TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC ISOSCEL: unghiuri, ipotenuză și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 24 septembrie 2026

Un triunghi dreptunghic isoscel are un unghi drept și cele două catete egale, deci celelalte două unghiuri au câte $45^{\circ}$ . Mai jos găsești proprietățile, formulele pentru ipotenuză, înălțime și arie și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Proprietățile triunghiului dreptunghic isoscel

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel dacă $m (∠ A) =$ $90^{\circ}$ și $A B = A C$ . Catetele egale le notăm cu $c$ .

Unghiul drept este în

A

. Catetele egale sunt marcate cu câte o liniuță, iar înălțimea

A D

cade în mijlocul ipotenuzei.

Unghiurile. Unghiurile ascuțite sunt egale (triunghiul e isoscel) și au împreună $90^{\circ}$ , deci fiecare are $45^{\circ}$ .

Ipotenuza. Din teorema lui Pitagora, $B C^{2} =$ $c^{2} + c^{2} =$ $2 c^{2}$ :

$B C = c \sqrt{2}$

Înălțimea din unghiul drept. Înălțimea $A D$ este și mediană și bisectoare, pentru că triunghiul e isoscel. Ca mediană pe ipotenuză, este jumătate din ipotenuză:

$A D = \frac{B C}{2}$

Aria. O catetă este înălțimea celeilalte:

$𝒜 =$ $\frac{c \cdot c}{2} =$ $\frac{c^{2}}{2}$

Două triunghiuri mai mici, de același fel. Înălțimea $A D$ împarte triunghiul în triunghiurile $A B D$ și $A C D$ . Fiecare are un unghi drept în $D$ și un unghi de $45^{\circ}$ (în $B$ , respectiv în $C$ ), deci și ele sunt dreptunghice isoscele: $A D = B D = D C$ . Această observație scurtează multe probleme, pentru că poți lucra cu triunghiul mic în loc de cel mare.

Legătura cu pătratul. Dacă lipești două triunghiuri dreptunghice isoscele egale pe ipotenuză, obții un pătrat cu latura $c$ . De aceea diagonala unui pătrat cu latura $c$ are $c \sqrt{2}$ , iar aria triunghiului este jumătate din aria pătratului. Dacă ții minte pătratul, îți amintești ușor și formulele triunghiului.

În figură, $c = 4$ cm: ipotenuza este $4 \sqrt{2}$ cm, înălțimea $A D = 2 \sqrt{2}$ cm, iar aria este $8$ cm². Un pătrat tăiat de o diagonală dă exact două astfel de triunghiuri.

Exerciții rezolvate : triunghiul dreptunghic isoscel

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Unghiurile ascuțiteușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și are $A B = A C$ . Află măsurile unghiurilor $B$ și $C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din $A B = A C$ , triunghiul este isoscel cu baza $B C$ , deci $m (∠ B) =$ $m (∠ C)$ .
Suma unghiurilor este $180^{\circ}$ : $m (∠ B) + m (∠ C) =$ $180^{\circ} - 90^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .
Fiecare are $90^{\circ} : 2 =$ $45^{\circ}$ .
Reține rezultatul: orice triunghi dreptunghic cu catetele egale are unghiurile de $90^{\circ}$ , $45^{\circ}$ și $45^{\circ}$ . Invers, dacă un triunghi dreptunghic are un unghi de $45^{\circ}$ , atunci catetele lui sunt egale.

Răspuns: $m (∠ B) =$ $m (∠ C) =$ $45^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Aria din cateteușor

Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele $A B = A C = 6$ cm. Calculează aria lui.

Rezolvare pas cu pas

Catetele sunt perpendiculare, deci una este înălțimea celeilalte.
$𝒜 =$ $\frac{6 \cdot 6}{2} =$ $\frac{36}{2} =$ $18$ cm².

Răspuns: $𝒜 = 18$ cm²

EXERCIȚIUL 3Ipotenuza din catetăușor

Catetele unui triunghi dreptunghic isoscel au câte $5$ cm. Calculează ipotenuza.

Rezolvare pas cu pas

Teorema lui Pitagora: $B C^{2} =$ $5^{2} + 5^{2} =$ $25 + 25 =$ $50$ .
$B C =$ $\sqrt{50} =$ $\sqrt{25 \cdot 2} =$ $5 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: $B C = 5 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 4Catetele din ipotenuzămediu

Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza de $8 \sqrt{2}$ cm. Calculează catetele și aria.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza este $c \sqrt{2}$ , deci $c \sqrt{2} =$ $8 \sqrt{2}$ și $c = 8$ cm.
$𝒜 =$ $\frac{8^{2}}{2} =$ $\frac{64}{2} =$ $32$ cm².

Răspuns: catetele au $8$ cm, $𝒜 = 32$ cm²

EXERCIȚIUL 5Înălțimea pe ipotenuzămediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$ și ipotenuza $B C = 10$ cm. Calculează înălțimea $A D$ și aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul e isoscel cu baza $B C$ , deci înălțimea $A D$ este și mediană: $D$ este mijlocul lui $B C$ .
Mediana pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză: $A D =$ $\frac{10}{2} =$ $5$ cm.
Cu baza $B C$ și înălțimea $A D$ : $𝒜 =$ $\frac{10 \cdot 5}{2} =$ $25$ cm².

Răspuns: $A D = 5$ cm, $𝒜 = 25$ cm²

EXERCIȚIUL 6Perimetrulmediu

Un triunghi dreptunghic isoscel are catetele de câte $4$ cm. Calculează perimetrul lui.

Rezolvare pas cu pas

Ipotenuza este $4 \sqrt{2}$ cm.
$P =$ $4 + 4 + 4 \sqrt{2} =$ $8 + 4 \sqrt{2}$ cm.
Se poate scrie și $P = 4 (2 + \sqrt{2})$ cm.

Răspuns: $P = 8 + 4 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 7Jumătate de pătratgreu

Pătratul $A B C D$ are latura de $6$ cm. Arată că triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel și calculează diagonala $A C$ și aria triunghiului $A B C$ .

Rezolvare pas cu pas

$m (∠ B) =$ $90^{\circ}$ (unghi al pătratului) și $A B = B C = 6$ cm, deci $A B C$ este dreptunghic isoscel cu ipotenuza $A C$ .
Ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel cu catetele de $6$ cm este $A C = 6 \sqrt{2}$ cm. Așa se calculează orice diagonală de pătrat: latura înmulțită cu $\sqrt{2}$ .
$𝒜_{A B C} =$ $\frac{6^{2}}{2} =$ $18$ cm², adică jumătate din aria pătratului ( $36$ cm²).

Răspuns: $A C = 6 \sqrt{2}$ cm, $𝒜_{A B C} =$ $18$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: triunghiuri formate cu mijloacelegreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel, cu unghiul drept în $A$ și ipotenuza $B C = 12$ cm. Punctul $D$ este mijlocul lui $B C$ , iar $E$ este mijlocul lui $A B$ . Calculează aria triunghiului $B D E$ .

Rezolvare pas cu pas

Catetele: $c \sqrt{2} = 12$ , deci $c =$ $\frac{12}{\sqrt{2}} =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
$𝒜_{A B C} =$ $\frac{c^{2}}{2} =$ $\frac{72}{2} =$ $36$ cm².
$A D$ este mediană, deci împarte aria în două: $𝒜_{A B D} =$ $18$ cm².
În triunghiul $A B D$ , $D E$ este mediană ( $E$ mijlocul lui $A B$ ), deci $𝒜_{B D E} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm².

Răspuns: $𝒜_{B D E} =$ $9$ cm²

Cum recunoști un triunghi dreptunghic isoscel într-o problemă

Enunțul spune „dreptunghic” și două laturi egale, sau un unghi drept și un unghi de $45^{\circ}$ .
Apare o diagonală de pătrat: fiecare jumătate a pătratului este un triunghi dreptunghic isoscel. La fel, înălțimea pe ipotenuză a unui astfel de triunghi îl taie în două triunghiuri mai mici de același fel.
Apare un raport ipotenuză / catetă egal cu $\sqrt{2}$ .

Greșeli frecvente la triunghiul dreptunghic isoscel

Iei ipotenuza drept una dintre laturile egale. Laturile egale sunt catetele. Ipotenuza este mai lungă: $c \sqrt{2}$ .
Calculezi aria ca $c^{2}$ . Aceea e aria pătratului. Triunghiul este jumătate: $\frac{c^{2}}{2}$ .
Crezi că înălțimea din $A$ este egală cu o catetă. Înălțimea pe ipotenuză este jumătate din ipotenuză, adică $\frac{c \sqrt{2}}{2}$ , mai mică decât cateta.

Exersează : triunghiul dreptunghic isoscel

Fișă de lucru: Triunghiul dreptunghic, clasa a VI-aPDF de printat, cu rezolvări separate Fișă de lucru: Triunghiul isoscel, clasa a VI-aPDF de printat, cu rezolvări separate Test: Triunghiul isoscel și dreptunghic, clasa a VI-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre triunghiul dreptunghic isoscel

Care e diferența dintre triunghiul dreptunghic isoscel și triunghiul echilateral?

Echilateralul are toate laturile egale și toate unghiurile de $60^{\circ}$ , deci nu are unghi drept. Dreptunghicul isoscel are doar două laturi egale (catetele), un unghi de $90^{\circ}$ și două de $45^{\circ}$ . Formulele lor nu se amestecă: la echilateral înălțimea este $\frac{l \sqrt{3}}{2}$ , la dreptunghicul isoscel este jumătate din ipotenuză.

Ce unghiuri are un triunghi dreptunghic isoscel?

Un unghi de $90^{\circ}$ și două de $45^{\circ}$ . Nu există alt triunghi dreptunghic cu catete egale.

Cum afli catetele dacă știi ipotenuza?

Împarți ipotenuza la $\sqrt{2}$ : $c =$ $\frac{B C}{\sqrt{2}} =$ $\frac{B C \sqrt{2}}{2}$ .

Aria se poate calcula și din ipotenuză?

Da. Înălțimea pe ipotenuză este $\frac{B C}{2}$ , deci $𝒜 =$ $\frac{B C \cdot B C}{4} =$ $\frac{B C^{2}}{4}$ . Cu $B C = 10$ cm iese $25$ cm², ca la exercițiul 5.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 24 septembrie 2026

Exerciții rezolvate la matematică

ARIA TRIUNGHIULUI oarecare, dreptunghic și cu unghi obtuz - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

24 septembrie 2026

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

13 septembrie 2026

UNGHIURI ÎN JURUL UNUI PUNCT: suma lor de 360 de grade - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

12 septembrie 2026

UNGHIURI COMPLEMENTARE: aplicații cu triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

11 septembrie 2026

UNGHI LA CENTRU: formula și arcul corespunzător - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

11 septembrie 2026

TERMENUL NECUNOSCUT DINTR-O PROPORȚIE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

9 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună