CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR DREPTUNGHICE cazurile C.C., C.U., I.U., I.C. - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 4 octombrie 2026

Două triunghiuri dreptunghice au unghiurile drepte congruente de la început, așa că pentru congruență îți ajung două elemente, dintre care cel puțin o latură: catetă-catetă (C.C.), catetă-unghi ascuțit (C.U.), ipotenuză-unghi ascuțit (I.U.) sau ipotenuză-catetă (I.C.). Mai jos găsești cele patru cazuri, cum îl alegi pe cel potrivit și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele patru cazuri de congruență a triunghiurilor dreptunghice

Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză. Dacă $△ A B C$ și $△ D E F$ sunt dreptunghice în $A$ și $D$ , atunci $∠ A \equiv ∠ D$ fără să mai demonstrezi nimic. De aceea criteriile generale se scurtează: în loc de trei perechi de elemente, îți trebuie doar două.

Cazul C.C.: triunghiurile dreptunghice

A B C

și

D E F

au catetele congruente două câte două, deci sunt congruente.

$m (∠ A) =$ $m (∠ D) =$ $90^{\circ}$

C.C. (catetă-catetă). Dacă $A B = D E$ și $A C = D F$ , triunghiurile sunt congruente. Este criteriul L.U.L., pentru că unghiul drept este chiar unghiul cuprins între catete.
C.U. (catetă-unghi ascuțit). O catetă și un unghi ascuțit congruente. Dacă unghiul este alăturat catetei, aplici direct U.L.U. Dacă unghiul este opus catetei, afli întâi celălalt unghi ascuțit din suma unghiurilor (cele două unghiuri ascuțite au împreună $90^{\circ}$ ) și ajungi tot la U.L.U.
I.U. (ipotenuză-unghi ascuțit). Ipotenuzele congruente și câte un unghi ascuțit congruent. Celălalt unghi ascuțit rezultă tot din suma unghiurilor, iar ipotenuza este cuprinsă între cele două unghiuri ascuțite: U.L.U.
I.C. (ipotenuză-catetă). Ipotenuzele congruente și câte o catetă congruentă. Este singurul caz care nu se reduce direct la un criteriu general; îl folosești ca atare, fiindcă a fost demonstrat în lecție.

Ce NU ajunge. Două unghiuri ascuțite congruente, fără nicio latură, nu garantează congruența: un triunghi dreptunghic mic și unul mare pot avea exact aceleași unghiuri. Orice caz de mai sus conține cel puțin o latură.

Cum scrii demonstrația. Numești cele două triunghiuri, scrii că sunt dreptunghice și unde este unghiul drept, apoi cele două perechi de elemente congruente, fiecare cu justificarea ei (ipoteză, latură comună, unghiuri opuse la vârf, bisectoare, mijloc). La sfârșit scrii cazul folosit și, dacă ți se cere, ce elemente mai rezultă din congruență. Ordinea literelor în $△ A B C \equiv △ D E F$ arată care vârfuri își corespund, deci și care laturi sunt egale.

Exerciții rezolvate : congruența triunghiurilor dreptunghice

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ce caz de congruență recunoști?ușor

Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ sunt dreptunghice în $A$ , respectiv $D$ . Precizează dacă sunt congruente și prin ce caz, știind că: a) $A B = D E = 4$ cm și $A C = D F = 7$ cm; b) $B C = E F = 9$ cm și $m (∠ B) =$ $m (∠ E) =$ $35^{\circ}$ ; c) $B C = E F = 10$ cm și $A B = D E = 6$ cm; d) $A B = D E = 5$ cm și $m (∠ C) =$ $m (∠ F) =$ $40^{\circ}$ ; e) $m (∠ B) =$ $m (∠ E) =$ $25^{\circ}$ și $m (∠ C) =$ $m (∠ F) =$ $65^{\circ}$ .

Rezolvare pas cu pas

Laturile $B C$ și $E F$ sunt opuse unghiurilor drepte, deci sunt ipotenuzele; celelalte laturi sunt catete.
a) Două catete congruente: cazul C.C.
b) Ipotenuza și un unghi ascuțit: cazul I.U.
c) Ipotenuza și o catetă: cazul I.C.
d) Cateta $A B$ și unghiul $C$ , care este opus ei: cazul C.U. Din suma unghiurilor, $m (∠ B) =$ $m (∠ E) =$ $90^{\circ} - 40^{\circ} =$ $50^{\circ}$ , deci ai și unghiurile alăturate catetei.
e) Ai doar unghiuri, nicio latură. Triunghiurile au aceeași formă, dar pot avea mărimi diferite, deci nu poți spune că sunt congruente.

Răspuns: a) C.C.; b) I.U.; c) I.C.; d) C.U.; e) datele nu ajung

EXERCIȚIUL 2Elementele care rezultă din congruențăușor

Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ sunt dreptunghice în $A$ , respectiv $D$ , cu $B C = E F = 10$ cm și $m (∠ B) =$ $m (∠ E) =$ $60^{\circ}$ . Știind că $A B = 5$ cm, arată că triunghiurile sunt congruente, apoi află lungimea lui $D E$ și măsura unghiului $F$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două triunghiuri sunt dreptunghice, cu ipotenuzele $B C$ și $E F$ congruente: $B C = E F = 10$ cm.
Au și câte un unghi ascuțit congruent: $∠ B \equiv ∠ E$ . Prin cazul I.U., $△ A B C \equiv △ D E F$ .
Corespondența vârfurilor este $A \to D$ , $B \to E$ , $C \to F$ , deci $D E = A B = 5$ cm.
Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic au împreună $90^{\circ}$ : $m (∠ F) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .

Răspuns: $△ A B C \equiv △ D E F$ (I.U.); $D E = 5$ cm și $m (∠ F) =$ $30^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Perpendiculara din mijlocul laturiiușor

În triunghiul $A B C$ , punctul $D$ este mijlocul laturii $B C$ , iar $A D ⟂ B C$ . Demonstrează că $A B = A C$ și că $∠ B A D \equiv ∠ C A D$ .

Pe figură sunt marcate doar datele:

D

este mijlocul lui

B C

și

A D ⟂ B C

. Egalitatea

A B = A C

se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

Alegi triunghiurile care conțin laturile $A B$ și $A C$ : $△ A D B$ și $△ A D C$ . Ambele sunt dreptunghice în $D$ , pentru că $A D ⟂ B C$ .
Catetele $B D$ și $C D$ sunt congruente, pentru că $D$ este mijlocul lui $B C$ .
Cateta $A D$ este comună celor două triunghiuri.
Prin cazul C.C., $△ A D B \equiv △ A D C$ . De aici rezultă ipotenuzele congruente, $A B = A C$ , și unghiurile de la $A$ congruente, $∠ B A D \equiv ∠ C A D$ .

Răspuns: $△ A D B \equiv △ A D C$ (C.C.), deci $A B = A C$ și $∠ B A D \equiv ∠ C A D$

EXERCIȚIUL 4Ipotenuza comună în patrulatermediu

În patrulaterul convex $A B C D$ , unghiurile $B$ și $D$ sunt drepte, iar $A B = A D$ . Demonstrează că $C B = C D$ și că diagonala $A C$ este bisectoarea unghiului $B A D$ .

Pe figură sunt marcate doar datele din enunț; egalitatea

C B = C D

și unghiurile de la

A

se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

Diagonala $A C$ împarte patrulaterul în triunghiurile $A B C$ și $A D C$ , dreptunghice în $B$ , respectiv $D$ .
În ambele triunghiuri, $A C$ este opusă unghiului drept, deci este ipotenuză, și este comună.
Catetele $A B$ și $A D$ sunt congruente din ipoteză.
Prin cazul I.C., $△ A B C \equiv △ A D C$ , deci $C B = C D$ .
Tot din congruență, $∠ B A C \equiv ∠ D A C$ : semidreapta $A C$ împarte unghiul $B A D$ în două unghiuri congruente, deci este bisectoarea lui.

Răspuns: $△ A B C \equiv △ A D C$ (I.C.); $C B = C D$ și $A C$ este bisectoarea unghiului $B A D$

EXERCIȚIUL 5Perpendiculare pe laturile unui unghimediu

Unghiul $M O N$ are $70^{\circ}$ , iar $P$ este un punct din interiorul lui, astfel încât $∠ M O P \equiv ∠ P O N$ . Punctele $A$ și $B$ sunt picioarele perpendicularelor din $P$ pe $O M$ , respectiv pe $O N$ , iar $P A = 3$ cm. a) Demonstrează că $P B = 3$ cm. b) Calculează $m (∠ O P B)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiurile $O A P$ și $O B P$ sunt dreptunghice în $A$ , respectiv $B$ .
Ipotenuza $O P$ este comună.
Din ipoteză, $∠ A O P \equiv ∠ B O P$ (sunt chiar unghiurile $M O P$ și $P O N$ ), iar fiecare are $70^{\circ} : 2 =$ $35^{\circ}$ .
Prin cazul I.U., $△ O A P \equiv △ O B P$ , deci $P B = P A = 3$ cm. Altfel spus, $P$ se află la aceeași distanță de cele două laturi ale unghiului.
b) În triunghiul dreptunghic $O B P$ , unghiurile ascuțite au împreună $90^{\circ}$ : $m (∠ O P B) =$ $90^{\circ} - 35^{\circ} =$ $55^{\circ}$ .

Răspuns: a) $P B = 3$ cm (I.U.); b) $m (∠ O P B) =$ $55^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Unghiuri opuse la vârf și o catetămediu

Punctul $O$ este mijlocul segmentului $A B$ . Pe perpendicularele în $A$ și în $B$ pe $A B$ se iau punctele $C$ și $D$ , de o parte și de alta a dreptei $A B$ , astfel încât $C$ , $O$ , $D$ să fie coliniare. Știind că $A C = 4$ cm, află lungimea lui $B D$ și demonstrează că $O$ este mijlocul segmentului $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Triunghiurile $O A C$ și $O B D$ sunt dreptunghice în $A$ , respectiv $B$ .
Catetele $O A$ și $O B$ sunt congruente, pentru că $O$ este mijlocul lui $A B$ .
Unghiurile $A O C$ și $B O D$ sunt opuse la vârf, deci $∠ A O C \equiv ∠ B O D$ . Sunt unghiuri ascuțite, alăturate catetelor $O A$ și $O B$ .
Prin cazul C.U., $△ O A C \equiv △ O B D$ . Rezultă $B D = A C = 4$ cm.
Tot din congruență, ipotenuzele sunt congruente: $O C = O D$ . Cum $C$ , $O$ , $D$ sunt coliniare, $O$ este mijlocul lui $C D$ .

Răspuns: $B D = 4$ cm; $O C = O D$ , deci $O$ este mijlocul lui $C D$

EXERCIȚIUL 7Două congruențe la rândgreu

În triunghiul $A B C$ , cu $A B = A C$ și unghiurile ascuțite, $E$ este piciorul perpendicularei din $B$ pe $A C$ , iar $F$ este piciorul perpendicularei din $C$ pe $A B$ . Dreptele $B E$ și $C F$ se intersectează în $H$ . Demonstrează că: a) $B E = C F$ și $A E = A F$ ; b) $B F = C E$ ; c) $H B = H C$ .

Pe figură sunt marcate doar perpendicularele

B E ⟂ A C

și

C F ⟂ A B

; egalitatea

A B = A C

este dată în enunț. Egalitățile cerute se demonstrează.

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiurile $A B E$ și $A C F$ sunt dreptunghice în $E$ , respectiv $F$ . Ipotenuzele sunt $A B$ și $A C$ , congruente din ipoteză.
Unghiul ascuțit $A$ este comun celor două triunghiuri. Prin cazul I.U., $△ A B E \equiv △ A C F$ , deci $B E = C F$ și $A E = A F$ .
b) $F$ este pe latura $A B$ , deci $B F = A B - A F$ ; $E$ este pe latura $A C$ , deci $C E = A C - A E$ . Scazi lungimi egale din lungimi egale, deci $B F = C E$ .
c) Triunghiurile $H F B$ și $H E C$ sunt dreptunghice în $F$ , respectiv $E$ , iar catetele $B F$ și $C E$ sunt congruente (punctul b).
Unghiurile $F H B$ și $E H C$ sunt opuse la vârf, deci congruente; fiecare este unghi ascuțit, opus catetei $B F$ , respectiv $C E$ .
Prin cazul C.U., $△ H F B \equiv △ H E C$ , deci ipotenuzele sunt congruente: $H B = H C$ .

Răspuns: a) I.U.: $B E = C F$ , $A E = A F$ ; b) $B F = C E$ ; c) C.U.: $H B = H C$

EXERCIȚIUL 8Perpendiculare pe o dreaptă prin mijlocgreu

Punctul $M$ este mijlocul segmentului $B C$ , iar $d$ este o dreaptă care trece prin $M$ . Punctele $D$ și $E$ sunt picioarele perpendicularelor din $B$ și din $C$ pe dreapta $d$ , iar $m (∠ B M D) =$ $40^{\circ}$ . a) Demonstrează că $B D = C E$ și că $M$ este mijlocul segmentului $D E$ . b) Calculează $m (∠ M C E)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiurile $B D M$ și $C E M$ sunt dreptunghice în $D$ , respectiv $E$ . Ipotenuzele lor sunt $B M$ și $C M$ , congruente pentru că $M$ este mijlocul lui $B C$ .
Unghiurile $B M D$ și $C M E$ sunt opuse la vârf, deci $∠ B M D \equiv ∠ C M E$ , iar fiecare are $40^{\circ}$ .
Prin cazul I.U., $△ B D M \equiv △ C E M$ . Rezultă $B D = C E$ și $M D = M E$ .
Punctele $D$ , $M$ , $E$ sunt pe dreapta $d$ , iar $M$ este între $D$ și $E$ , deci din $M D = M E$ rezultă că $M$ este mijlocul lui $D E$ .
b) În triunghiul dreptunghic $C E M$ : $m (∠ M C E) =$ $90^{\circ} - 40^{\circ} =$ $50^{\circ}$ .

Răspuns: a) $△ B D M \equiv △ C E M$ (I.U.), deci $B D = C E$ și $M D = M E$ ; b) $m (∠ M C E) =$ $50^{\circ}$

Cum alegi cazul potrivit pentru triunghiurile dreptunghice

Marchează întâi unghiul drept din fiecare triunghi și numește ipotenuza (latura din fața lui). Abia apoi vezi ce laturi îți sunt date: două catete (C.C.), ipotenuză și catetă (I.C.).
Dacă ai un singur segment congruent și un unghi ascuțit, întreabă-te dacă segmentul este ipotenuză (I.U.) sau catetă (C.U.).
Caută elementele „ascunse” din figură: latura comună, unghiul comun, unghiurile opuse la vârf, mijlocul unui segment, bisectoarea unui unghi. De obicei unul dintre cele două elemente vine de acolo.

Greșeli frecvente la congruența triunghiurilor dreptunghice

Confunzi ipotenuza cu o catetă. Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept. Dacă triunghiul este dreptunghic în $D$ , ipotenuza este latura care nu trece prin $D$ . O catetă a unui triunghi nu se potrivește cu ipotenuza celuilalt.
Folosești doar două unghiuri ascuțite. Două unghiuri congruente fără nicio latură nu ajung: triunghiurile pot avea aceeași formă și mărimi diferite. Orice caz de congruență a triunghiurilor dreptunghice cere cel puțin o latură.
Uiți să spui unde este unghiul drept. Într-o demonstrație scrii întâi „triunghiurile sunt dreptunghice în ...” și justifici de ce (perpendiculară, unghi drept din ipoteză). Fără asta, cazurile C.C., C.U., I.U. și I.C. nu se pot aplica.

Exersează : congruența triunghiurilor dreptunghice

Fișă de lucru: Congruența triunghiurilor dreptunghice, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Congruența triunghiurilor dreptunghice, partea a II-aclasa a VI-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre congruența triunghiurilor dreptunghice

De ce la triunghiurile dreptunghice ajung doar două elemente?

Pentru că al treilea element, unghiul drept, este deja congruent în ambele triunghiuri. Criteriile C.C., C.U. și I.U. sunt, de fapt, criteriile L.U.L. și U.L.U. în care unghiul drept este dat din start.

Care este diferența dintre C.U. și I.U.?

La amândouă ai un unghi ascuțit congruent. La C.U. latura congruentă este o catetă, iar la I.U. este ipotenuza. Uită-te dacă latura se află în fața unghiului drept: dacă da, este ipotenuză.

Pot folosi criteriul L.U.L. în loc de C.C.?

Da. Cazul C.C. este chiar L.U.L., cu unghiul drept cuprins între catete. Denumirea C.C. doar îți scurtează scrierea. La I.C. însă nu ai un criteriu general echivalent direct, așa că îl citezi ca atare.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au congruente cateta și ipotenuza. Aceasta este:
2. Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au congruente cele două catete. Acest criteriu se numește:
3. Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au congruente ipotenuza și un unghi ascuțit. Acest criteriu se numește:
4. Două triunghiuri dreptunghice sunt congruente dacă au congruente o catetă și un unghi ascuțit adiacent acesteia. Acest criteriu se numește:
5. Care dintre următoarele afirmații despre criteriile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice este ADEVĂRATĂ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 4 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CONGRUENȚA TRIUNGHIURILOR: criteriile LLL, LUL, ULU - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

METODA TRIUNGHIURILOR CONGRUENTE pas cu pas - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 7: Triunghiul

BISECTOAREA UNUI UNGHI: proprietăți și incentrul triunghiului - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

MEDIATOARELE LATURILOR UNUI TRIUNGHI și circumcentrul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

ÎNĂLȚIMILE UNUI TRIUNGHI: definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

ÎNĂLȚIMEA ÎN TRIUNGHIUL ISOSCEL, definiție și formulă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 8: Linii importante în triunghi

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună