Congruența triunghiurilor — definiție, criterii

Două triunghiuri care arată identic — aceeași formă, aceleași dimensiuni — dar sunt desenate în locuri diferite pe foaie. Sunt egale? Sunt congruente? Și care-i diferența, dacă există vreuna? Asta îi încurcă pe toți când întâlnesc prima dată congruența triunghiurilor. Îți spun sincer: și mie mi-a luat ceva timp să înțeleg că „congruente” nu e un cuvânt complicat pentru ceva complicat — e pur și simplu un cuvânt fancy pentru „sunt copii perfecte unul altuia”. Practic, dacă poți lua un triunghi, îl pui peste celălalt și se suprapun exact, fără niciun milimetru în plus sau în minus — aia înseamnă congruență. Și știi ce e frumos? Nu trebuie să măsori toate cele șase elemente ca să demonstrezi asta. Sunt câteva scurtături, pe care le numim criterii de congruență — și ălea sunt cheia la exercițiile de la clasă.

Ce înseamnă, de fapt, congruența triunghiurilor

Hai să zicem că ai un șablon de triunghi — l-ai decupat din carton. Dacă trasezi conturul lui pe foaie de două ori, în locuri diferite, obții două triunghiuri identice. Nici mai mari, nici mai mici, nici strâmbe față de original. Asta e congruența. Spunem că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul DEF și scriem  $△ABC\equiv △DEF$ . Ordinea literelor contează enorm — mai multe despre asta la greșeli frecvente. Practic, congruența înseamnă că toate laturile și toți unghiurile corespondente sunt egale. Adică:  $AB=DE$ ,  $BC=EF$ ,  $AC=DF$ , și unghiurile de la vârfurile corespondente sunt și ele egale. Șase egalități în total. Dar — și asta e vestea bună — nu trebuie să le verifici pe toate șase dacă știi să folosești criteriile.

Cele trei criterii de congruență — LLL, LUL, ULU

Uite cum funcționează: în loc să verifici toate șase elemente, ajunge să verifici doar trei — dacă știi care trei. Sunt trei criterii principale pe care le înveți la clasele 6-7, și fiecare are o prescurtare pe care o să o ții minte ușor.

LLL — Latură-Latură-Latură. Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi ale celuilalt, triunghiurile sunt congruente. Punct. Nu mai trebuie nimic altceva.  $AB=DE,BC=EF,AC=DF\Rightarrow △ABC\equiv △DEF$ .

LUL — Latură-Unghi-Latură. Dacă două laturi și unghiul dintre ele sunt egale în ambele triunghiuri, gata — sunt congruente. Atenție la „unghiul dintre ele”: trebuie să fie exact unghiul format de cele două laturi respective, nu orice unghi.

ULU — Unghi-Latură-Unghi. Dacă două unghiuri și latura dintre ele sunt egale, triunghiurile sunt congruente. Din nou — latura trebuie să fie între cele două unghiuri, nu oricare latură.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Triunghiurile  $△MNP$  și  $△XYZ$  au  $MN=XY=4\text{cm}$ ,  $NP=YZ=6\text{cm}$ ,  $MP=XZ=5\text{cm}$ . Sunt congruente? Prin ce criteriu? (Răspuns: Da, prin criteriul LLL — toate cele trei laturi sunt egale două câte două.)
2. În triunghiurile  $△ABC$  și  $△DEF$ :  $\angle BAC=\angle EDF=45°$ ,  $AB=DE=8\text{cm}$ ,  $\angle ABC=\angle DEF=70°$ . Demonstrează congruența. (Răspuns: Criteriul ULU — două unghiuri egale și latura dintre ele egală:  $AB=DE$  este latura cuprinsă între  $\angle BAC$  și  $\angle ABC$ .)
3. Fie  $△ABC$  isoscel cu  $AB=AC$ . Mediana  $AD$  cade pe  $BC$  cu  $D$  mijlocul lui  $BC$ . Demonstrează că  $△ABD\equiv △ACD$ . (Răspuns:  $AB=AC$  dat,  $BD=DC$  pentru că  $D$  e mijlocul lui  $BC$ ,  $AD$  latură comună — criteriul LLL.)

Întrebări frecvente