A student writes geometric formulas by hand in a notebook on a desk.

de Echipa Școala Virtuală6 septembrie 2026

Puterea unui număr rațional: formulă + 5 exerciții rezolvate

Q: De ce orice număr rațional nenul la puterea 0 este egal cu 1?

Hai să gândim logic. Știm că (ab)n÷(ab)n=1 , orice număr împărțit la el însuși. Dar la puteri, împărțirea înseamnă scăderea exponenților: n−n=0 . Deci (ab)0=1 . Nu e o regulă inventată din senin — e o consecință directă a modului în care funcționează puterile.

Ai văzut vreodată o expresie de genul ${(\frac{2}{3})}^{4}$ și te-ai întrebat ce vrea de la tine? Poate ai ridicat numere întregi la putere și ai zis "okay, asta știu" — dar când apare o fracție acolo, creierul tău a frânat brusc. Știu senzația. Puterea unui număr rațional pare complicată la prima vedere tocmai pentru că arată diferit. De fapt, e același mecanism pe care deja îl știi — doar că se aplică în două locuri în loc de unul. Numărătorul se ridică la putere, numitorul se ridică la putere. Atât. Tot ce vom face aici e să despachetăm asta corect, să vedem unde greșesc aproape toți și să exersăm cu câteva exerciții concrete, pas cu pas.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă puterea unui număr rațional și cum se calculează
Vei ști să aplici formula corect atât pentru puteri pozitive, cât și pentru puterea zero
Vei recunoaște greșelile cele mai frecvente și vei ști cum să le eviți
Vei rezolva singur 5 exerciții de dificultate crescătoare, cu rezolvări complete

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, puterea unui număr rațional

Să zicem că ai $\frac{2}{3}$ și vrei să îl ridici la puterea 3. Ce înseamnă asta? Practic, înmulțești acel număr cu el însuși de 3 ori. Adică $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3}$ . Când înmulțești fracții, înmulțești numărătorii între ei și numitorii între ei — asta știi deja. Deci obții $\frac{2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3}$ , adică $\frac{2^{3}}{3^{3}}$ . Uite că ai ajuns la regulă fără să ți-o spun eu. Puterea unui număr rațional nu e un concept nou, straniu. E o consecință directă a regulii de înmulțire a fracțiilor pe care o știi deja. Practic ridici separat numărătorul la acea putere și numitorul la acea putere.

💡 Regula de bază

Dacă $\frac{a}{b}$ este un număr rațional și $n$ este un număr natural nenul, atunci: ${(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}$ Numărătorul și numitorul se ridică separat la puterea $n$ . Un caz special: orice număr rațional nenul ridicat la puterea 0 este egal cu 1.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează ${(\frac{- 3}{4})}^{3}$ .

🔢 Rezolvare

{(\frac{- 3}{4})}^{3} = \frac{{(- 3)}^{3}}{4^{3}}

= \frac{(- 3) \times (- 3) \times (- 3)}{4 \times 4 \times 4}

= \frac{- 27}{64}

✅ Explicație

Am aplicat regula: numărătorul $- 3$ la puterea 3, numitorul $4$ la puterea 3. Atenție la semnul numărătorului — un număr negativ ridicat la o putere impară rămâne negativ. Dacă puterea ar fi fost 2 sau 4, rezultatul ar fi ieșit pozitiv. Ăsta e punctul în care greșesc cei mai mulți — nu semnul fracției, ci semnul numărătorului la putere.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii ridică la putere doar numărătorul și uită numitorul. De exemplu, scriu ${(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{16}{3}$ în loc de $\frac{16}{81}$ .

✅ Corect: Ambele — numărătorul și numitorul — se ridică la aceeași putere. ${(\frac{2}{3})}^{4} = \frac{2^{4}}{3^{4}} = \frac{16}{81}$ . Gândește-te că fracția e un întreg — tot ce e înăuntru se ridică la putere.

❌ Greșeala #2: Confuzia cu semnul la numere negative. Mulți scriu ${(- 2)}^{2} = - 4$ în loc de $4$ , pentru că "simt" că negativul rămâne negativ indiferent de putere.

✅ Corect: Număr negativ la putere pară → rezultat pozitiv. Număr negativ la putere impară → rezultat negativ. ${(- 2)}^{2} = (- 2) \times (- 2) = 4$ . ${(- 2)}^{3} = (- 2) \times (- 2) \times (- 2) = - 8$ . Ține minte asta și jumătate din greșeli dispar.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Calculează ${(\frac{1}{2})}^{4}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

{(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{1^{4}}{2^{4}}

= \frac{1}{16}

Numărătorul 1 ridicat la orice putere rămâne 1. Numitorul 2 ridicat la puterea 4 înseamnă $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ . Simplu și curat.

Răspuns: $\frac{1}{16}$

Exercițiul 2. Calculează ${(\frac{3}{5})}^{2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

{(\frac{3}{5})}^{2} = \frac{3^{2}}{5^{2}}

= \frac{9}{25}

Ridici separat: $3^{2} = 9$ la numărător, $5^{2} = 25$ la numitor. Fracția nu se mai poate simplifica — 9 și 25 nu au divizori comuni în afară de 1.

Răspuns: $\frac{9}{25}$

Exercițiul 3. Calculează ${(\frac{- 2}{5})}^{3}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

{(\frac{- 2}{5})}^{3} = \frac{{(- 2)}^{3}}{5^{3}}

= \frac{(- 2) \times (- 2) \times (- 2)}{5 \times 5 \times 5}

= \frac{- 8}{125}

Puterea 3 e impară, deci numărătorul negativ rămâne negativ: ${(- 2)}^{3} = - 8$ . Numitorul iese întotdeauna pozitiv — $5^{3} = 125$ .

Răspuns: $\frac{- 8}{125}$

Exercițiul 4. Calculează ${(\frac{- 3}{4})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{3}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

{(\frac{- 3}{4})}^{2} = \frac{{(- 3)}^{2}}{4^{2}} = \frac{9}{16}

{(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1^{3}}{2^{3}} = \frac{1}{8}

\frac{9}{16} + \frac{1}{8} = \frac{9}{16} + \frac{2}{16} = \frac{11}{16}

Am calculat fiecare putere separat, apoi am adunat. Pentru adunare, am adus fracțiile la același numitor — 16. $\frac{1}{8} = \frac{2}{16}$ . De acum, adunăm doar numărătorii.

Răspuns: $\frac{11}{16}$

Exercițiul 5. Provocare: Calculează ${(\frac{- 2}{3})}^{4} - {(\frac{- 2}{3})}^{3} + {(\frac{- 2}{3})}^{0}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

{(\frac{- 2}{3})}^{4} = \frac{{(- 2)}^{4}}{3^{4}} = \frac{16}{81}

{(\frac{- 2}{3})}^{3} = \frac{{(- 2)}^{3}}{3^{3}} = \frac{- 8}{27} = \frac{- 24}{81}

{(\frac{- 2}{3})}^{0} = 1 = \frac{81}{81}

\frac{16}{81} - \frac{- 24}{81} + \frac{81}{81} = \frac{16 + 24 + 81}{81} = \frac{121}{81}

Trei lucruri de ținut minte aici. Puterea 4 e pară → numărătorul iese pozitiv. Puterea 3 e impară → numărătorul iese negativ, deci $\frac{- 8}{27}$ . Scăzând o fracție negativă, aceasta devine adunare. Și orice număr rațional nenul la puterea 0 este 1 — l-am transformat în $\frac{81}{81}$ ca să avem același numitor.

Răspuns: $\frac{121}{81}$

Întrebări frecvente

De ce orice număr rațional nenul la puterea 0 este egal cu 1?

Hai să gândim logic. Știm că ${(\frac{a}{b})}^{n} \div {(\frac{a}{b})}^{n} = 1$ , orice număr împărțit la el însuși. Dar la puteri, împărțirea înseamnă scăderea exponenților: $n - n = 0$ . Deci ${(\frac{a}{b})}^{0} = 1$ . Nu e o regulă inventată din senin — e o consecință directă a modului în care funcționează puterile.

Puterea unui număr rațional poate fi mai mare decât numărul original?

Da, poate — depinde de număr. Dacă fracția e subunitară (adică mai mică decât 1, cum e $\frac{1}{2}$ ), ridicând-o la putere obții un număr și mai mic. Dacă e supraunitară (cum e $\frac{5}{3}$ ), ridic-o la putere și crește. Asta îi surprinde pe mulți. ${(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ — a scăzut, nu a crescut.

Trebuie să simplific fracția înainte sau după ce o ridic la putere?

Poți face în ambele ordine — rezultatul e același. De obicei e mai ușor să simplifici înainte, pentru că lucrezi cu numere mai mici. De exemplu, ${(\frac{4}{6})}^{2}$ — simplifici mai întâi la ${(\frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ , în loc să calculezi $\frac{16}{36}$ și să simplifici după. Mai puține calcule, aceeași valoare.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 10. Puterea cu exponent întreg a unui număr rațional nenul. Reguli de calcul cu puteri..

Exersează cu fișa de lucru: Puterea cu exponent întreg a unui număr rațional nenul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună