CUM DEMONSTREZI CĂ DOUĂ DREPTE SUNT PARALELE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Ca să demonstrezi că două drepte tăiate de o secantă sunt paralele, îți ajunge o singură condiție din trei: unghiuri corespondente egale, unghiuri alterne interne egale, sau unghiuri interne de aceeași parte suplementare. Mai jos găsești fiecare criteriu explicat și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele trei criterii de paralelism

Când o secantă taie două drepte $d$ și $e$ , se formează opt unghiuri, grupate în perechi. Ca să demonstrezi că $d ∥ e$ , verifici DOAR una dintre următoarele trei condiții, nu pe toate trei:

La fiecare intersecție se formează 4 unghiuri. Perechea (1,3) e corespondentă, (2,3) e alternă internă, (1,4) e alternă internă, (2,4) e corespondentă.

$∠ 1 =$ $∠ 3 (corespondente)$ $sau$ $∠ 1 =$ $∠ 4 (alterne interne)$ $sau$ $∠ 1 + ∠ 3^{'} =$ $180^{\circ} (interne, aceeași parte)$

Criteriul 1, unghiuri corespondente egale. Corespondentele stau în aceeași poziție față de secantă, la fiecare dreaptă. Dacă sunt egale, dreptele sunt paralele.

Criteriul 2, unghiuri alterne interne egale. Alternele interne stau între cele două drepte, pe părți opuse ale secantei, față în față, ca într-un „Z". Dacă sunt egale, dreptele sunt paralele.

Criteriul 3, unghiuri interne de aceeași parte suplementare. Stau tot între cele două drepte, dar pe aceeași parte a secantei. Dacă suma lor este $180^{\circ}$ , dreptele sunt paralele.

Cel mai folosit în exerciții este criteriul alternelor interne. Dacă niciuna dintre cele trei condiții nu e îndeplinită, dreptele NU sunt paralele, indiferent cum arată desenul.

Exerciții rezolvate : demonstrarea paralelismului a două drepte

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Criteriul 1: corespondenteușor

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în punctele $A$ și $B$ . Unghiul dintre $s$ și $d$ în $A$ măsoară $58^{\circ}$ , iar unghiul corespunzător lui, din $B$ , măsoară tot $58^{\circ}$ . Demonstrează că $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două unghiuri sunt corespondente (aceeași poziție față de secantă, la fiecare dreaptă).
Măsurile lor sunt egale: $58^{\circ} = 58^{\circ}$ .
Conform criteriului 1 (unghiuri corespondente egale), rezultă $d ∥ e$ .

Răspuns: $d ∥ e$ , prin criteriul unghiurilor corespondente egale

EXERCIȚIUL 2Criteriul 2: alterne interneușor

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară $47^{\circ}$ , iar unghiul altern intern lui, din $B$ , măsoară tot $47^{\circ}$ . Demonstrează că $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două unghiuri sunt alterne interne (între drepte, pe părți opuse ale secantei).
Sunt egale: $47^{\circ} = 47^{\circ}$ .
Conform criteriului 2 (unghiuri alterne interne egale), rezultă $d ∥ e$ .

Răspuns: $d ∥ e$ , prin criteriul unghiurilor alterne interne egale

EXERCIȚIUL 3Criteriul 3: interne, aceeași partemediu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară $112^{\circ}$ , iar unghiul intern de aceeași parte, din $B$ , măsoară $68^{\circ}$ . Demonstrează că $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două unghiuri sunt interne (între drepte) și de aceeași parte a secantei.
Calculăm suma lor: $112^{\circ} + 68^{\circ} =$ $180^{\circ}$ .
Conform criteriului 3 (unghiuri interne de aceeași parte suplementare), rezultă $d ∥ e$ .

Răspuns: $d ∥ e$ , prin criteriul unghiurilor interne de aceeași parte suplementare

EXERCIȚIUL 4Cu necunoscuta x, corespondentemediu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară ${(2 x + 10)}^{\circ}$ , iar corespondentul lui din $B$ măsoară ${(4 x - 30)}^{\circ}$ . Află $x$ și demonstrează dacă $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru ca dreptele să fie paralele, corespondentele trebuie să fie egale: $2 x + 10 = 4 x - 30$ .
$40 =$ $2 x \Rightarrow$ $x =$ $20$ .
Măsura unghiului: $2 \cdot 20 + 10 =$ $50^{\circ}$ , iar celălalt $4 \cdot 20 - 30 =$ $50^{\circ}$ . Sunt egale, deci $d ∥ e$ (criteriul 1).

Răspuns: $x = 20$ ; $d ∥ e$

EXERCIȚIUL 5Cu necunoscuta x, interne de aceeași partemediu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară ${(3 x + 20)}^{\circ}$ , iar unghiul intern de aceeași parte, din $B$ , măsoară ${(2 x + 40)}^{\circ}$ . Află $x$ și demonstrează dacă $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru criteriul 3, suma celor două unghiuri trebuie să fie $180^{\circ}$ : $(3 x + 20) + (2 x + 40) =$ $180$ .
$5 x + 60 =$ $180 \Rightarrow$ $5 x =$ $120 \Rightarrow$ $x =$ $24$ .
Unghiurile: $3 \cdot 24 + 20 =$ $92^{\circ}$ și $2 \cdot 24 + 40 =$ $88^{\circ}$ . Suma este $180^{\circ}$ , deci $d ∥ e$ (criteriul 3).

Răspuns: $x = 24$ ; $d ∥ e$

EXERCIȚIUL 6Când dreptele NU sunt paralelegreu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară $65^{\circ}$ , iar unghiul corespunzător lui, din $B$ , măsoară $68^{\circ}$ . Sunt $d$ și $e$ paralele?

Diferența dintre

65^{\circ}

și

68^{\circ}

nu se vede clar într-un desen la scară redusă; concluzia vine din calcul, nu din privit figura.

Rezolvare pas cu pas

Dacă $d ∥ e$ , atunci unghiurile corespondente ar trebui să fie egale (criteriul 1, aplicat invers).
Comparăm: $65^{\circ} \neq 68^{\circ}$ , unghiurile nu sunt egale.
Niciuna dintre condițiile de paralelism nu este îndeplinită, deci $d$ și $e$ NU sunt paralele.

Răspuns: nu, $d$ și $e$ nu sunt paralele

EXERCIȚIUL 7Cu necunoscuta x, alterne internegreu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul din $A$ măsoară ${(5 x - 15)}^{\circ}$ , iar unghiul altern intern lui, din $B$ , măsoară ${(3 x + 21)}^{\circ}$ . Află $x$ și demonstrează dacă $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Pentru criteriul 2, alternele interne trebuie să fie egale: $5 x - 15 = 3 x + 21$ .
$2 x =$ $36 \Rightarrow$ $x =$ $18$ .
Măsura unghiului: $5 \cdot 18 - 15 =$ $75^{\circ}$ , iar celălalt $3 \cdot 18 + 21 =$ $75^{\circ}$ . Sunt egale, deci $d ∥ e$ (criteriul 2).

Răspuns: $x = 18$ ; $d ∥ e$

EXERCIȚIUL 8Relație între unghiuri, interne de aceeași partegreu

Dreptele $d$ și $e$ sunt tăiate de secanta $s$ în $A$ și $B$ . Unghiul $M$ , din $A$ , este cu $26^{\circ}$ mai mare decât unghiul $N$ , intern de aceeași parte, din $B$ . Suma celor două unghiuri este $180^{\circ}$ . Află măsurile lui $M$ și $N$ și demonstrează dacă $d ∥ e$ .

Rezolvare pas cu pas

Notăm $N = n$ , atunci $M = n + 26$ .
Suma este $180^{\circ}$ : $n + (n + 26) =$ $180 \Rightarrow$ $2 n =$ $154 \Rightarrow$ $n =$ $77$ .
$N = 77^{\circ}$ , $M = 103^{\circ}$ . Sunt unghiuri interne de aceeași parte, iar suma lor e $180^{\circ}$ , deci $d ∥ e$ (criteriul 3).

Răspuns: $M = 103^{\circ}$ , $N = 77^{\circ}$ ; $d ∥ e$

Cum recunoști ce criteriu se aplică

Dacă unghiurile date sunt în aceeași poziție la cele două intersecții (una „deasupra dreptei” la fiecare), e criteriul corespondentelor.
Dacă unghiurile date stau între cele două drepte, pe părți opuse ale secantei, e criteriul alternelor interne.
Dacă unghiurile date stau între cele două drepte, dar pe aceeași parte a secantei, verifici dacă suma lor e $180^{\circ}$ (criteriul 3).

Greșeli frecvente la demonstrarea paralelismului a două drepte

Verificarea tuturor celor trei criterii deodată. Îți ajunge UNUL singur, dovedit corect. Nu trebuie să arăți că sunt îndeplinite toate trei.
Presupunerea paralelismului din aspectul desenului. Un desen poate arăta „aproape paralel” chiar și când unghiurile nu coincid exact (ca la $65^{\circ}$ și $68^{\circ}$ ). Concluzia vine din calcul, nu din privit figura.
Aplicarea criteriului greșit pentru poziția unghiurilor. Dacă unghiurile sunt alterne interne, nu le tratezi ca fiind corespondente. Verifică întâi poziția lor unul față de celălalt.

Exersează : demonstrarea paralelismului a două drepte

Fișă de lucru: Criterii de paralelism, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Unghiuri, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre demonstrarea paralelismului a două drepte

Trebuie să verific toate cele trei criterii?

Nu. Îți ajunge să arăți că este îndeplinit UNUL singur, oricare dintre ele, ca să concluzionezi că dreptele sunt paralele.

Ce fac dacă niciun criteriu nu se verifică?

Atunci dreptele nu sunt paralele. Poți scrie explicit, ca la exercițiul cu $65^{\circ}$ și $68^{\circ}$ , că unghiurile corespondente nu sunt egale, deci concluzia e că dreptele nu sunt paralele.

Care criteriu apare cel mai des la exerciții?

Criteriul alternelor interne egale, dar toate trei sunt la fel de valabile. Alegi criteriul care se potrivește cu poziția unghiurilor date în enunț.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 august 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

13 septembrie 2026

UNGHIURI ÎN JURUL UNUI PUNCT: suma lor de 360 de grade - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

12 septembrie 2026

UNGHIURI COMPLEMENTARE: aplicații cu triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

11 septembrie 2026

UNGHI LA CENTRU: formula și arcul corespunzător - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

11 septembrie 2026

TERMENUL NECUNOSCUT DINTR-O PROPORȚIE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

9 septembrie 2026

SUMA UNGHIURILOR UNUI TRIUNGHI: teoremă și unghiul exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

9 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună