Young student writing math equations in a notebook at school desk.

de Echipa Școala Virtuală5 septembrie 2026

Proporții matematice: formulă + 5 exerciții rezolvate

Ai văzut vreodată un enunț de genul „dacă 3 kg de mere costă 15 lei, cât costă 7 kg?" și te-ai blocat imediat? Nu pentru că ești rău la matematică. Ci pentru că nimeni nu ți-a arătat cum gândești problema, nu doar cum o scrii. Proporțiile matematice apar exact în situații ca asta — la magazin, când împarți ceva cu prietenii, când calculezi dacă îți ajung banii pentru mai multe bilete. Practic, de fiecare dată când două rapoarte sunt egale, dai de o proporție. Și știu că asta sună sec acum. Dar după ce parcurgem împreună exemplele de mai jos, o să recunoști proporțiile instantaneu — în orice exercițiu și în orice situație reală.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este o proporție și cum o recunoști
Vei ști să folosești proprietatea fundamentală a proporțiilor
Vei ști să găsești termenul necunoscut dintr-o proporție
Vei înțelege greșelile cele mai frecvente și cum le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, o proporție?

Hai să zicem că ai două rapoarte: $\frac{3}{6}$ și $\frac{5}{10}$ . Le calculezi și obții de fiecare dată $\frac{1}{2}$ . Sunt egale. Asta-i o proporție — două rapoarte egale. Simplu. Termenul oficial sună mai complicat, dar ideea e exact asta: scriem $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ și spunem că $a$ , $b$ , $c$ , $d$ sunt în proporție. Numerele $a$ și $d$ se numesc extremii proporției, iar $b$ și $c$ se numesc medii. Nu trebuie să memorezi termenii din prima — îi vei reține natural când faci exerciții. Ce contează acum e ideea: proporția înseamnă că două rapoarte sunt egale. Și de acolo derivă tot ce urmează.

💡 Regula de bază

Dacă $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , atunci $a \cdot d = b \cdot c$ . Adică produsul extremilor este egal cu produsul mediilor. Asta-i proprietatea fundamentală a proporțiilor — și cu ea rezolvi aproape orice problemă de acest tip.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Dacă $\frac{x}{5} = \frac{12}{20}$ , află valoarea lui $x$ .

🔢 Rezolvare

\frac{x}{5} = \frac{12}{20}

x \cdot 20 = 5 \cdot 12

20 x = 60

x = \frac{60}{20} = 3

✅ Explicație

Am aplicat proprietatea fundamentală: extremii ( $x$ și $20$ ) înmulțiți între ei dau același rezultat ca mediile ( $5$ și $12$ ) înmulțite între ele. Din acel moment e o ecuație simplă — împarți ambii termeni la $20$ și afli $x$ . Nimic magic, doar o balanță pe care o echilibrezi.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Înmulțești greșit — pui $a \cdot c = b \cdot d$ în loc de $a \cdot d = b \cdot c$ . Adică înmulțești numărătorul cu numărătorul și numitorul cu numitorul, ca la înmulțirea fracțiilor. Aici nu-i înmulțire de fracții, e proporție. Regulile sunt diferite și asta îi încurcă pe mulți.

✅ Corect: La proporție, înmulțești în cruce: extremul stâng cu extremul drept, mediul stâng cu mediul drept. Adică $a \cdot d = b \cdot c$ . Imaginează-ți un X desenat peste proporție — asta îți arată ce înmulțești cu ce.

❌ Greșeala #2: Uiți să verifici dacă proporția este corectă după ce ai găsit $x$ . Pui răspunsul și treci mai departe. Dar dacă ai greșit undeva la calcul, nu o să afli niciodată.

✅ Corect: Înlocuiești valoarea găsită înapoi în proporție și verifici că cele două rapoarte sunt într-adevăr egale. Durează 20 de secunde și îți salvează nota.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Verifică dacă $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ este o proporție.

Vezi rezolvarea pas cu pas

4 \cdot 9 = 36

6 \cdot 6 = 36

36 = 36 \Rightarrow DA, este proporție

Aplici proprietatea fundamentală: înmulțești în cruce. Dacă produsele sunt egale, proporția este adevărată. Aici ambele produse dau 36, deci e proporție.

Răspuns: Da, $\frac{4}{6} = \frac{6}{9}$ este o proporție.

Exercițiul 2. Află $x$ dacă $\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

x \cdot 12 = 4 \cdot 9

12 x = 36

x = \frac{36}{12} = 3

Înmulțești în cruce, obții o ecuație simplă, împarți la coeficientul lui $x$ . Verificare: $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ — ambele simplificate dau $\frac{3}{4}$ . Corect.

Răspuns: $x = 3$

Exercițiul 3. Dacă 5 caiete costă 30 de lei, cât costă 8 caiete? Rezolvă folosind proporții.

Vezi rezolvarea pas cu pas

\frac{5}{30} = \frac{8}{x}

5 \cdot x = 30 \cdot 8

5 x = 240

x = \frac{240}{5} = 48

Scrii proporția astfel: caiete la caiete, lei la lei. Înmulțești în cruce și obții prețul pentru 8 caiete. Asta e exact cum funcționează proporțiile în viața reală — nu sunt matematică abstractă.

Răspuns: 8 caiete costă 48 de lei.

Exercițiul 4. Află $x$ și $y$ știind că $\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{24}{15}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

\frac{24}{15} = \frac{8}{5}

\frac{x}{3} = \frac{8}{5} \Rightarrow x \cdot 5 = 3 \cdot 8 \Rightarrow 5 x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{5}

\frac{y}{5} = \frac{8}{5} \Rightarrow y \cdot 5 = 5 \cdot 8 \Rightarrow 5 y = 40 \Rightarrow y = 8

Primul pas e să simplifici raportul cunoscut. De acolo tratezi fiecare proporție separat, ca și cum ai rezolva câte un exercițiu de tip 2. Lucrul pe etape îți salvează mult timp.

Răspuns: $x = \frac{24}{5}$ , $y = 8$

Exercițiul 5. Provocare: Suma a două numere este 91. Ele sunt proporționale cu 4 și 7. Află cele două numere.

Vezi rezolvarea pas cu pas

\frac{a}{4} = \frac{b}{7} = k

a = 4 k, b = 7 k

a + b = 91 \Rightarrow 4 k + 7 k = 91

11 k = 91 \Rightarrow k = \frac{91}{11} = \frac{91}{11}

k = \frac{91}{11}

Stai — hai să verificăm dacă 91 se împarte exact la 11.

91 \div 11 = \frac{91}{11}

De fapt,

11 \times 8 = 88

și

11 \times 9 = 99

, deci 91 nu se împarte exact la 11. Asta înseamnă că enunțul generează rezultate fracționare — ceea ce e posibil, dar hai să folosim numere mai curate. Rezolvarea continuă astfel:

k = \frac{91}{11}

a = 4 \cdot \frac{91}{11} = \frac{364}{11} \approx 33,09

b = 7 \cdot \frac{91}{11} = \frac{637}{11} \approx 57,9

Verificare:

\frac{364}{11} + \frac{637}{11} = \frac{1001}{11} = 91

. Corect.

Trucul la astfel de probleme e să introduci un „factor comun" $k$ . Scrii $a = 4 k$ și $b = 7 k$ , folosești condiția de sumă și afli $k$ . De acolo calculezi ambele numere. Greșeala clasică e să începi cu proporția fără să introduci $k$ — și te blochezi instant.

Răspuns: $a = \frac{364}{11}$ , $b = \frac{637}{11}$

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre raport și proporție?

Un raport e pur și simplu o fracție — compari două mărimi, ca $\frac{3}{4}$ . O proporție e o egalitate între două rapoarte: $\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ . Adică raportul e o singură expresie, proporția e o relație între două astfel de expresii. Practic, proporția spune că două rapoarte au aceeași valoare.

Pot aplica proporțiile când nu știu ce termen lipsește?

Da, exact asta e frumusețea lor. Indiferent care dintre cei patru termeni lipsește — $a$ , $b$ , $c$ sau $d$ — aplici aceeași proprietate fundamentală: $a \cdot d = b \cdot c$ . Identifici care e necunoscuta, o notezi cu $x$ și rezolvi ecuația. Metoda e mereu aceeași, indiferent de poziția lui $x$ .

De ce trebuie să scriu proporția în ordine? Contează poziția termenilor?

Da, contează enorm. Dacă amesteci unitățile — pui kg la numărător în stânga și lei la numărător în dreapta — obții o proporție greșită și răspunsul va fi complet aiurea. Regula simplă: aceeași unitate de măsură trebuie să fie mereu în aceeași poziție în ambele rapoarte. Verifică asta înainte să calculezi orice.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Proporții..

Exersează cu fișa de lucru: Proporții — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună