4 mai 2026

CMMDC explicat pas cu pas cu exerciții rezolvate

Îți sun familiar scenariul ăsta: profesorul zice „calculați cmmdc-ul” și tu știi că ai văzut metoda, ai scris-o în caiet, dar acum nu îți mai amintești exact de unde să pornești. Împărțiri? Descompunere în factori primi? Sau altceva? Și mai e și confuzia aia clasică — cmmdc sau cmmmc, care era care? Hai să lămurim totul de la zero. Cmmdc înseamnă cel mai mare divizor comun al unor numere — adică cel mai mare număr care împarte exact toate numerele din problemă. Sună complicat? Nu e. De fapt, e una dintre cele mai logice operații din matematica de clasa 5. Și după ce termini articolul ăsta, nu ai cum să le mai confunzi.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este cmmdc și la ce folosește în practică
Vei ști să calculezi cmmdc prin descompunere în factori primi
Vei ști să calculezi cmmdc prin algoritmul lui Euclid (metoda împărțirilor)
Vei recunoaște greșelile frecvente și vei ști cum să le eviți

Ce este, de fapt, cmmdc?

Să zicem că ai 12 bomboane și 18 biscuiți. Vrei să faci punguțe identice pentru colegi — fiecare punguță să aibă exact același număr de bomboane și biscuiți, fără să rămână nimic. Câte punguțe poți face maximum? Ei bine, exact asta calculezi cu cmmdc. Cauți cel mai mare număr care împarte exact și 12, și 18. Ăla e răspunsul — numărul de punguțe. Nu e o formulă abstractă. E o întrebare concretă: care e cel mai mare număr care intră exact în ambele? Divizorii lui 12 sunt 1, 2, 3, 4, 6, 12. Divizorii lui 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9, 18. Cei comuni sunt 1, 2, 3, 6. Cel mai mare? 6. Deci $cmmdc (12, 18) = 6$ . Simplu.

💡 Regula de bază

Cmmdc al două sau mai multe numere este cel mai mare număr natural nenul care le divide pe toate exact, fără rest. Dacă două numere nu au niciun divizor comun în afară de 1, le numim coprime și $cmmdc = 1$ .

Metoda 1 — Descompunerea în factori primi

Asta e metoda pe care o ceri la teorie și care apare cel mai des în exerciții. Practic, descompui fiecare număr în factori primi, apoi alegi factorii comuni la puterea cea mai mică. Stai, că sună mai greu decât e. Gândește-te că descompui numerele ca pe niște puzzle-uri — le spargi în bucăți prime. Ce ai în comun cu celălalt număr? Acele bucăți comune, la puterea minimă, formează cmmdc-ul. De fapt, regula „puterea cea mai mică” e exact opusul față de cmmmc — și asta e confuzia pe care o fac aproape toți. La cmmdc: puterea minimă. La cmmmc: puterea maximă. Ține minte asta și n-ai cum să greșești între ele.

💡 Regula metodei

Descompui fiecare număr în factori primi. Cmmdc = produsul factorilor comuni, luați la puterea cea mai mică. Dacă un factor apare doar la unul dintre numere, nu îl incluzi în cmmdc.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Calculează $cmmdc (60, 84)$ prin descompunere în factori primi.

🔢 Rezolvare

$60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$
$84 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7$
$Factori comuni: 2^{2} și 3$
$cmmdc (60, 84) = 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$

✅ Explicație

Factorul 5 apare doar la 60, iar 7 apare doar la 84 — deci niciunul nu intră în cmmdc. Rămân $2^{2}$ și $3$ , care apar la ambele. Puterea lui 2 e 2 la amândouă, deci o păstrăm ca $2^{2}$ . Dacă la unul ar fi fost $2^{3}$ , luam tot $2^{2}$ — minimul. Asta e tot logica.

Metoda 2 — Algoritmul lui Euclid

Hai să vedem și metoda asta — e utilă când numerele sunt mari și descompunerea în factori primi ar dura mult. Practic, împarți numărul mai mare la cel mai mic și reții restul. Apoi împarți numărul mai mic la rest. Continui până când restul e 0. Ultimul împărțitor nenul e cmmdc-ul. Sună ciudat prima dată. Dar după ce o faci de două ori, devine automată.

💡 Regula algoritmului lui Euclid

Împarți repetat: $a = b \cdot c + r$ , apoi $b$ devine noul deîmpărțit, $r$ devine noul împărțitor. Când $r = 0$ , ultimul împărțitor este $cmmdc (a, b)$ .

Exemplu rezolvat — Algoritmul lui Euclid

📝 Enunț

Calculează $cmmdc (252, 168)$ folosind algoritmul lui Euclid.

🔢 Rezolvare

$252 = 168 \cdot 1 + 84$
$168 = 84 \cdot 2 + 0$
$cmmdc (252, 168) = 84$

✅ Explicație

La primul pas, 252 împărțit la 168 dă câtul 1 și restul 84. La al doilea pas, 168 împărțit la 84 dă rest 0 — stop. Ultimul împărțitor care a dat rest nenul a fost 84. Acela e cmmdc-ul. Două linii și gata — mult mai rapid decât descompunerea când numerele sunt mari.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea cmmdc cu cmmmc — la cmmdc iei factorii comuni la puterea cea mai mare (în loc de mică).

✅ Corect: La cmmdc — puterea minimă a factorilor comuni. La cmmmc — puterea maximă a tuturor factorilor. Reține: „D” de la divizor = mic, „M” de la multiplu = mare.

❌ Greșeala #2: La algoritmul lui Euclid, unii iau drept cmmdc ultimul rest nenul, nu ultimul împărțitor care a produs restul 0.

✅ Corect: Când restul devine 0, te uiți la împărțitorul din acel pas — acela e cmmdc-ul. Nu restul, ci numărul prin care ai împărțit ca să obții rest 0.

Exerciții rezolvate

Calculează $cmmdc (24, 36)$ prin descompunere în factori primi. (Răspuns: 12)
Calculează $cmmdc (120, 180)$ prin algoritmul lui Euclid. (Răspuns: 60)
Trei prieteni au 72, 48 și 60 de lei. Vor să cumpere împreună cât mai multe bilete identice ca preț, cheltuind toți banii exact. Care e prețul maxim al unui bilet? (Răspuns: $cmmdc (72, 48, 60) = 12$ lei)

▶ Toate lecțiile de matematică

Toate lecțiile video disponibile pe Școala Virtuală

cu Alexandra Pavel

Vrei să înveți cu lecții video?

Sute de lecții video la matematică și română pentru clasele 5–8, structurate pe capitole.

Abonează-te — prima lună 5 lei

Articole recente

Gradele de comparație ale adjectivului — Greșeli frecvente

14 iunie 2026

Pronumele personal de politețe — când se folosește

13 iunie 2026

Ecuații în mulțimea numerelor întregi — greșeli frecvente

13 iunie 2026