DREPTE PARALELE și axioma paralelelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 29 septembrie 2026

Două drepte sunt paralele dacă se află în același plan și nu au niciun punct comun, oricât le-ai prelungi. Scriem $d ∥ e$ . Mai jos găsești notația, axioma paralelelor, cele două consecințe importante ale ei și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Drepte paralele și axioma paralelelor

Definiție. Două drepte distincte $d$ și $e$ sunt paralele dacă sunt situate în același plan și nu au niciun punct comun. Se notează $d ∥ e$ și se citește „ $d$ este paralelă cu $e$ ”. Dacă două drepte din plan au un singur punct comun, ele sunt concurente.

Prin punctul

A

, exterior dreptei

d

, trece o singură dreaptă paralelă cu

d

: dreapta

e

În jurul tău găsești multe exemple: liniile unui caiet dictando, marginile opuse ale unei foi, șinele de tren pe o porțiune dreaptă. Oricât le-ai prelungi, ele nu se întâlnesc.

Axioma paralelelor (axioma lui Euclid). Printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură dreaptă paralelă cu acea dreaptă. O axiomă este un adevăr pe care îl acceptăm fără demonstrație și pe care ne sprijinim apoi în raționamente.

$A \notin d \Rightarrow$ $există o singură dreaptă e,$ $A \in e,$ $e ∥ d$

Două consecințe pe care le folosești des:

Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele: dacă $a ∥ b$ și $b ∥ c$ , iar $a$ și $c$ sunt distincte, atunci $a ∥ c$ .
O dreaptă care taie una dintre două paralele o taie și pe cealaltă: dacă $d ∥ e$ și dreapta $f$ intersectează dreapta $d$ , atunci $f$ intersectează și dreapta $e$ .

Ambele se arată la fel: presupui contrariul și ajungi la două paralele prin același punct, ceea ce axioma nu permite. Vezi exercițiile 4 și 5.

Construcția cu rigla și echerul. Așezi o latură a echerului pe dreapta $d$ , pui rigla lipită de cealaltă latură, apoi glisezi echerul de-a lungul riglei până ajunge la punctul $A$ . Linia trasă pe latura echerului este paralela prin $A$ la $d$ .

Exerciții rezolvate : dreptele paralele

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Paralele în dreptunghiușor

Se dă dreptunghiul $A B C D$ . Numește perechile de drepte paralele determinate de laturile lui și scrie-le cu simbolul $∥$ . Numește și o pereche de drepte concurente.

Rezolvare pas cu pas

Laturile opuse ale unui dreptunghi nu se întâlnesc, oricât le-ai prelungi, deci dreptele lor sunt paralele.
Prima pereche: $A B ∥ C D$ .
A doua pereche: $A D ∥ B C$ .
Dreptele $A B$ și $B C$ au punctul comun $B$ , deci sunt concurente, nu paralele.

Răspuns: $A B ∥ C D$ și $A D ∥ B C$ ; de exemplu, $A B$ și $B C$ sunt concurente în $B$

EXERCIȚIUL 2Adevărat sau falsușor

Stabilește dacă fiecare afirmație este adevărată (A) sau falsă (F) și justifică pe scurt.
a) Două drepte paralele nu au niciun punct comun.
b) Prin punctul $A$ , exterior dreptei $d$ , se pot duce două drepte paralele cu $d$ .
c) Două drepte concurente pot fi și paralele.
d) Dacă $a ∥ b$ și $b ∥ c$ , iar $a \neq c$ , atunci $a ∥ c$ .

Rezolvare pas cu pas

a) A: din definiție, dreptele paralele nu au puncte comune.
b) F: axioma paralelelor spune că prin $A$ trece o singură paralelă la $d$ .
c) F: dreptele concurente au un punct comun, iar cele paralele nu au niciunul, deci nu pot fi ambele în același timp.
d) A: două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele.

Răspuns: a) A, b) F, c) F, d) A

EXERCIȚIUL 3Câte paralele trec printr-un punctușor

Se dă dreapta $d$ , punctul $A$ , care nu este pe $d$ , și punctul $B$ , care este pe $d$ . a) Câte drepte paralele cu $d$ trec prin $A$ ? b) Există vreo dreaptă paralelă cu $d$ care să treacă prin $B$ ?

Rezolvare pas cu pas

a) $A$ este exterior dreptei $d$ , deci, conform axiomei paralelelor, prin $A$ trece exact o paralelă la $d$ (pe desen, dreapta $e$ ).
b) Orice dreaptă prin $B$ , diferită de $d$ , are cu $d$ punctul comun $B$ , deci este concurentă cu $d$ .
Singura dreaptă rămasă este chiar $d$ , dar o dreaptă nu este paralelă cu ea însăși: paralelele sunt drepte distincte.

Răspuns: a) Una singură. b) Nu există nicio paralelă la $d$ prin $B$

EXERCIȚIUL 4Două paralele cu a treiamediu

Dreptele distincte $a$ , $b$ , $c$ sunt în același plan, cu $a ∥ b$ și $b ∥ c$ . Arată, folosind axioma paralelelor, că $a ∥ c$ .

Rezolvare pas cu pas

Presupunem contrariul: $a$ și $c$ nu sunt paralele. Fiind distincte și în același plan, ar avea un punct comun, pe care îl notăm $P$ .
Punctul $P$ nu este pe $b$ : dacă ar fi, $a$ și $b$ ar avea punctul comun $P$ , deși sunt paralele.
Atunci prin punctul $P$ , exterior dreptei $b$ , ar trece două paralele la $b$ : dreapta $a$ și dreapta $c$ .
Axioma paralelelor permite o singură paralelă prin $P$ , deci presupunerea este falsă.

Răspuns: $a$ și $c$ nu pot avea puncte comune, deci $a ∥ c$

EXERCIȚIUL 5Dreapta care taie o paralelămediu

Dreptele $d$ și $e$ sunt paralele. Dreapta $f$ , diferită de $d$ , intersectează dreapta $d$ în punctul $A$ . Arată că dreapta $f$ intersectează și dreapta $e$ .

Rezolvare pas cu pas

Presupunem contrariul: $f$ nu intersectează dreapta $e$ . Atunci $f ∥ e$ .
Punctul $A$ este pe $d$ , iar $d ∥ e$ , deci $A$ nu este pe $e$ .
Prin $A$ ar trece două paralele la $e$ : dreapta $d$ și dreapta $f$ , care sunt diferite.
Asta contrazice axioma paralelelor, deci $f$ intersectează dreapta $e$ (pe desen, în punctul $B$ ).

Răspuns: Dreapta $f$ intersectează și dreapta $e$

EXERCIȚIUL 6Paralele prin două punctemediu

Punctele $A$ și $B$ sunt exterioare dreptei $d$ , iar dreapta $A B$ nu este paralelă cu $d$ . Prin $A$ ducem paralela $a$ la $d$ , iar prin $B$ paralela $b$ la $d$ . Arată că $a$ și $b$ sunt drepte diferite și că $a ∥ b$ .

Rezolvare pas cu pas

Dacă $a$ și $b$ ar fi aceeași dreaptă, ea ar trece prin $A$ și prin $B$ , deci ar fi chiar dreapta $A B$ .
Atunci $A B$ ar fi paralelă cu $d$ , ceea ce contrazice enunțul. Deci $a$ și $b$ sunt diferite.
Avem $a ∥ d$ și $b ∥ d$ , iar $a$ și $b$ sunt distincte.
Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, deci $a ∥ b$ .

Răspuns: $a \neq b$ și $a ∥ b$

EXERCIȚIUL 7Numărăm intersecțiilegreu

Dreptele $a$ , $b$ , $c$ sunt paralele între ele, iar dreptele $m$ și $n$ sunt paralele între ele. Dreapta $m$ intersectează dreapta $a$ . a) Câte puncte de intersecție au, în total, cele cinci drepte? b) Câte perechi de drepte paralele există în figură?

Figura arată o singură așezare posibilă. Numărătoarea nu depinde de desen, ci doar de care drepte sunt paralele.

Rezolvare pas cu pas

Dreapta $m$ taie $a$ , iar $a ∥ b$ și $a ∥ c$ , deci $m$ taie și $b$ , și $c$ : 3 puncte pe $m$ .
Dreapta $n$ este paralelă cu $m$ , deci nu poate fi paralelă și cu $a$ (altfel $m ∥ a$ ). Deci $n$ taie $a$ , apoi și $b$ și $c$ : încă 3 puncte.
Dreptele din același grup sunt paralele, deci nu se intersectează între ele. Total: $3 \cdot 2 = 6$ puncte de intersecție.
Perechi paralele în primul grup: $(a, b)$ , $(a, c)$ , $(b, c)$ , adică 3. În al doilea grup: $(m, n)$ , adică 1.
În total, $3 + 1 = 4$ perechi de drepte paralele.

Răspuns: a) $6$ puncte de intersecție; b) $4$ perechi de drepte paralele

EXERCIȚIUL 8Paralele prin vârfurile unui triunghigreu

Se dă triunghiul $A B C$ . Prin fiecare vârf ducem paralela la latura opusă: prin $A$ la $B C$ , prin $B$ la $A C$ și prin $C$ la $A B$ . a) Câte drepte obținem și de ce este fiecare unică? b) Arată că paralela prin $C$ la $A B$ și paralela prin $A$ la $B C$ se intersectează.

Rezolvare pas cu pas

a) $A$ nu este pe dreapta $B C$ (vârfurile unui triunghi nu sunt coliniare), deci prin $A$ există o singură paralelă la $B C$ . La fel pentru $B$ și $C$ : obținem 3 drepte.
Cele trei drepte sunt diferite: dacă paralela prin $A$ la $B C$ ar coincide cu paralela prin $B$ la $A C$ , ea ar trece prin $A$ și $B$ , deci ar fi dreapta $A B$ , care taie $B C$ în $B$ , deci nu îi este paralelă.
b) Notăm cu $x$ paralela prin $C$ la $A B$ și cu $y$ paralela prin $A$ la $B C$ . Presupunem că $x ∥ y$ .
Dreptele $A B$ și $y$ sunt diferite, pentru că $y ∥ B C$ , iar $A B$ taie $B C$ . Atunci $A B ∥ x$ și $x ∥ y$ , deci $A B ∥ y$ . Dar $y$ trece prin $A$ , care este pe $A B$ , deci $A B$ și $y$ au un punct comun.
Contradicție, deci $x$ și $y$ se intersectează. Pe desen, cele trei paralele formează un triunghi mai mare, cu vârfurile $M$ , $N$ , $P$ .

Răspuns: a) 3 drepte, fiecare unică datorită axiomei paralelelor; b) cele două paralele se intersectează

Cum recunoști un exercițiu cu drepte paralele

Enunțul întreabă „câte paralele” trec printr-un punct: răspunsul vine din axioma paralelelor (una singură, dacă punctul e exterior dreptei).
Ai două drepte paralele cu o a treia: concluzionezi direct că sunt paralele între ele.
Ți se cere să arăți că o dreaptă taie o altă dreaptă sau că două drepte nu pot fi paralele: presupui contrariul și ajungi la două paralele prin același punct.

Greșeli frecvente la drepte paralele

Crezi că dreptele sunt paralele doar pentru că nu se întâlnesc pe desen. Desenul arată doar o bucată din drepte. Paralele înseamnă că nu se întâlnesc niciodată, oricât le-ai prelungi, și trebuie justificat, nu măsurat pe figură.
Uiți condiția „punct exterior dreptei”. Axioma vorbește despre un punct care NU este pe dreaptă. Printr-un punct de pe $d$ nu trece nicio paralelă la $d$ .
Scrii $d ∥ d$ . O dreaptă nu este paralelă cu ea însăși. Dreptele paralele sunt întotdeauna două drepte distincte.

Exersează : dreptele paralele

Fișă de lucru: Drepte paralele, axioma paralelelor, clasa a VI-aPDF de printat, cu rezolvări separate Fișă de lucru: Criterii de paralelism, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Unghiuri, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre drepte paralele

Când sunt două drepte paralele?

Când sunt în același plan și nu au niciun punct comun. În lecția următoare afli și cum demonstrezi paralelismul cu ajutorul unghiurilor pe care le formează dreptele cu o secantă.

De ce se numește axioma paralelelor „axiomă” și nu „teoremă”?

Pentru că o acceptăm fără demonstrație. Teoremele se demonstrează pornind de la axiome și definiții, cum ai văzut la exercițiile 4 și 5.

Cum desenez o paralelă printr-un punct?

Cu rigla și echerul: pui echerul cu o latură pe dreaptă, rigla lipită de cealaltă latură, apoi glisezi echerul pe riglă până la punct și tragi linia.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două drepte din același plan care nu se intersectează se numesc drepte:
2. Prin un punct $P$ aflat în afara unei drepte $d$ , câte drepte paralele cu $d$ se pot duce?
3. Dacă dreapta $a ∥ b$ și dreapta $b ∥ c$ , atunci:
4. Fie dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ în același plan. Care afirmație descrie corect situația în care $d_{1} ∥ d_{2}$ ?
5. Punctul $A$ nu se află pe dreapta $d$ . Elevul Mihai trasează două drepte prin $A$ , ambele paralele cu $d$ . Ce eroare a făcut?