A minimalist flat lay featuring a spiral notebook, pencils, scissors, and stationery on a beige background.

de Echipa Școala Virtuală27 august 2026

Bisectoarea unui unghi: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Ai un unghi desenat pe foaie și profesorul îți cere să-l „bisectezi". Sună complicat — ca și cum ai nevoie de ceva special ca să faci asta. De fapt, bisectoarea unui unghi e una dintre cele mai frumoase idei din geometrie, și o poți înțelege complet dacă gândești la ea ca la o linie de simetrie. Știi cum împărtești ceva exact în două părți egale — o bară de ciocolată, un sendviș, timp între doi frați care se ceartă pe telecomandă? Bisectoarea face exact asta, dar pentru unghiuri. Împarte un unghi în două unghiuri mai mici, perfect egale. Nici mai mult, nici mai puțin. Și odată ce înțelegi ideea asta, tot restul — construcția, proprietățile, exercițiile — devine mult mai ușor de urmărit.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este bisectoarea unui unghi și ce înseamnă că „împarte unghiul în două părți egale"
Vei ști să calculezi măsura unghiurilor formate de bisectoare în orice exercițiu
Vei recunoaște proprietățile bisectoarei și cum le aplici corect
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest subiect

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, bisectoarea unui unghi

Hai să zicem că ai un unghi — două semidrepte care pornesc din același punct, numit vârf. Bisectoarea este o semidreaptă care pleacă din același vârf și „taie" unghiul exact în două. Adică împarte unghiul inițial în două unghiuri egale. Dacă unghiul tău are $80 °$ , bisectoarea îl face pe fiecare din ele $40 °$ . Simplu. Cuvântul vine din latină: „bi" înseamnă doi, „secare" înseamnă a tăia. Deci bisectoarea e, la propriu, „cea care taie în doi". Nu taie aleatoriu — taie exact la jumătate. Asta e definiția, și tot ce urmează în exerciții se bazează pe un singur lucru: cele două unghiuri rezultate sunt mereu egale.

💡 Regula de bază

Bisectoarea unui unghi este semidreapta care pornește din vârful unghiului și îl împarte în două unghiuri congruente (egale). Dacă unghiul $∠ A O B$ are măsura $α$ , atunci bisectoarea $O C$ creează două unghiuri cu măsura $\frac{α}{2}$ fiecare: $∠ A O C = ∠ C O B = \frac{α}{2}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Unghiul $∠ A O B = 124 °$ . Semidreapta $O C$ este bisectoarea unghiului $∠ A O B$ . Calculează măsura unghiurilor $∠ A O C$ și $∠ C O B$ .

🔢 Rezolvare

∠ A O B = 124 °

O C este bisectoarea lui ∠ A O B \Rightarrow ∠ A O C = ∠ C O B

∠ A O C = ∠ C O B = \frac{124 °}{2}

∠ A O C = ∠ C O B = 62 °

✅ Explicație

Bisectoarea face exact jumătate — asta e tot. Nu trebuie să faci nimic complicat: împarți măsura unghiului inițial la 2 și ai răspunsul. Important e să verifici că cele două unghiuri rezultate se adună și dau înapoi unghiul original: $62 ° + 62 ° = 124 °$ . Dacă nu se adună corect, ai greșit undeva.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confunzi bisectoarea cu înălțimea sau cu mediatoarea. Mulți elevi cred că bisectoarea împarte latura unui triunghi — nu, asta face mediatoarea. Bisectoarea împarte unghiul, nu latura.

✅ Corect: Bisectoarea pornește din vârful unghiului și împarte unghiul în două părți egale. Reține: „bi" = două, și se referă la unghi, nu la segment.

❌ Greșeala #2: Când exercițiul dă măsura unui unghi format de bisectoare și cere unghiul inițial, mulți elevi tot împart la 2 în loc să înmulțească cu 2.

✅ Corect: Dacă știi că $∠ A O C = 35 °$ și $O C$ e bisectoarea, atunci $∠ A O B = 35 ° \times 2 = 70 °$ . Gândește invers: bisectoarea a tăiat în două, deci tu recompui înmulțind cu 2.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Unghiul $∠ M O N = 90 °$ . Semidreapta $O P$ este bisectoarea unghiului $∠ M O N$ . Cât măsoară $∠ M O P$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ M O N = 90 °

O P este bisectoarea \Rightarrow ∠ M O P = \frac{∠ M O N}{2}

∠ M O P = \frac{90 °}{2} = 45 °

Un unghi drept împărțit de bisectoare dă două unghiuri de câte $45 °$ — asta e o situație pe care o vei întâlni des, merită s-o ții minte.

Răspuns: $∠ M O P = 45 °$

Exercițiul 2. Semidreapta $O B$ este bisectoarea unghiului $∠ A O C$ . Știind că $∠ A O B = 38 °$ , calculează măsura unghiului $∠ A O C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

O B este bisectoarea lui ∠ A O C \Rightarrow ∠ A O B = ∠ B O C = 38 °

∠ A O C = ∠ A O B + ∠ B O C

∠ A O C = 38 ° + 38 ° = 76 °

Aici exercițiul îți dă jumătatea și cere întregul — deci înmulțești cu 2, nu împarți. Atenție la această răsturnare față de exercițiul standard.

Răspuns: $∠ A O C = 76 °$

Exercițiul 3. Unghiul $∠ X O Y = 150 °$ . Semidreapta $O Z$ este bisectoarea unghiului $∠ X O Y$ . Semidreapta $O W$ este bisectoarea unghiului $∠ X O Z$ . Calculează $∠ X O W$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ X O Y = 150 °

O Z bisectoarea lui ∠ X O Y \Rightarrow ∠ X O Z = \frac{150 °}{2} = 75 °

O W bisectoarea lui ∠ X O Z \Rightarrow ∠ X O W = \frac{75 °}{2} = 37,5 °

Practic ai aplicat bisectoarea de două ori, una după alta. Prima bisectoare împarte $150 °$ în $75 °$ , iar a doua bisectoare împarte cei $75 °$ în $37,5 °$ . Fiecare pas e același raționament, aplicat la un unghi mai mic.

Răspuns: $∠ X O W = 37,5 °$

Exercițiul 4. Semidreapta $O C$ este bisectoarea unghiului $∠ A O B$ . Știind că $∠ A O C = (3 x + 5) °$ și $∠ C O B = (5 x - 11) °$ , găsește valoarea lui $x$ și calculează măsura unghiului $∠ A O B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

O C este bisectoarea \Rightarrow ∠ A O C = ∠ C O B

3 x + 5 = 5 x - 11

5 + 11 = 5 x - 3 x

16 = 2 x

x = 8

∠ A O C = 3 \cdot 8 + 5 = 24 + 5 = 29 °

∠ A O B = 29 ° + 29 ° = 58 °

Cheia e că bisectoarea face cele două unghiuri egale — deci le pui egale și rezolvi ecuația. Odată ce ai $x$ , calculezi măsura unui unghi și dublezi pentru a afla unghiul total.

Răspuns: $x = 8$ , $∠ A O B = 58 °$

Exercițiul 5. Provocare: Două semidrepte $O A$ și $O B$ formează un unghi de $120 °$ . Semidreapta $O C$ este bisectoarea unghiului $∠ A O B$ , iar semidreapta $O D$ este bisectoarea unghiului $∠ C O B$ . Calculează măsura unghiului $∠ A O D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A O B = 120 °

O C bisectoarea lui ∠ A O B \Rightarrow ∠ A O C = ∠ C O B = \frac{120 °}{2} = 60 °

O D bisectoarea lui ∠ C O B \Rightarrow ∠ C O D = ∠ D O B = \frac{60 °}{2} = 30 °

∠ A O D = ∠ A O C + ∠ C O D = 60 ° + 30 ° = 90 °

Interesant, nu? Pleci de la $120 °$ și ajungi la un unghi drept. Trucul e să construiești pas cu pas: prima bisectoare îți dă $∠ C O B = 60 °$ , a doua îți dă $∠ C O D = 30 °$ , iar $∠ A O D$ e suma celor două unghiuri adiacente $∠ A O C$ și $∠ C O D$ .

Răspuns: $∠ A O D = 90 °$

Întrebări frecvente

Bisectoarea unui unghi și mediatoarea unui segment sunt același lucru?

Nu, sunt două lucruri complet diferite. Bisectoarea împarte un unghi în două unghiuri egale și pornește din vârful unghiului. Mediatoarea este perpendiculara dusă prin mijlocul unui segment. Le confundă mulți elevi la început — ține minte: „bisectoare" → unghi, „mediatoare" → segment.

Un unghi poate avea mai mult de o bisectoare?

Nu. Fiecare unghi are exact o singură bisectoare. Aceasta este unică pentru că există un singur mod de a împărți un unghi exact în două părți egale. Dacă ai două semidrepte care pretind că sunt bisectoare ale aceluiași unghi, una dintre ele e greșită.

Cum construiesc bisectoarea cu compasul și rigla, fără raportor?

Cu compasul, pui vârful în vârful unghiului și trasezi un arc care intersectează ambele laturi ale unghiului. Apoi, din cele două puncte de intersecție, trasezi câte un arc de cerc cu același deschis — cele două arce se intersectează într-un punct. Dreapta care unește vârful unghiului cu acel punct este bisectoarea.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 1. Bisectoarea. Proprietatea punctelor de pe bisectoare. Concurența celor trei bisectoare în triunghi. Centrul cercului înscris în triunghi.

Exersează cu fișa de lucru: Bisectoarea — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună