TRIUNGHIUL ISOSCEL, proprietăți și formule - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 24 septembrie 2026

Un triunghi isoscel are două laturi congruente, iar unghiurile de la bază sunt congruente. Mai jos găsești proprietățile cu figură, reciprocele, formulele pentru unghiuri și perimetru și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Triunghiul isoscel: definiție, proprietăți și formule

Definiție. Un triunghi care are două laturi congruente se numește triunghi isoscel. Laturile congruente se numesc laturi laterale, a treia latură se numește bază, iar unghiul opus bazei este unghiul de la vârf.

O liniuță:

A B = A C

. Două liniuțe:

B D = D C

. Arcele arată

∠ B \equiv ∠ C

Proprietatea 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt congruente: dacă $A B = A C$ , atunci $∠ B \equiv ∠ C$ .

Proprietatea 2. Dacă $A B = A C$ , atunci bisectoarea unghiului $A$ , mediana din $A$ , înălțimea din $A$ și mediatoarea bazei $B C$ sunt pe aceeași dreaptă. Segmentul $A D$ din figură este în același timp bisectoare, mediană și înălțime.

Reciprocele. Un triunghi este isoscel dacă are două unghiuri congruente. Un triunghi este isoscel și dacă, din același vârf, bisectoarea este și înălțime, bisectoarea este și mediană sau înălțimea este și mediană.

Formule. Suma unghiurilor este $180^{\circ}$ , ca în orice triunghi. Cu $l$ latura laterală și $b$ baza:

$m (∠ B) =$ $m (∠ C) =$ $\frac{180^{\circ} - m (∠ A)}{2},$ $P = 2 l + b$

Aria triunghiului isoscel are un articol separat: aria triunghiului isoscel, formula și exerciții.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Unghiurile de la bazăușor

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și $m (∠ A) =$ $40^{\circ}$ . Calculează măsurile unghiurilor $B$ și $C$ .

Rezolvare pas cu pas

Laturile congruente sunt $A B$ și $A C$ , deci baza este $B C$ , iar $∠ A$ este unghiul de la vârf.
Unghiurile de la bază sunt congruente: $m (∠ B) =$ $m (∠ C)$ .
Suma unghiurilor este $180^{\circ}$ , deci $m (∠ B) + m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 40^{\circ} =$ $140^{\circ}$ .
$m (∠ B) =$ $m (∠ C) =$ $140^{\circ} : 2 =$ $70^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B) =$ $m (∠ C) =$ $70^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Latura din perimetruușor

Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C$ , baza $B C = 12$ cm și perimetrul de $40$ cm. Calculează lungimea laturii $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Perimetrul este $P =$ $A B + A C + B C =$ $2 \cdot A B + B C$ .
Înlocuim: $2 \cdot A B + 12 = 40$ , deci $2 \cdot A B = 28$ .
$A B = 28 : 2 = 14$ cm, iar $A C = A B = 14$ cm.

Răspuns: $A B = A C = 14$ cm

EXERCIȚIUL 3Unghiul de la vârfușor

Triunghiul $D E F$ este isoscel cu baza $E F$ , iar $m (∠ E) =$ $35^{\circ}$ . Calculează $m (∠ F)$ și $m (∠ D)$ .

Rezolvare pas cu pas

$E$ și $F$ sunt unghiurile de la bază, deci sunt congruente: $m (∠ F) =$ $35^{\circ}$ .
$m (∠ D) =$ $180^{\circ} - 35^{\circ} - 35^{\circ} =$ $110^{\circ}$ .
Observă că unghiul de la vârf poate fi obtuz, dar unghiurile de la bază sunt mereu ascuțite.

Răspuns: $m (∠ F) =$ $35^{\circ}$ , $m (∠ D) =$ $110^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Unghiurile cu o ecuațiemediu

Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf are cu $30^{\circ}$ mai mult decât un unghi de la bază. Calculează măsurile celor trei unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Notăm cu $x$ măsura unui unghi de la bază. Celălalt unghi de la bază are tot $x$ , iar unghiul de la vârf are $x + 30^{\circ}$ .
Suma unghiurilor: $x + x + x + 30^{\circ} =$ $180^{\circ}$ , deci $3 x = 150^{\circ}$ .
$x = 50^{\circ}$ , iar unghiul de la vârf are $50^{\circ} + 30^{\circ} =$ $80^{\circ}$ .
Verificare: $50^{\circ} + 50^{\circ} + 80^{\circ} =$ $180^{\circ}$ .

Răspuns: $50^{\circ}$ , $50^{\circ}$ și $80^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Înălțimea este și medianămediu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ , $B C = 16$ cm și $m (∠ A) =$ $50^{\circ}$ . Punctul $D$ este piciorul înălțimii din $A$ . Calculează $B D$ și $m (∠ B A D)$ .

Rezolvare pas cu pas

$A D$ este înălțimea dusă din vârf pe bază, deci este și mediană și bisectoare.
Fiind mediană, $D$ este mijlocul lui $B C$ : $B D =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{16}{2} =$ $8$ cm.
Fiind bisectoare, $A D$ împarte unghiul $A$ în două unghiuri congruente: $m (∠ B A D) =$ $50^{\circ} : 2 =$ $25^{\circ}$ .

Răspuns: $B D = 8$ cm, $m (∠ B A D) =$ $25^{\circ}$

EXERCIȚIUL 6Reciproca: două unghiuri egalemediu

În triunghiul $M N P$ , $m (∠ M) =$ $70^{\circ}$ , $m (∠ N) =$ $40^{\circ}$ și $M N = 9$ cm. Arată că triunghiul este isoscel și află lungimea laturii $N P$ .

Rezolvare pas cu pas

$m (∠ P) =$ $180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} =$ $70^{\circ}$ .
Triunghiul are două unghiuri congruente, $∠ M \equiv ∠ P$ , deci este isoscel.
Laturile congruente sunt cele opuse acestor unghiuri: opusă lui $M$ este $N P$ , opusă lui $P$ este $M N$ . Baza este $M P$ .
Deci $N P = M N = 9$ cm.

Răspuns: triunghiul $M N P$ este isoscel cu baza $M P$ , $N P = 9$ cm

EXERCIȚIUL 7Reciproca: bisectoarea este înălțimegreu

În triunghiul $A B C$ , bisectoarea $A D$ a unghiului $A$ (cu $D$ pe $B C$ ) este perpendiculară pe $B C$ . Știind că $A B = 11$ cm și $B C = 8$ cm, calculează perimetrul triunghiului.

Nu am marcat

A B = A C

: asta trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

Comparăm triunghiurile $A B D$ și $A C D$ : $∠ B A D \equiv ∠ C A D$ ( $A D$ este bisectoare), $A D$ este latură comună, iar $∠ A D B \equiv ∠ A D C$ (ambele au $90^{\circ}$ ).
După cazul unghi-latură-unghi (ULU), $△ A B D \equiv △ A C D$ , deci $A C = A B = 11$ cm.
Triunghiul $A B C$ este isoscel, iar perimetrul este $P = 11 + 11 + 8 = 30$ cm.

Răspuns: $P = 30$ cm

EXERCIȚIUL 8Două triunghiuri isoscele ascunsegreu

Triunghiul $A B C$ este isoscel, cu $A B = A C$ și $m (∠ A) =$ $36^{\circ}$ . Bisectoarea unghiului $B$ intersectează latura $A C$ în punctul $D$ . Arată că triunghiurile $A B D$ și $B C D$ sunt isoscele.

Rezolvare pas cu pas

Unghiurile de la bază: $m (∠ A B C) =$ $m (∠ C) =$ $\frac{180^{\circ} - 36^{\circ}}{2} =$ $72^{\circ}$ .
$B D$ este bisectoare, deci $m (∠ A B D) =$ $m (∠ D B C) =$ $72^{\circ} : 2 =$ $36^{\circ}$ .
În triunghiul $A B D$ : $m (∠ A) =$ $m (∠ A B D) =$ $36^{\circ}$ , deci triunghiul $A B D$ este isoscel, cu $A D = B D$ .
În triunghiul $B C D$ : $m (∠ B D C) =$ $180^{\circ} - 36^{\circ} - 72^{\circ} =$ $72^{\circ} =$ $m (∠ C)$ , deci triunghiul $B C D$ este isoscel, cu $B D = B C$ .

Răspuns: $A D = B D$ și $B D = B C$ , deci ambele triunghiuri sunt isoscele

Cum recunoști un exercițiu pe triunghiul isoscel

Enunțul spune „triunghi isoscel” sau îți dă două laturi egale, de exemplu $A B = A C$ .
Se cer unghiuri și știi un singur unghi: folosești faptul că unghiurile de la bază sunt egale.
Apare o linie dusă din vârf (înălțime, mediană, bisectoare): ea le înlocuiește pe celelalte. Sau trebuie să arăți că un triunghi este isoscel: cauți două unghiuri egale.

Greșeli frecvente

Confunzi baza cu o latură laterală. Baza este latura diferită, iar unghiurile de la bază sunt cele alăturate ei. Dacă $A B = A C$ , baza este $B C$ , nu $A B$ .
Nu verifici ce unghi ți se dă. „Un unghi de $40^{\circ}$ ” poate fi unghiul de la vârf sau unul de la bază, iar rezultatele diferă. Citește atent enunțul și desenează figura.
Folosești proprietatea 2 pentru orice înălțime. Doar linia dusă din vârf pe bază este în același timp înălțime, mediană și bisectoare. Înălțimea din $B$ nu este, în general, și mediană.

Exersează

Fișă de lucru: Triunghiul isoscel, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Triunghiul isoscel și dreptunghic, clasa a VI-acu barem (PDF) Lecția video: Triunghiul isoscelclasa a VI-a, capitolul 9

Din același capitol

Întrebări frecvente

Câte grade are un triunghi isoscel?

Suma unghiurilor lui este $180^{\circ}$ , ca la orice triunghi. Cele două unghiuri de la bază sunt egale și fiecare are mai puțin de $90^{\circ}$ .

Un triunghi echilateral este și isoscel?

Da. Are toate laturile egale, deci are și două laturi egale. Este un caz particular de triunghi isoscel.

Poate fi un triunghi isoscel și dreptunghic?

Da. Unghiul drept este atunci unghiul de la vârf, iar unghiurile de la bază au câte $45^{\circ}$ .

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 1. Triunghiul isoscel.

Exersează cu fișa de lucru: Triunghiul isoscel — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 12 mai 2026, actualizat 24 septembrie 2026