de Echipa Școala Virtuală8 septembrie 2026

Relații între mulțimi: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Q: Care e diferența dintre ∈ și ⊆?

∈ se folosește pentru un element față de o mulțime: 3∈A înseamnă că numărul 3 face parte din mulțimea A . ⊆ se folosește între două mulțimi: A⊆B înseamnă că toată mulțimea A e „în interiorul" lui B . Practic, ∈ e pentru un obiect singular, ⊆ e pentru un grup întreg.

Q: De ce mulțimea vidă e submulțime a oricărei mulțimi?

Pare ciudat, știu. Logica e asta: ca să spui că ∅⊈A , ar trebui să găsești un element din ∅ care să nu fie în A . Dar ∅ nu are niciun element — deci nu poți găsi un contraexemplu. Fără contraexemplu, incluziunea rămâne adevărată. E un raționament logic, nu intuitiv.

Q: Cum calculez câte submulțimi are o mulțime?

Formula e simplă: dacă mulțimea are n elemente, atunci are 2n submulțimi. De exemplu, o mulțime cu 3 elemente are 23=8 submulțimi. Nu uita că mulțimea vidă și mulțimea însăși se numără mereu — sunt și ele submulțimi.

Ai văzut vreodată o diagramă cu două cercuri care se suprapun și te-ai întrebat ce vrea să îți spună? Probabil da. Relațiile între mulțimi par la prima vedere o chestie abstractă, fără legătură cu nimic real. De fapt, le folosești tot timpul — când îți dai seama că toți colegii tăi de clasă sunt și locuitori ai aceluiași oraș, sau când separi jocurile video pe care le ai tu față de cele pe care le are fratele tău. Asta e tot ce înseamnă o relație între mulțimi: o legătură clară între două grupuri de lucruri. Hai să vedem împreună cum funcționează, de unde vin simbolurile alea ciudate și de ce nu e chiar atât de complicat pe cât pare la prima citire.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă incluziunea și egalitatea dintre două mulțimi
Vei ști să recunoști când o mulțime este submulțime a alteia
Vei înțelege cum arată diagramele Venn și ce îți spun ele
Vei ști să rezolvi exerciții cu relații între mulțimi fără să te blochezi la simboluri

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este o relație între mulțimi?

Să zicem că ai două grupuri: grupa A cu elevii care joacă fotbal și grupa B cu elevii din clasa ta. Poți să compari aceste două grupe — poate toți fotbaliștii sunt și în clasa ta, poate doar unii, poate niciunul. Asta e o relație între mulțimi: o descriere clară a legăturii dintre două grupuri. Practic, matematica a inventat simboluri scurte pentru a exprima aceste legături, în loc să scriem totul în cuvinte. Sunt trei relații principale pe care trebuie să le știi: incluziunea (o mulțime e „în interiorul" alteia), egalitatea (cele două mulțimi au exact aceleași elemente) și apartenența (un element face parte dintr-o mulțime). De fapt, le știai deja — le exprimai doar în cuvinte.

💡 Regula de bază

O mulțime $A$ este submulțime a mulțimii $B$ (scriem $A \subseteq B$ ) dacă orice element din $A$ se găsește și în $B$ . Dacă $A \subseteq B$ și $B \subseteq A$ , atunci $A = B$ . Mulțimea vidă $\emptyset$ este submulțime a oricărei mulțimi.

Cum recunoști submulțimea — gândind cu voce tare

Okay, ai $A = {1, 2, 3}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Întrebarea e: este $A$ submulțime a lui $B$ ? Verifici element cu element. Unu — e în $B$ ? Da. Doi — e în $B$ ? Da. Trei — e în $B$ ? Da. Gata. Fiecare element din $A$ există și în $B$ , deci $A \subseteq B$ . Simplu. Acum întoarcem: este $B$ submulțime a lui $A$ ? Verifici. Patru — e în $A$ ? Nu. Stop. Nu mai trebuie să verifici nimic altceva — ai găsit un element din $B$ care nu e în $A$ , deci $B \subseteq̸ A$ . Adică $B$ e mai „mare" decât $A$ și nu încape în el. Asta se numește incluziune strictă și se scrie $A \subset B$ .

💡 Diferența dintre ⊆ și ⊂

$A \subseteq B$ înseamnă că $A$ poate fi egală cu $B$ sau mai mică. $A \subset B$ înseamnă că $A$ e strict mai mică — există cel puțin un element în $B$ care nu e în $A$ . E ca diferența dintre „mai mic sau egal" și „strict mai mic" la numere.

Diagramele Venn — imaginea care explică totul

Dacă ești genul de persoană care înțelege mai ușor din imagini, diagramele Venn sunt cele mai bune prietene ale tale la capitolul ăsta. Fiecare mulțime e un cerc. Dacă un cerc e complet în interiorul altuia, avem incluziune: $A \subseteq B$ . Dacă cele două cercuri se suprapun parțial, au elemente comune dar și elemente diferite — asta înseamnă că niciuna nu e submulțime a celeilalte. Dacă cercurile sunt complet separate, mulțimile nu au niciun element în comun — se numesc mulțimi disjuncte. Și dacă cele două cercuri coincid perfect, mulțimile sunt egale: $A = B$ . Practic, diagrama îți arată dintr-o privire relația, fără să numeri elementele.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Fie mulțimile $A = {2, 4, 6}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Stabiliți dacă $A \subseteq B$ , dacă $B \subseteq A$ și scrieți relația corectă dintre ele.

🔢 Rezolvare

Verificăm dacă A \subseteq B : 2 \in B, 4 \in B, 6 \in B

Toate elementele lui A se află în B \Rightarrow A \subseteq B

Verificăm dacă B \subseteq A : 1 \notin A

Am găsit un element din B care nu e în A \Rightarrow B \subseteq̸ A

Concluzie: A \subset B (incluziune strictă)

✅ Explicație

Am verificat fiecare element din $A$ și l-am căutat în $B$ — toți erau acolo. Apoi am încercat invers și primul element din $B$ pe care l-am testat, adică 1, nu era în $A$ . Asta e tot ce trebuia. Nu trebuie să verifici tot $B$ — un singur element care lipsește îți demonstrează că incluziunea nu funcționează în direcția aia.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea apartenenței cu incluziunea. Elevii scriu ${3} \in A$ în loc de ${3} \subseteq A$ , sau $3 \subseteq A$ în loc de $3 \in A$ . Simbolul $\in$ e pentru elemente, $\subseteq$ e pentru mulțimi.

✅ Corect: Dacă 3 e un număr (element), scrii $3 \in A$ . Dacă ${3}$ e o mulțime care conține doar pe 3, scrii ${3} \subseteq A$ . Sunt lucruri diferite — un elev și o clasă dintr-un singur elev nu sunt același lucru.

❌ Greșeala #2: Uitarea că mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. Elevii spun că $\emptyset \subseteq A$ e fals pentru că „mulțimea vidă nu are nimic în comun cu $A$ ".

✅ Corect: $\emptyset \subseteq A$ este întotdeauna adevărat, pentru orice mulțime $A$ . Motivul: nu există niciun element în $\emptyset$ care să nu fie în $A$ — nu poți găsi un contraexemplu dacă nu există niciun element de verificat.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Fie $A = {a, b, c}$ și $B = {a, b, c, d}$ . Este $A \subseteq B$ ? Dar $B \subseteq A$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Verificăm A \subseteq B : a \in B, b \in B, c \in B

Toate elementele lui A sunt în B \Rightarrow A \subseteq B (adevărat)

Verificăm B \subseteq A : d \notin A

\Rightarrow B \subseteq̸ A (fals)

Am verificat element cu element. Litera d există în $B$ dar nu și în $A$ , deci $B$ nu încape în $A$ . Relația corectă este $A \subset B$ .

Răspuns: $A \subseteq B$ — adevărat; $B \subseteq A$ — fals; relația corectă: $A \subset B$

Exercițiul 2. Fie $A = {1, 3, 5}$ și $B = {1, 3, 5}$ . Ce relație există între $A$ și $B$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

Verificăm A \subseteq B : 1 \in B, 3 \in B, 5 \in B \Rightarrow A \subseteq B

Verificăm B \subseteq A : 1 \in A, 3 \in A, 5 \in A \Rightarrow B \subseteq A

A \subseteq B și B \subseteq A \Rightarrow A = B

Dacă fiecare mulțime e submulțime a celeilalte, înseamnă că au exact aceleași elemente. Asta e definiția egalității mulțimilor.

Răspuns: $A = B$

Exercițiul 3. Scrie toate submulțimile mulțimii $A = {1, 2}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Submulțimile cu 0 elemente: \emptyset

Submulțimile cu 1 element: {1}, {2}

Submulțimile cu 2 elemente: {1, 2}

Total: \emptyset, {1}, {2}, {1, 2}

O mulțime cu 2 elemente are $2^{2} = 4$ submulțimi. Nu uita mulțimea vidă și mulțimea însăși — sunt și ele submulțimi, de fiecare dată.

Răspuns: $\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}$

Exercițiul 4. Fie $A = {x \in ℕ | x < 5}$ și $B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$ . Stabiliți relația dintre $A$ și $B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = {0, 1, 2, 3, 4} (numerele naturale mai mici decât 5)

Verificăm A \subseteq B : 0, 1, 2, 3, 4 \in B \Rightarrow A \subseteq B

Verificăm B \subseteq A : 5 \notin A \Rightarrow B \subseteq̸ A

\Rightarrow A \subset B (incluziune strictă)

Primul pas a fost să construiești mulțimea $A$ din condiția dată. Abia după ce știi exact ce elemente are, poți verifica relația. Mulți uită pasul ăsta și compară direct condițiile, nu elementele.

Răspuns: $A \subset B$

Exercițiul 5. Provocare: Fie $A = {x \in ℕ | x este par și x \leq 10}$ și $B = {x \in ℕ | x este multiplu de 2 și x \leq 10}$ . Ce relație există între $A$ și $B$ ? Câte submulțimi are mulțimea $A$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} (pare, naturale, \leq 10)

B = {0, 2, 4, 6, 8, 10} (multipli de 2, naturale, \leq 10)

A = B (aceleași elemente — ,,par” și ,,multiplu de 2” înseamnă același lucru)

Numărul de submulțimi ale lui A = 2^{6} = 64

Surpriza e că cele două definiții descriu exact aceeași mulțime — un număr par este prin definiție multiplu de 2. Deci $A = B$ , nu incluziune strictă. La numărul de submulțimi: o mulțime cu $n$ elemente are $2^{n}$ submulțimi, iar $A$ are 6 elemente.

Răspuns: $A = B$ ; mulțimea $A$ are $64$ de submulțimi

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre ∈ și ⊆?

$\in$ se folosește pentru un element față de o mulțime: $3 \in A$ înseamnă că numărul 3 face parte din mulțimea $A$ . $\subseteq$ se folosește între două mulțimi: $A \subseteq B$ înseamnă că toată mulțimea $A$ e „în interiorul" lui $B$ . Practic, $\in$ e pentru un obiect singular, $\subseteq$ e pentru un grup întreg.

De ce mulțimea vidă e submulțime a oricărei mulțimi?

Pare ciudat, știu. Logica e asta: ca să spui că $\emptyset \subseteq̸ A$ , ar trebui să găsești un element din $\emptyset$ care să nu fie în $A$ . Dar $\emptyset$ nu are niciun element — deci nu poți găsi un contraexemplu. Fără contraexemplu, incluziunea rămâne adevărată. E un raționament logic, nu intuitiv.

Cum calculez câte submulțimi are o mulțime?

Formula e simplă: dacă mulțimea are $n$ elemente, atunci are $2^{n}$ submulțimi. De exemplu, o mulțime cu 3 elemente are $2^{3} = 8$ submulțimi. Nu uita că mulțimea vidă și mulțimea însăși se numără mereu — sunt și ele submulțimi.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Relații între mulțimi. Egalitate. Incluziune. Submulțimi..

Exersează cu fișa de lucru: Relații între mulțimi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună