MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

1. $M$ este mijlocul lui $BC$, deci $BM=$ $MC=$ ${\displaystyle \frac{BC}{2}}$.
2. $BM=$ ${\displaystyle \frac{22}{2}}=$ $11$ cm.

Răspuns: $BM=11$ cm

1. Fiindcă $N$ e mijlocul lui $EF$, $EN=NF$, deci $EF=2\cdot EN$.
2. $EF=2\cdot 9=18$ cm.

Răspuns: $EF=18$ cm

1. $G$ împarte mediana în raportul $2:1$ de la vârf, deci $AG$ reprezintă ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ din $AM$, iar $GM$ reprezintă ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. $AG=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 18=$ $12$ cm.
3. $GM=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 18=$ $6$ cm.

Răspuns: $AG=12$ cm, $GM=6$ cm

1. Fiindcă $AG:GM=2:1$, rezultă $AG=2\cdot GM$.
2. $AG=2\cdot 5=10$ cm.
3. $AM=$ $AG+GM=$ $10+5=$ $15$ cm.

Răspuns: $AG=10$ cm, $AM=15$ cm

1. $BG=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot BN=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 27=$ $18$ cm.
2. $GN=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot BN=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 27=$ $9$ cm.
3. Verificare: $2\cdot GN=$ $2\cdot 9=$ $18=$ $BG$. Relația $2:1$ este confirmată.

Răspuns: $BG=18$ cm, $GN=9$ cm

1. Centrul de greutate $G$ este singurul punct prin care trec, simultan, toate cele trei mediane ale triunghiului.
2. Fiecare mediană împarte placa în două jumătăți cu arii egale (deci și mase egale, pentru o placă omogenă), care se echilibrează reciproc față de acea mediană.
3. Doar în punctul comun al celor trei mediane, echilibrul este asigurat simultan față de toate cele trei direcții; în orice alt punct, cel puțin una dintre jumătăți ar atârna mai greu, iar placa s-ar înclina.

Răspuns: placa stă în echilibru doar în $G$, fiindcă e singurul punct prin care trec toate cele trei mediane, cele care echilibrează masa în perechi egale

1. Triunghiurile $ABM$ și $ACM$ au aceeași înălțime, dusă din $A$ pe dreapta $BC$, pentru că amândouă au vârful în $A$ și bazele pe aceeași dreaptă.
2. Bazele lor sunt egale: $BM=MC$, fiindcă $M$ este mijlocul lui $BC$.
3. Cu bază egală și înălțime egală, ariile sunt egale: ${𝒜}_{ABM}=$ ${𝒜}_{ACM}$.
4. Cele două arii însumate dau aria întregului triunghi, deci fiecare este jumătate din $96$: ${𝒜}_{ABM}=$ ${𝒜}_{ACM}=$ ${\displaystyle \frac{96}{2}}=$ $48$ cm².

Răspuns: ${𝒜}_{ABM}=$ ${𝒜}_{ACM}=$ $48$ cm²

1. Notezi $AM=x$. Din raportul $2:1$, $AG={\displaystyle \frac{2}{3}}x$ și $GM={\displaystyle \frac{1}{3}}x$.
2. Înlocuiești în $AG-GM=8$: ${\displaystyle \frac{2}{3}}x-{\displaystyle \frac{1}{3}}x=$ $8$, adică ${\displaystyle \frac{1}{3}}x=8$.
3. Rezultă $x=24$ cm, deci $AM=24$ cm.
4. $AG=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 24=$ $16$ cm, iar $GM=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 24=$ $8$ cm.

Răspuns: $AG=16$ cm, $GM=8$ cm, $AM=24$ cm