de Echipa Școala Virtuală7 august 2026

Aria triunghiului isoscel: formulă + 5 exerciții rezolvate

Triunghiul isoscel pare o figură ca oricare alta — dar când ajungi la aria lui, mulți elevi se blochează exact în același loc. Nu la formulă, ci la înălțimea pe bază. Și e logic să te blochezi, pentru că nimeni nu-ți spune clar că trebuie s-o calculezi înainte să poți folosi formula. Hai să rezolvăm asta o dată pentru totdeauna. Aria triunghiului isoscel nu e mai grea decât a oricărui triunghi — are doar un pas în plus pe care trebuie să-l știi. Îl parcurgem împreună, cu exemple reale, greșeli frecvente și exerciții pe care le poți rezolva singur. Dacă rămâi până la capăt, garantez că nu mai ratezi niciun exercițiu de genul ăsta.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce face un triunghi isoscel diferit față de celelalte triunghiuri
Vei ști să calculezi înălțimea pe bază folosind teorema lui Pitagora
Vei aplica formula ariei triunghiului isoscel pas cu pas
Vei recunoaște și evita greșelile pe care le fac cei mai mulți elevi

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un triunghi isoscel

Să zicem că desenezi un triunghi. Dai voie la două laturi să fie egale — nu toate trei, doar două. Aia e definiția. Un triunghi isoscel are două laturi egale, numite laturi congruente sau laterale, și o a treia latură diferită, numită baza. De exemplu, un acoperiș de casă desenat simplu e aproape întotdeauna un triunghi isoscel. Sau un semn de atenție — triunghiul acela galben cu vârful în sus. Îl recunoști după simetrie: dacă tragi o linie de la vârf până la mijlocul bazei, triunghiul se împarte în două jumătăți perfect identice. Linia aceea de simetrie e exact înălțimea pe bază — și ea îți va fi cel mai bun prieten la calculul ariei. Rețin asta, că revenim la ea imediat.

💡 Regula de bază

Formula ariei oricărui triunghi este $A = \frac{b \cdot h}{2}$ , unde $b$ este baza și $h$ este înălțimea corespunzătoare bazei. La triunghiul isoscel, înălțimea pe bază nu e dată direct — de obicei trebuie s-o calculezi tu cu teorema lui Pitagora, folosind latura egală și jumătatea bazei.

Cum calculezi înălțimea — gândind cu voce tare

Okay, am un triunghi isoscel cu latura egală $l$ și baza $b$ . Dacă trag înălțimea de la vârf la mijlocul bazei, obțin un triunghi dreptunghic. Ipotenoza lui e latura $l$ , un cathet e jumătatea bazei adică $\frac{b}{2}$ , iar celălalt cathet e chiar înălțimea $h$ pe care o caut. Practic, teorema lui Pitagora îmi spune că $l^{2} = h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}$ . De aici scot $h$ :

h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}}

Asta e tot mecanismul. Calculezi $h$ , apoi bagi în formulă. Doi pași simpli, în ordine.

💡 Formula completă pentru aria triunghiului isoscel

Dacă știi latura egală $l$ și baza $b$ , formula completă este:

A = \frac{b}{4} \cdot \sqrt{4 l^{2} - b^{2}}

Dar nu o memora mecanic. Înțelege pașii — calculezi $h$ cu Pitagora, apoi aplici $A = \frac{b \cdot h}{2}$ . Ajungi la același rezultat, și înțelegi ce faci.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un triunghi isoscel are latura egală $l = 10$ cm și baza $b = 12$ cm. Calculează aria triunghiului.

🔢 Rezolvare

h = \sqrt{l^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}}

h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64}

h = 8 cm

A = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{12 \cdot 8}{2} = \frac{96}{2}

A = 48 {cm}^{2}

✅ Explicație

Primul pas a fost să scot înălțimea — am folosit teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic format de înălțime, jumătatea bazei (6 cm) și latura egală (10 cm). Am obținut $h = 8$ cm. Abia după asta am aplicat formula ariei. Ordinea contează: întâi $h$ , apoi $A$ .

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii folosesc direct latura egală $l$ în loc de înălțime $h$ în formula ariei. Adică scriu $A = \frac{b \cdot l}{2}$ — ceea ce e complet greșit dacă $l$ nu e înălțimea.

✅ Corect: Latura egală și înălțimea sunt lucruri diferite. Înălțimea cade perpendicular pe bază. Latura egală e oblică. Le confunzi vizual, dar nu sunt același segment — calculează întotdeauna $h$ separat cu Pitagora.

❌ Greșeala #2: La calculul înălțimii, unii elevi folosesc baza întreagă $b$ în loc de jumătatea ei $\frac{b}{2}$ . Scriu $h = \sqrt{l^{2} - b^{2}}$ — și greșesc.

✅ Corect: Înălțimea împarte baza în două jumătăți egale. Deci în triunghiul dreptunghic mic, catetul orizontal e $\frac{b}{2}$ , nu $b$ . Desenează figura — asta te salvează de greșeala asta de fiecare dată.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi isoscel are latura egală $l = 5$ cm și baza $b = 6$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea pas cu pas

h = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16}

h = 4 cm

A = \frac{6 \cdot 4}{2} = \frac{24}{2}

A = 12 {cm}^{2}

Jumătatea bazei e 3 cm. Cu Pitagora obții $h = 4$ cm, un număr frumos. Apoi aria se calculează direct.

Răspuns: $A = 12 {cm}^{2}$

Exercițiul 2. Un triunghi isoscel are latura egală $l = 13$ cm și baza $b = 10$ cm. Calculează aria.

Vezi rezolvarea pas cu pas

h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144}

h = 12 cm

A = \frac{10 \cdot 12}{2} = \frac{120}{2}

A = 60 {cm}^{2}

Jumătatea bazei e 5 cm. Triunghiul dreptunghic mic are catetele 5 și 12 și ipotenoza 13 — e chiar tripleta pitagoreică clasică 5-12-13. Merită s-o ții minte.

Răspuns: $A = 60 {cm}^{2}$

Exercițiul 3. Un triunghi isoscel are perimetrul de 36 cm, iar baza lui este $b = 10$ cm. Calculează aria triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

l = \frac{P - b}{2} = \frac{36 - 10}{2} = \frac{26}{2} = 13 cm

h = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 cm

A = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 {cm}^{2}

Aici e un pas în plus față de exercițiile anterioare: trebuie să afli mai întâi latura egală din perimetru. Perimetrul unui triunghi isoscel e $P = 2 l + b$ , deci $l = \frac{P - b}{2}$ .

Răspuns: $A = 60 {cm}^{2}$

Exercițiul 4. Un triunghi isoscel are baza $b = 16$ cm și înălțimea corespunzătoare bazei $h = 15$ cm. Calculează aria și latura egală.

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = \frac{16 \cdot 15}{2} = \frac{240}{2} = 120 {cm}^{2}

l = \sqrt{h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}} = \sqrt{15^{2} + 8^{2}} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289}

l = 17 cm

De data asta înălțimea e dată direct, deci aria se calculează imediat. Pentru latura egală inversezi Pitagora: acum $h$ și $\frac{b}{2}$ sunt catetele, iar $l$ e ipotenoza.

Răspuns: $A = 120 {cm}^{2}$ , $l = 17 cm$

Exercițiul 5. Provocare: Aria unui triunghi isoscel este $A = 48 {cm}^{2}$ , iar baza are lungimea $b = 8$ cm. Găsește înălțimea pe bază și latura egală a triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = \frac{b \cdot h}{2} \Rightarrow 48 = \frac{8 \cdot h}{2} = 4 h

h = \frac{48}{4} = 12 cm

l = \sqrt{h^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}} = \sqrt{12^{2} + 4^{2}} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160}

l = \sqrt{160} = 4 \sqrt{10} cm \approx 12,65 cm

De data asta mergi invers: știi aria și baza, deci scoți $h$ din formula ariei. Apoi folosești Pitagora pentru $l$ . Atenție — $\sqrt{160}$ nu se simplifică la un număr întreg, și asta e perfect normal. Nu toate exercițiile dau rezultate rotunde.

Răspuns: $h = 12 cm$ , $l = 4 \sqrt{10} cm$

Întrebări frecvente

Pot folosi orice latură ca bază la un triunghi isoscel?

Tehnic, da — orice latură poate fi bază, iar formula ariei rămâne aceeași. Dar la triunghiul isoscel, prin convenție, baza e latura diferită față de celelalte două. Dacă enunțul îți dă explicit latura egală și baza, folosești exact valorile acelea. Nu schimba rolurile din enunț fără motiv.

Ce fac dacă înălțimea nu iese număr întreg?

O lași sub formă de radical — e complet corect. De exemplu, dacă obții $h = \sqrt{7}$ , aria va fi $A = \frac{b \cdot \sqrt{7}}{2}$ . Nu e nicio problemă cu asta. Răspunsul cu radical e exact, chiar mai precis decât o aproximare zecimală. Profesorii acceptă și chiar preferă forma exactă.

Un triunghi echilateral e și isoscel?

Da. Un triunghi echilateral are toate trei laturile egale, deci în particular are cel puțin două laturi egale — ceea ce înseamnă că respectă definiția isoscelului. E un caz particular. La aria lui există o formulă directă: $A = \frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ . Dar metoda cu Pitagora funcționează și pentru el.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Mijloacele de caracterizare a personajului, explicate simplu

7 august 2026

Întrebările complementelor și cazurilor – greșeli și exerciții

7 august 2026

Aria rombului: formulă + 5 exerciții rezolvate

6 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună