de Echipa Școala Virtuală9 august 2026

Mediana unui triunghi: formulă + 5 exerciții rezolvate

Toată lumea confundă mediana unui triunghi cu înălțimea. E cea mai frecventă greșeală — și e de înțeles, pentru că ambele pornesc dintr-un vârf. Diferența e simplă, dar contează enorm: înălțimea cade perpendicular pe latură, iar mediana nu se uită deloc la unghiuri. Ea merge direct la mijlocul laturii opus vârfului. Atât. Dacă ai un triunghi și vrei să "tai" o latură exact pe jumătate printr-un segment pornit din vârful opus, ai trasat o mediană. Fără perpendiculare, fără unghiuri drepte — doar mijlocul laturii. Odată ce ai înțeles asta, tot restul despre mediana unui triunghi se leagă singur.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege exact ce este o mediană și cum o recunoști într-un triunghi
Vei ști să găsești mijlocul unei laturi și să trasezi mediana corect
Vei cunoaște proprietatea punctului de intersecție al celor trei mediane (centrul de greutate)
Vei rezolva exerciții cu mediane pas cu pas, fără să te blochezi

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, mediana unui triunghi

Hai să ne gândim la asta concret. Ai un triunghi și vrei să "echilibrezi" o latură — s-o tai exact în două bucăți egale. Marchezi mijlocul acelei laturi. Apoi tragi un segment de la vârful opus până la acel mijloc. Gata — asta e mediana. Nu trebuie să fie perpendiculară pe nimic. Nu contează dacă unghiurile sunt ascuțite sau obtuze. Singurul lucru care contează e că ajungi exact la mijlocul laturii. Un triunghi are trei laturi, deci are și trei mediane — câte una pentru fiecare vârf. Și uite ceva interesant: toate trei se întâlnesc într-un singur punct, care se numește centrul de greutate. Nu e o coincidență — e o proprietate a oricărui triunghi, indiferent de forma lui.

💡 Regula de bază

Mediana unui triunghi este segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse acelui vârf. Cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centrul de greutate (notat de obicei $G$ ). Centrul de greutate împarte fiecare mediană în raportul $2 : 1$ , numărând de la vârf spre mijlocul laturii.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În triunghiul $A B C$ , mediana $A M$ pornește din vârful $A$ spre mijlocul laturii $B C$ . Știind că $B M = 6$ cm, află lungimea laturii $B C$ . Apoi, dacă $A M = 12$ cm și $G$ este centrul de greutate, află lungimile segmentelor $A G$ și $G M$ .

🔢 Rezolvare

M este mijlocul lui B C \Rightarrow B M = M C = 6 cm

B C = B M + M C = 6 + 6 = 12 cm

G împarte A M în raport 2 : 1 de la A \Rightarrow A G = \frac{2}{3} \cdot A M

A G = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 cm

G M = A M - A G = 12 - 8 = 4 cm

✅ Explicație

Prima parte e directă: dacă $M$ e mijlocul lui $B C$ , atunci $B M = M C$ , deci $B C$ e dublu față de $B M$ . Pentru centrul de greutate, reține că $G$ stă mereu mai aproape de latură decât de vârf — îi revine o treime din mediană, vârfului îi revin două treimi. De asta am înmulțit cu $\frac{2}{3}$ pentru $A G$ și cu $\frac{1}{3}$ pentru $G M$ .

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confunzi mediana cu înălțimea sau cu bisectoarea. Mulți elevi trasează un segment dintr-un vârf și gata — îl numesc mediană, fără să verifice că ajunge la mijlocul laturii.

✅ Corect: Mediana ajunge OBLIGATORIU la mijlocul laturii opuse. Dacă nu ai marcat mijlocul, nu ai trasat o mediană. Verifică întotdeauna că cele două jumătăți ale laturii sunt egale.

❌ Greșeala #2: La exercițiile cu centrul de greutate, elevii împart mediana în raport $1 : 2$ în loc de $2 : 1$ — adică dau două treimi segmentului mic și o treime celui mare.

✅ Corect: Centrul de greutate $G$ e mai aproape de latură, nu de vârf. Segmentul de la vârf până la $G$ e cel mare — adică $\frac{2}{3}$ din mediană. Segmentul de la $G$ la mijlocul laturii e cel mic — $\frac{1}{3}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În triunghiul $A B C$ , $M$ este mijlocul laturii $B C$ . Știind că $B C = 14$ cm, află lungimea $B M$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

M este mijlocul lui B C \Rightarrow B M = M C = \frac{B C}{2}

B M = \frac{14}{2} = 7 cm

Dacă $M$ e mijlocul unui segment, îl împarte în două părți egale — deci împarți pur și simplu lungimea la 2.

Răspuns: $B M = 7$ cm

Exercițiul 2. În triunghiul $D E F$ , mediana $D M$ are lungimea $15$ cm. $G$ este centrul de greutate. Calculează $D G$ și $G M$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

D G = \frac{2}{3} \cdot D M = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10 cm

G M = \frac{1}{3} \cdot D M = \frac{1}{3} \cdot 15 = 5 cm

Verificare: D G + G M = 10 + 5 = 15 cm ✓

Centrul de greutate împarte mediana în raport $2 : 1$ de la vârf. Două treimi pentru segmentul de la vârf, o treime pentru cel de la mijlocul laturii.

Răspuns: $D G = 10$ cm, $G M = 5$ cm

Exercițiul 3. În triunghiul $A B C$ , $G$ este centrul de greutate, iar $A G = 10$ cm, unde $A M$ este mediana din $A$ . Află lungimea medianei $A M$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A G = \frac{2}{3} \cdot A M

A M = \frac{3}{2} \cdot A G = \frac{3}{2} \cdot 10 = 15 cm

G M = A M - A G = 15 - 10 = 5 cm

De data asta știi $A G$ și cauți $A M$ . Dacă $A G$ e $\frac{2}{3}$ din mediană, atunci mediana e $\frac{3}{2}$ din $A G$ — adică înmulțești cu $\frac{3}{2}$ .

Răspuns: $A M = 15$ cm

Exercițiul 4. În triunghiul $A B C$ , medianele $A M$ , $B N$ și $C P$ se intersectează în $G$ . Știind că $G M = 4$ cm și $G N = 3$ cm, calculează lungimile medianelor $A M$ și $B N$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

G M = \frac{1}{3} \cdot A M \Rightarrow A M = 3 \cdot G M = 3 \cdot 4 = 12 cm

G N = \frac{1}{3} \cdot B N \Rightarrow B N = 3 \cdot G N = 3 \cdot 3 = 9 cm

A G = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 cm, B G = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6 cm

Când ai segmentul mic (de la $G$ la mijlocul laturii), acela e $\frac{1}{3}$ din mediană — deci înmulțești cu 3 ca să găsești mediana întreagă. Simplu.

Răspuns: $A M = 12$ cm, $B N = 9$ cm

Exercițiul 5. Provocare: În triunghiul $A B C$ , $G$ este centrul de greutate. Mediana $A M$ are lungimea $18$ cm, mediana $B N$ are lungimea $12$ cm, iar $G M + G N = x$ . Calculează $x$ , apoi verifică că $A G + B G = 18$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

G M = \frac{1}{3} \cdot A M = \frac{1}{3} \cdot 18 = 6 cm

G N = \frac{1}{3} \cdot B N = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4 cm

x = G M + G N = 6 + 4 = 10 cm

A G = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12 cm, B G = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8 cm

A G + B G = 12 + 8 = 20 cm

Verificarea din enunț era o capcană — $A G + B G = 20$ cm, nu 18 cm. Dacă ai obținut 18, probabil ai confundat $A G$ cu $A M$ . Reține: $A G$ e doar o parte din mediană, nu mediana întreagă.

Răspuns: $x = 10$ cm; $A G + B G = 20$ cm

Întrebări frecvente

Mediana unui triunghi trece întotdeauna prin interiorul triunghiului?

Da, întotdeauna. Spre deosebire de înălțime — care în triunghiurile obtuze poate cădea în afara triunghiului — mediana pornește dintr-un vârf și ajunge la mijlocul laturii opuse. Acel mijloc e pe latură, deci segmentul e complet în interior. E valabil pentru orice triunghi, indiferent de forma lui.

Care e diferența dintre mediană, înălțime și bisectoare?

Toate trei pornesc dintr-un vârf, dar ajung în locuri diferite. Mediana ajunge la mijlocul laturii opuse. Înălțimea cade perpendicular pe latura opusă (sau prelungirea ei). Bisectoarea împarte unghiul din vârf în două unghiuri egale. Deci întrebarea cheie e: unde ajunge segmentul — la mijlocul laturii, perpendicular pe ea sau împărțind unghiul?

De ce centrul de greutate împarte mediana în raport 2:1 și nu 1:1?

E o proprietate geometrică a triunghiului — nu e o regulă inventată. Practic, centrul de greutate e "punctul de echilibru" al triunghiului, iar el stă mai aproape de bază decât de vârf. Raportul $2 : 1$ apare din calculele cu coordonate sau din demonstrații cu triunghiuri similare, pe care le vei studia mai în detaliu în clasele superioare.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Regula semnelor la numere întregi: 5 exerciții rezolvate

10 august 2026

Textul narativ literar explicat cu exemple — clasele 5-8

9 august 2026

Textul narativ ficțional explicat cu exemple, clasele 5-8

9 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună