două puncte. Aceste trei situații au nume: dreaptă exterioară, dreaptă tangentă și dreaptă secantă. Cum le distingem? Folosim distanța de la centrul cercului la dreaptă — să o numim $d$ — și o comparăm cu raza $r$ . Dacă $d > r$ , dreapta e exterioară. Dacă $d = r$ , e tangentă. Dacă $d < r$ , e secantă. Simplu ca bună ziua, odată ce îl vezi o dată.

💡 Regula de bază

Fie un cerc cu centrul $O$ și raza $r$ , și o dreaptă $d$ . Notăm cu $d (O, dreaptă)$ distanța de la centru la dreaptă. Dacă $d (O, dreaptă) > r$ → dreaptă exterioară (zero puncte comune). Dacă $d (O, dreaptă) = r$ → dreaptă tangentă (un singur punct comun). Dacă $d (O, dreaptă) < r$ → dreaptă secantă (două puncte comune).

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Cercul $𝒞$ are centrul $O (3, 0)$ și raza $r = 5$ . Dreapta $d$ are ecuația $4 x - 3 y + 10 = 0$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

🔢 Rezolvare

d (O, d) = \frac{| 4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 + 10 |}{\sqrt{4^{2} + {(- 3)}^{2}}}

d (O, d) = \frac{| 12 - 0 + 10 |}{\sqrt{16 + 9}}

d (O, d) = \frac{| 22 |}{\sqrt{25}} = \frac{22}{5} = 4,4

d (O, d) = 4,4 < 5 = r \Rightarrow dreapta este secantă cercului

✅ Explicație

Formula distanței de la un punct la o dreaptă e cheia întregului exercițiu. Bag coordonatele centrului în formulă, calculez pas cu pas — atenție la modulul de la numărător și la radical la numitor — și obțin $4,4$ . Compar cu $r = 5$ : distanța e mai mică decât raza, deci dreapta intră în interiorul cercului și îl taie în două puncte. Secantă.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Uiți modulul de la numărătorul formulei distanței. Scrii $4 \cdot 3 - 3 \cdot 0 + 10 = 22$ și continui — merge. Dar dacă iese negativ și nu pui modulul, obții o distanță negativă, ceea ce e imposibil. Distanța nu poate fi niciodată negativă.

✅ Corect: Pune întotdeauna valoarea absolută la numărător: $\frac{| a x_{0} + b y_{0} + c |}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ . Chiar dacă rezultatul e pozitiv oricum, obișnuiește-te cu modulul — te salvează când numerele ies negative.

❌ Greșeala #2: Confunzi raza cu diametrul. Dacă enunțul spune că diametrul cercului e 10, unii iau direct $r = 10$ și compară cu distanța calculată. Rezultatul iese complet greșit.

✅ Corect: Dacă știi diametrul $D$ , raza e $r = \frac{D}{2}$ . Verifică mereu ce îți dă enunțul — rază sau diametru — înainte să calculezi orice.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Cercul $𝒞$ are centrul $O (0, 0)$ și raza $r = 3$ . Dreapta $d$ are ecuația $x = 5$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Vezi rezolvarea pas cu pas

d (O, d) = \frac{| 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 - 5 |}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}}

d (O, d) = \frac{| - 5 |}{1} = 5

5 > 3 = r \Rightarrow dreapta este exterioară cercului

Dreapta $x = 5$ se poate scrie ca $1 \cdot x + 0 \cdot y - 5 = 0$ . Distanța de la origine la această dreaptă e pur și simplu 5, adică exact valoarea de pe axa $O x$ unde se află dreapta. Cum $5 > 3$ , dreapta nu atinge cercul.

Răspuns: Dreapta este exterioară cercului.

Exercițiul 2. Cercul $𝒞$ are centrul $O (0, 0)$ și raza $r = 5$ . Dreapta $d$ are ecuația $3 x + 4 y - 25 = 0$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Vezi rezolvarea pas cu pas

d (O, d) = \frac{| 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 25 |}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}}

d (O, d) = \frac{| - 25 |}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{25}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5

5 = 5 = r \Rightarrow dreapta este tangentă cercului

Distanța calculată e exact egală cu raza — asta înseamnă că dreapta atinge cercul în exact un singur punct, fără să intre în el. E definiția perfectă a tangentei.

Răspuns: Dreapta este tangentă cercului.

Exercițiul 3. Cercul $𝒞$ are centrul $O (2, 1)$ și raza $r = 4$ . Dreapta $d$ are ecuația $y = 1$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Scriem dreapta ca: 0 \cdot x + 1 \cdot y - 1 = 0

d (O, d) = \frac{| 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 - 1 |}{\sqrt{0^{2} + 1^{2}}}

d (O, d) = \frac{| 0 |}{1} = 0

0 < 4 = r \Rightarrow dreapta este secantă cercului

Distanța e 0 — asta înseamnă că dreapta trece chiar prin centrul cercului. O dreaptă care trece prin centru e secantă și, mai mult, taie cercul în două puncte diametral opuse. E cel mai "adânc" caz de secantă posibil.

Răspuns: Dreapta este secantă cercului (trece prin centru).

Exercițiul 4. Cercul $𝒞$ are centrul $O (1, - 2)$ și raza $r = 3$ . Dreapta $d$ are ecuația $5 x + 12 y + 10 = 0$ . Determină poziția relativă a dreptei față de cerc.

Vezi rezolvarea pas cu pas

d (O, d) = \frac{| 5 \cdot 1 + 12 \cdot (- 2) + 10 |}{\sqrt{5^{2} + 12^{2}}}

d (O, d) = \frac{| 5 - 24 + 10 |}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{| - 9 |}{\sqrt{169}}

d (O, d) = \frac{9}{13} \approx 0,69

0,69 < 3 = r \Rightarrow dreapta este secantă cercului

Calculul e puțin mai lung, dar pașii sunt identici. Atenție la $12 \cdot (- 2) = - 24$ — semnele negative sunt locul unde se fac cele mai multe greșeli. Modulul de la final salvează totul: $| - 9 | = 9$ .

Răspuns: Dreapta este secantă cercului.

Exercițiul 5. Provocare: Determină valorile lui $m$ pentru care dreapta $d : m x - y + m + 1 = 0$ este tangentă la cercul cu centrul $O (1, 2)$ și raza $r = \sqrt{2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

d (O, d) = \frac{| m \cdot 1 - 1 \cdot 2 + m + 1 |}{\sqrt{m^{2} + {(- 1)}^{2}}} = r = \sqrt{2}

\frac{| m - 2 + m + 1 |}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{2}

\frac{| 2 m - 1 |}{\sqrt{m^{2} + 1}} = \sqrt{2}

{(2 m - 1)}^{2} = 2 (m^{2} + 1)

4 m^{2} - 4 m + 1 = 2 m^{2} + 2

2 m^{2} - 4 m - 1 = 0

m = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2 \sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}

Condiția de tangență înseamnă că distanța de la centru la dreaptă trebuie să fie exact egală cu raza. Scriem asta ca ecuație, ridicăm la pătrat ca să scăpăm de modul și de radical, și rezolvăm ecuația de gradul al doilea care rezultă. Două valori ale lui $m$ → două drepte tangente distincte.

Răspuns: $m = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$ sau $m = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

Întrebări frecvente

Ce fac dacă enunțul îmi dă ecuația dreptei sub forma y = kx + n, nu ax + by + c = 0?

O rescrii. Din $y = k x + n$ treci la $k x - y + n = 0$ . De exemplu, $y = 2 x + 3$ devine $2 x - y + 3 = 0$ . Acum ai coeficienții $a = 2$ , $b = - 1$ , $c = 3$ și poți aplica formula distanței fără nicio problemă. E un pas în plus, dar simplu.

Poate o dreaptă să fie tangentă la cerc din interior?

Nu. Tangenta înseamnă că dreapta atinge cercul într-un singur punct și nu intră în interior. O dreaptă infinită nu poate fi "în interiorul" unui cerc — ea se întinde în ambele direcții. Deci tangenta e mereu din exterior, la un singur punct de contact. Conceptul de tangentă "interioară" există doar pentru două cercuri, nu pentru dreaptă și cerc.

Cum știu dacă am calculat corect distanța, fără să refac tot exercițiul?

Verifică rapid: înlocuiește coordonatele centrului în ecuația dreptei și uită-te ce iese. Dacă rezultatul e 0, dreapta trece prin centru — deci e secantă cu distanța 0. Dacă nu e 0, împarte valoarea absolută a rezultatului la $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Poți verifica și grafic, dacă desenezi cercul și dreapta aproximativ.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 19. Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc. Pozițiile relative a două cercuri..

Exersează cu fișa de lucru: Pozițiile relative ale unei drepte față de un cerc — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună