TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC: catete, ipotenuză și teorema lui Pitagora - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Triunghiul dreptunghic are un unghi de $90^{\circ}$ , două catete și o ipotenuză, legate prin teorema lui Pitagora: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Mai jos găsești definiția, teorema lui Pitagora cu reciproca ei, formulele de perimetru și arie, plus 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Triunghiul dreptunghic: catete, ipotenuză și teorema lui Pitagora

Triunghiul dreptunghic are un unghi de exact $90^{\circ}$ . Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura din fața unghiului drept, cea mai lungă dintre cele trei, se numește ipotenuză.

Catetele

a

și

b

formează unghiul drept din

A

; ipotenuza

c

este latura din fața lui, cea mai lungă.

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Teorema lui Pitagora: $a$ și $b$ sunt catetele, iar $c$ este ipotenuza. Dacă știi oricare două laturi, o afli pe a treia: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ pentru ipotenuză, sau $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ pentru o catetă.

Reciproca teoremei lui Pitagora: dacă într-un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ (cu $c$ cea mai mare) este adevărat că $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , atunci triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii $c$ .

$P = a + b + c$

$𝒜 =$ $\frac{a \cdot b}{2}$

Perimetrul este suma celor trei laturi. Aria este mai simplă decât la alte triunghiuri, pentru că cele două catete sunt perpendiculare: una joacă rolul bazei, cealaltă al înălțimii, fără să mai cauți înălțimea separat.

Triunghiul dreptunghic mai are două proprietăți speciale, cu articole dedicate: teorema unghiului de 30° (cateta opusă unui unghi de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză) și teorema medianei (mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză).

Exerciții rezolvate : triunghiul dreptunghic

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ipotenuza din cateteușor

Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 4$ cm și $b = 3$ cm. Calculează ipotenuza $c$ .

Rezolvare pas cu pas

$c^{2} =$ $a^{2} + b^{2} =$ $4^{2} + 3^{2} =$ $16 + 9 =$ $25$ .
$c = \sqrt{25} = 5$ cm.

Răspuns: $c = 5$ cm

EXERCIȚIUL 2Cateta lipsăușor

Un triunghi dreptunghic are ipotenuza $c = 13$ cm și o catetă $b = 5$ cm. Calculează cealaltă catetă.

Rezolvare pas cu pas

$a^{2} =$ $c^{2} - b^{2} =$ $13^{2} - 5^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ .
$a = \sqrt{144} = 12$ cm.

Răspuns: $a = 12$ cm

EXERCIȚIUL 3Perimetru și arieușor

Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 8$ cm și $b = 6$ cm. Calculează ipotenuza, perimetrul și aria.

Rezolvare pas cu pas

$c^{2} =$ $8^{2} + 6^{2} =$ $64 + 36 =$ $100$ , deci $c = 10$ cm.
$P = 8 + 6 + 10 = 24$ cm.
$𝒜 =$ $\frac{8 \cdot 6}{2} =$ $\frac{48}{2} =$ $24$ cm².

Răspuns: $c = 10$ cm, $P = 24$ cm, $𝒜 = 24$ cm²

EXERCIȚIUL 4Reciproca, verifici că e dreptunghicmediu

Un triunghi $M N P$ are laturile $M N = 9$ cm, $N P = 12$ cm și $M P = 15$ cm. Este triunghiul dreptunghic?

Rezolvare pas cu pas

Verifici dacă suma pătratelor celor două laturi mai mici este egală cu pătratul celei mai mari: $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ .
$15^{2} = 225$ .
Cum $9^{2} + 12^{2} = 15^{2}$ , conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus laturii de $15$ cm.

Răspuns: Da, este dreptunghic (unghiul drept este opus laturii de $15$ cm)

EXERCIȚIUL 5Reciproca, NU e dreptunghicmediu

Un triunghi $X Y Z$ are laturile $X Y = 5$ cm, $X Z = 6$ cm și $Y Z = 8$ cm. Este triunghiul dreptunghic?

Rezolvare pas cu pas

$5^{2} + 6^{2} =$ $25 + 36 =$ $61$ .
$8^{2} = 64$ .
Cum $61 \neq 64$ , suma pătratelor celor două laturi mai mici nu este egală cu pătratul celei mai mari.

Răspuns: Nu, triunghiul $X Y Z$ nu este dreptunghic

EXERCIȚIUL 6Scara sprijinită de peretemediu

O scară de $10$ m este sprijinită de un perete, cu piciorul scării la $6$ m de perete. La ce înălțime pe perete ajunge scara?

Rezolvare pas cu pas

Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic: scara este ipotenuza, iar distanța de la perete și înălțimea pe perete sunt catetele.
Înălțimea la pătrat este $10^{2} - 6^{2} =$ $100 - 36 =$ $64$ .
Înălțimea este $\sqrt{64} = 8$ m.

Răspuns: Scara ajunge la $8$ m înălțime pe perete

EXERCIȚIUL 7Catetele dintr-un raportgreu

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt în raportul $5 : 12$ , iar ipotenuza măsoară $26$ cm. Află lungimile catetelor și aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Notezi catetele $5 k$ și $12 k$ , pentru că sunt în raportul $5 : 12$ .
${(5 k)}^{2} + {(12 k)}^{2} =$ $26^{2}$ , adică $25 k^{2} + 144 k^{2} = 676$ , deci $169 k^{2} = 676$ .
$k^{2} = 4$ , deci $k = 2$ . Catetele sunt $5 \cdot 2 = 10$ cm și $12 \cdot 2 = 24$ cm.
Verificare: $10^{2} + 24^{2} =$ $100 + 576 =$ $676 =$ $26^{2}$ . ✓
$𝒜 =$ $\frac{10 \cdot 24}{2} =$ $\frac{240}{2} =$ $120$ cm².

Răspuns: catetele sunt $10$ cm și $24$ cm, iar aria este $120$ cm²

EXERCIȚIUL 8Provocare: teorema unghiului de 30° și teorema medianeigreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B C = 18$ cm și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ . Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează $A C$ și mediana $A M$ .

Rezolvare pas cu pas

Conform teoremei unghiului de $30^{\circ}$ , cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză: $A C =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.
Conform teoremei medianei, mediana dusă din vârful unghiului drept spre mijlocul ipotenuzei este mereu jumătate din ipotenuză, indiferent de celelalte unghiuri: $A M =$ $\frac{B C}{2} =$ $9$ cm.
$A C$ și $A M$ ies egale, dar din motive diferite: una vine din unghiul de $30^{\circ}$ , cealaltă din poziția lui $M$ la mijlocul ipotenuzei.

Răspuns: $A C = 9$ cm, $A M = 9$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe triunghiul dreptunghic

Enunțul dă două laturi ale unui triunghi dreptunghic (catete sau catetă și ipotenuză) și cere a treia.
Ți se dau trei lungimi și ești întrebat dacă triunghiul este dreptunghic (reciproca teoremei lui Pitagora).
Apare un unghi de $30^{\circ}$ sau mijlocul ipotenuzei, semn că intervine una dintre cele două teoreme speciale.

Greșeli frecvente la triunghiul dreptunghic

Confunzi ipotenuza cu o catetă în formula lui Pitagora. Ipotenuza este mereu cea mai lungă latură și stă singură în formula $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Verifică: $c$ trebuie să fie mai mare decât $a$ și decât $b$ .
Calculezi aria cu formula bazei și înălțimii „exterioare”, deși ai deja catetele. La triunghiul dreptunghic, dacă iei o catetă drept bază, cealaltă catetă este exact înălțimea, pentru că sunt perpendiculare. Nu mai cauți altă înălțime.
Aplici reciproca teoremei lui Pitagora fără să identifici întâi latura cea mai mare. Suma pătratelor celor două laturi mai mici trebuie comparată cu pătratul laturii celei mai mari, nu cu o latură oarecare.

Exersează : triunghiul dreptunghic

Fișă de lucru: Triunghiul dreptunghic, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul isoscel și dreptunghic, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre triunghiul dreptunghic

Cum știu dacă un triunghi e dreptunghic după lungimile laturilor?

Verifici cu reciproca teoremei lui Pitagora: ridici la pătrat fiecare latură și compari suma pătratelor celor două laturi mai mici cu pătratul celei mai mari. Dacă sunt egale, triunghiul e dreptunghic.

Ce sunt tripletele pitagoreice și de ce merită să le știu?

Sunt seturi de trei numere întregi care verifică teorema lui Pitagora: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17. Dacă le recunoști într-un exercițiu, economisești timp, pentru că rezultatul iese direct, fără calcule complicate.

Pot exista două unghiuri drepte într-un triunghi dreptunghic?

Nu, niciodată. Suma unghiurilor unui triunghi este mereu $180^{\circ}$ ; dacă unul este deja $90^{\circ}$ , celelalte două însumează tot $90^{\circ}$ , deci amândouă sunt ascuțite.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 12. Triunghiul dreptunghic. Teorema unghiului de 30 de grade. Teorema medianei..

Exersează cu fișa de lucru: Triunghiul dreptunghic — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În triunghiul dreptunghic ABC, unghiul drept este în C. Care dintre următoarele afirmații este adevărată despre ipotenuză?
2. În triunghiul dreptunghic, dacă un unghi ascuțit măsoară $30^{\circ}$ , cât măsoară celălalt unghi ascuțit?
3. Conform teoremei unghiului de $30^{\circ}$ , într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este egală cu:
4. Într-un triunghi dreptunghic cu ipotenusa $c = 10$ cm și un unghi de $30^{\circ}$ , cât măsoară cateta opusă acestui unghi?
5. Teorema medianei unui triunghi dreptunghic spune că mediana dusă din vârful unghiului drept este egală cu:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 13 mai 2026, actualizat 24 septembrie 2026