Unghiuri în jurul unui punct: 5 exerciții rezolvate

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 12 septembrie 2026

Ia un ceas și uită-te la el. Acele acelea — minutar, orar — se rotesc non-stop în jurul centrului. Fac un tur complet, adică 360 de grade. Exact asta sunt unghiurile în jurul unui punct: toate unghiurile care se formează în jurul unui punct comun, care împart complet spațiul din jur, fac împreună 360°. Sună simplu? E simplu. Dar locul unde toată lumea greșește e că uită că suma trebuie să fie exact 360° — nu 180°, nu 90°, ci 360°. Și asta se întâmplă pentru că se confundă cu unghiurile de pe o dreaptă, care sunt 180°. Dacă ai confundat și tu vreodată cele două situații, ești în locul potrivit. Hai să le lămurim o dată pentru totdeauna.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă unghiuri în jurul unui punct și de ce suma lor e 360°
Vei ști să calculezi un unghi necunoscut când le cunoști pe celelalte
Vei recunoaște diferența dintre unghiurile de pe o dreaptă și cele din jurul unui punct
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la ușor la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce înseamnă unghiuri în jurul unui punct

Imaginează-ți că tai o pizza în felii. Toate feliile pornesc din centru. Dacă le pui pe toate laolaltă, obții pizza întreagă — un cerc complet. Ei bine, exact asta se întâmplă cu unghiurile în jurul unui punct. Dintr-un punct comun pleacă mai multe semidrepte — ca razele de la centrul pizzei. Unghiurile formate între ele, toate la un loc, acoperă spațiul complet din jurul punctului. Și un tur complet înseamnă 360°. Practic, nu contează în câte felii tai pizza — dacă le pui pe toate la loc, tot faci 360°. La fel cu unghiurile: indiferent câte sunt, suma lor e mereu 360°. Asta e toată regula.

💡 Regula de bază

Dacă mai multe unghiuri au vârful în același punct și împreună acoperă tot spațiul din jurul punctului, suma lor este mereu $360 °$ . Adică: $α + β + γ + \dots = 360 °$ . Dacă știi toate unghiurile mai puțin unul, îl găsești scăzând suma celorlalte din $360 °$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În jurul unui punct O se formează patru unghiuri. Trei dintre ele măsoară $75 °$ , $110 °$ și $85 °$ . Cât măsoară al patrulea unghi?

🔢 Rezolvare

α + β + γ + δ = 360 °

75 ° + 110 ° + 85 ° + δ = 360 °

270 ° + δ = 360 °

δ = 360 ° - 270 ° = 90 °

✅ Explicație

Am pornit de la ceea ce știm sigur: suma totală e 360°. Am adunat unghiurile cunoscute — 75, 110 și 85 fac 270 — și am scăzut din 360°. Ce rămâne e exact unghiul căutat. Simplu ca scăderea. Observă că al patrulea unghi a ieșit drept — asta e un unghi de 90°, pe care probabil îl recunoști din alte exerciții.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Unii elevi confundă unghiurile în jurul unui punct cu unghiurile de pe o dreaptă și folosesc suma de $180 °$ în loc de $360 °$ .

✅ Corect: Unghiurile de pe o dreaptă (adică unghiurile suplimentare) fac împreună $180 °$ , pentru că o dreaptă e doar jumătate de rotație. Unghiurile în jurul unui punct acoperă tot cercul — adică $360 °$ . Dacă ești pe o dreaptă: $180 °$ . Dacă ești în jurul unui punct: $360 °$ .

❌ Greșeala #2: La exercițiile cu rapoarte sau multipli, mulți elevi uită că trebuie să găsească întâi valoarea unității (adică valoarea lui „ $x$ ") și trec direct la răspuns fără să verifice dacă suma face 360°.

✅ Corect: Calculezi $x$ , înmulțești fiecare unghi cu valoarea găsită, apoi aduni toate rezultatele. Dacă suma nu e $360 °$ , ai greșit undeva. Verificarea asta îți salvează multe puncte — ia-o ca pe un obicei, nu ca pe o opțiune.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În jurul unui punct O se formează trei unghiuri. Două dintre ele măsoară $120 °$ și $95 °$ . Cât măsoară al treilea unghi?

Vezi rezolvarea pas cu pas

α + β + γ = 360 °

120 ° + 95 ° + γ = 360 °

215 ° + γ = 360 °

γ = 360 ° - 215 ° = 145 °

Am adunat unghiurile cunoscute, am obținut 215°, și am scăzut din 360°. Restul e al treilea unghi. Rapid și curat.

Răspuns: Al treilea unghi măsoară $145 °$ .

Exercițiul 2. Patru unghiuri în jurul unui punct O sunt egale între ele. Cât măsoară fiecare?

Vezi rezolvarea pas cu pas

4 \cdot α = 360 °

α = \frac{360 °}{4}

α = 90 °

Dacă toate patru sunt egale, le împărțim frățește. 360 la 4 face 90°. De fapt, asta e și definiția unghiului drept — când împarți cercul în patru părți egale.

Răspuns: Fiecare unghi măsoară $90 °$ .

Exercițiul 3. În jurul punctului O se formează cinci unghiuri cu măsurile $40 °$ , $70 °$ , $80 °$ , $90 °$ și $x$ . Găsește valoarea lui $x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

40 ° + 70 ° + 80 ° + 90 ° + x = 360 °

280 ° + x = 360 °

x = 360 ° - 280 ° = 80 °

Aduni tot ce știi — 40 plus 70 plus 80 plus 90 fac 280 — și scazi din 360°. Același mecanism, indiferent câte unghiuri sunt.

Răspuns: $x = 80 °$ .

Exercițiul 4. Trei unghiuri în jurul unui punct O sunt în raportul $2 : 3 : 7$ . Calculează măsura fiecărui unghi.

Vezi rezolvarea pas cu pas

2 x + 3 x + 7 x = 360 °

12 x = 360 °

x = \frac{360 °}{12} = 30 °

α = 2 \cdot 30 ° = 60 °

β = 3 \cdot 30 ° = 90 °

γ = 7 \cdot 30 ° = 210 °

Raportul 2:3:7 înseamnă că unghiurile sunt multipli ai aceluiași număr. Suma multiplilor e 12, iar 12 înmulțit cu 30° face exact 360°. Verificare: 60 + 90 + 210 = 360°. ✓

Răspuns: Unghiurile măsoară $60 °$ , $90 °$ și $210 °$ .

Exercițiul 5. Provocare: Din punctul O pleacă patru semidrepte, OA, OB, OC și OD. Se știe că $∠ A O B = 50 °$ , că $∠ B O C$ este dublul lui $∠ A O B$ , că $∠ C O D = ∠ A O B + 10 °$ și că $∠ D O A$ este unghiul rămas. Calculează $∠ D O A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A O B = 50 °

∠ B O C = 2 \cdot 50 ° = 100 °

∠ C O D = 50 ° + 10 ° = 60 °

∠ D O A = 360 ° - (∠ A O B + ∠ B O C + ∠ C O D)

∠ D O A = 360 ° - (50 ° + 100 ° + 60 °)

∠ D O A = 360 ° - 210 ° = 150 °

Înainte să calculezi unghiul necunoscut, trebuie să găsești valorile celorlalte trei. Citești enunțul cu atenție, calculezi pe rând fiecare unghi, apoi scazi suma din 360°. Exercițiul pare lung, dar e tot același mecanism — scăzut din 360°.

Răspuns: $∠ D O A = 150 °$ .

Întrebări frecvente

Poate un unghi în jurul unui punct să fie mai mare de 180°?

Da, poate. Un unghi mai mare de 180° se numește unghi reflex. La exercițiul 3 cu raportul 2:3:7, unghiul de 210° e tocmai un unghi reflex. Nu e ceva greșit — înseamnă că semireapta „s-a dus dincolo de jumătate de tur". Important e că suma tuturor rămâne 360°.

Care e diferența dintre unghiurile în jurul unui punct și unghiurile suplimentare?

Unghiurile suplimentare sunt două unghiuri care împreună fac 180° — se formează pe o dreaptă, nu în jurul unui punct complet. Unghiurile în jurul unui punct sunt toate unghiurile care acoperă spațiul complet din jurul unui punct — suma lor e 360°. Reține: dreaptă → 180°, punct complet → 360°.

Ce se întâmplă dacă suma unghiurilor pe care le calculez iese mai mare de 360°? Am greșit sigur?

Da, ai greșit sigur. Suma unghiurilor în jurul unui punct nu poate depăși 360°, pentru că atât face un tur complet. Dacă suma ta e mai mare, verifică calculele aritmetice sau citește din nou enunțul — poate ai adăugat un unghi de două ori sau ai interpretat greșit un raport.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Unghiuri în jurul unui punct..

Exersează cu fișa de lucru: Unghiuri în jurul unui punct — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este suma tuturor unghiurilor formate în jurul unui punct?
2. Trei raze pornesc din același punct O și formează unghiurile $∠ A O B = 120^{\circ}$ și $∠ B O C = 95^{\circ}$ . Cât măsoară $∠ C O A$ ?
3. Patru raze pornesc din punctul O formând patru unghiuri egale în jurul punctului. Cât măsoară fiecare unghi?
4. Două raze pornesc din punctul O și formează un unghi de $75^{\circ}$ . Cât măsoară unghiul explementar (cel care completează până la $360^{\circ}$ )?
5. În jurul punctului O se formează unghiurile $∠ 1 = 80^{\circ}$ , $∠ 2 = 110^{\circ}$ și $∠ 3 = x$ . Cât este $x$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă toate lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 septembrie 2026

Articole recente

Categorii semantice explicate cu exemple și exerciții

12 septembrie 2026

Unghiuri complementare: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Arta spectacolului explicată cu exemple pentru clasele 5-8

11 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună