IPOTENUZA ȘI CATETELE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este latura opusă unghiului drept, iar catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept. Mai jos găsești cum le recunoști, relația dintre ele și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Ipotenuza și catetele: cum le recunoști și ce relație există între ele

Catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept. Ipotenuza este a treia latură, cea opusă unghiului drept. Ipotenuza este mereu cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic.

Unghiul drept este în

A

, deci ipotenuza este

B C

Regula de recunoaștere este scurtă: cauți vârful cu unghiul drept. Cele două laturi care pleacă din el sunt catetele, iar latura care nu îl atinge este ipotenuza. În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , catetele sunt $A B$ și $A C$ , iar ipotenuza este $B C$ .

Teorema lui Pitagora leagă cele trei lungimi: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor.

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$

Din aceeași relație afli o catetă, când cunoști ipotenuza și cealaltă catetă:

$A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$

Reciproca teoremei lui Pitagora. Dacă într-un triunghi pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic, iar latura cea mare este ipotenuza. Cu ea verifici dacă un triunghi are un unghi drept, fără să măsori unghiuri.

Grupuri de numere care apar des. Multe exerciții sunt construite pe aceleași triplete de numere întregi, unde ultimul este ipotenuza: $3, 4, 5$ , apoi $5, 12, 13$ , $8, 15, 17$ și $7, 24, 25$ . Multiplii lor merg la fel: din $3, 4, 5$ obții $6, 8, 10$ , $9, 12, 15$ sau $30, 40, 50$ . Dacă recunoști tripletul, afli a treia latură din cap și folosești calculul doar ca verificare.

Cât de mare poate fi o catetă. Din relația de mai sus, $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ , iar o lungime la pătrat este mereu pozitivă. Deci fiecare catetă este strict mai scurtă decât ipotenuza. Dacă îți iese o catetă mai lungă decât ipotenuza, ai amestecat laturile undeva.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Recunoști laturileușor

Triunghiul $M N P$ este dreptunghic în $N$ . Precizează care latură este ipotenuza și care sunt catetele.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în vârful $N$ .
Din $N$ pleacă laturile $N M$ și $N P$ , deci acestea sunt catetele.
Latura care nu atinge vârful $N$ este $M P$ , deci $M P$ este ipotenuza.

Răspuns: Ipotenuza este $M P$ , catetele sunt $M N$ și $N P$

EXERCIȚIUL 2Afli ipotenuza din cateteușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 8$ cm și $A C = 6$ cm. Calculează ipotenuza $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în $A$ , deci ipotenuza este $B C$ .
Din teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ .
$B C^{2} =$ $8^{2} + 6^{2} =$ $64 + 36 =$ $100$ .
$B C = \sqrt{100} = 10$ cm.

Răspuns: $B C = 10$ cm

EXERCIȚIUL 3Afli o catetă din ipotenuzăușor

Triunghiul $D E F$ este dreptunghic în $D$ , cu ipotenuza $E F = 13$ cm și cateta $D E = 5$ cm. Calculează cealaltă catetă, $D F$ .

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în $D$ , deci catetele sunt $D E$ și $D F$ , iar $E F$ este ipotenuza.
Din teorema lui Pitagora: $E F^{2} = D E^{2} + D F^{2}$ , deci $D F^{2} = E F^{2} - D E^{2}$ .
$D F^{2} =$ $13^{2} - 5^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ .
$D F = \sqrt{144} = 12$ cm.

Răspuns: $D F = 12$ cm

EXERCIȚIUL 4Unghiul drept nu este în Amediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $C$ , cu $A C = 9$ cm și $B C = 12$ cm. Calculează ipotenuza.

Rezolvare pas cu pas

Unghiul drept este în $C$ , nu în $A$ . Catetele sunt $C A$ și $C B$ , iar ipotenuza este $A B$ .
Din teorema lui Pitagora: $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ .
$A B^{2} =$ $9^{2} + 12^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ .
$A B = \sqrt{225} = 15$ cm.

Răspuns: $A B = 15$ cm

EXERCIȚIUL 5Perimetrulmediu

Triunghiul $M N P$ este dreptunghic în $M$ , cu ipotenuza $N P = 25$ cm și cateta $M N = 15$ cm. Calculează perimetrul triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Catetele sunt $M N$ și $M P$ , iar $N P$ este ipotenuza.
Din teorema lui Pitagora: $M P^{2} = N P^{2} - M N^{2}$ .
$M P^{2} =$ $25^{2} - 15^{2} =$ $625 - 225 =$ $400$ , deci $M P = 20$ cm.
Perimetrul este $P =$ $M N + N P + P M =$ $15 + 25 + 20 =$ $60$ cm.

Răspuns: Perimetrul este $60$ cm

EXERCIȚIUL 6Diagonala unui dreptunghimediu

Dreptunghiul $A B C D$ are $A B = 16$ cm și $B C = 12$ cm. Calculează lungimea diagonalei $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonala $A C$ împarte dreptunghiul în două triunghiuri. Triunghiul $A B C$ are unghiul drept în $B$ , pentru că $A B C D$ este dreptunghi.
În triunghiul $A B C$ , catetele sunt $A B$ și $B C$ , iar ipotenuza este chiar diagonala $A C$ .
$A C^{2} =$ $A B^{2} + B C^{2} =$ $16^{2} + 12^{2} =$ $256 + 144 =$ $400$ .
$A C = \sqrt{400} = 20$ cm.

Răspuns: $A C = 20$ cm

EXERCIȚIUL 7Triunghi dreptunghic isoscelgreu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ și isoscel, cu ipotenuza $B C = 10$ cm. Calculează lungimea unei catete.

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul este isoscel, iar laturile egale sunt catetele: $A B = A C$ . Notează $A B = A C = c$ .
Din teorema lui Pitagora: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ , adică $10^{2} = c^{2} + c^{2}$ .
$2 c^{2} = 100$ , deci $c^{2} = 50$ .
$c =$ $\sqrt{50} =$ $\sqrt{25 \cdot 2} =$ $5 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: $A B = A C = 5 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: latura rombuluigreu

Rombul $A B C D$ are diagonalele $A C = 16$ cm și $B D = 30$ cm. Calculează lungimea laturii rombului și perimetrul lui.

Diagonalele rombului se taie în

O

Rezolvare pas cu pas

Diagonalele unui romb sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ .
Catetele lui sunt jumătățile diagonalelor: $A O =$ $\frac{A C}{2} =$ $8$ cm și $B O =$ $\frac{B D}{2} =$ $15$ cm.
Latura $A B$ este ipotenuza acestui triunghi: $A B^{2} = A O^{2} + B O^{2}$ .
$A B^{2} =$ $8^{2} + 15^{2} =$ $64 + 225 =$ $289$ , deci $A B = 17$ cm.
Rombul are toate laturile egale, deci perimetrul este $4 \cdot 17 = 68$ cm.

Răspuns: Latura este $17$ cm, perimetrul este $68$ cm

Cum recunoști ipotenuza și catetele

Caută întâi vârful cu unghiul drept, fie că e scris în enunț („dreptunghic în $A$ ”), fie că e marcat cu pătrățel pe figură. Laturile care pleacă din el sunt catetele, cea care nu îl atinge este ipotenuza.
Nu literele contează, ci poziția unghiului drept. Într-un triunghi dreptunghic în $C$ , ipotenuza este $A B$ , nu $B C$ . Același lucru e valabil și când triunghiul apare într-un dreptunghi, într-un romb sau într-un trapez dreptunghic: cauți colțul drept și pornești de acolo.
Dacă ți se dau cele trei lungimi, ipotenuza este cea mai mare dintre ele. O catetă nu poate fi mai lungă decât ipotenuza, deci verifică-ți răspunsul comparând numerele înainte să treci la exercițiul următor.

Greșeli frecvente

Iei mereu $B C$ drept ipotenuză. Ipotenuza depinde de unde este unghiul drept, nu de ordinea literelor. Dacă triunghiul este dreptunghic în $B$ , ipotenuza este $A C$ , iar catetele sunt $B A$ și $B C$ . Citește cu atenție unde spune enunțul că este unghiul drept.
Aduni pătratele când ți se cere o catetă. Pentru ipotenuză aduni: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Pentru o catetă scazi: $A B^{2} = B C^{2} - A C^{2}$ . Un semn de control rapid: cateta găsită trebuie să fie mai mică decât ipotenuza.
Uiți radicalul la final. Din calcul obții $B C^{2} = 100$ , nu $B C = 100$ . Răspunsul este $B C = \sqrt{100} = 10$ cm. Ultimul pas al oricărui astfel de exercițiu este extragerea rădăcinii pătrate.

Exersează

Fișă de lucru: Teorema lui Pitagora, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Triunghiul dreptunghic, clasa a VI-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre ipotenuză și catetă?

Catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept, iar ipotenuza este latura opusă lui. Ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură a triunghiului dreptunghic, pentru că este opusă celui mai mare unghi.

Cum știu care latură este ipotenuza dacă triunghiul nu se numește

A B C

Te uiți la vârful unghiului drept, nu la litere. Ipotenuza este latura formată din celelalte două vârfuri. De exemplu, într-un triunghi $R S T$ dreptunghic în $S$ , ipotenuza este $R T$ .

Un triunghi poate avea două ipotenuze?

Nu. Un triunghi are cel mult un unghi drept, pentru că suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ}$ , iar două unghiuri drepte ar folosi toată suma. Deci există o singură ipotenuză.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Într-un triunghi dreptunghic cu catetele $a$ și $b$ și ipotenuza $c$ , teorema lui Pitagora afirmă că:
2. Un triunghi dreptunghic are catetele $a = 3$ cm și $b = 4$ cm. Cât măsoară ipotenuza $c$ ?
3. Un triunghi dreptunghic are cateta $a = 5$ cm și ipotenuza $c = 13$ cm. Cât măsoară cateta $b$ ?
4. Reciproca teoremei lui Pitagora spune că un triunghi este dreptunghic dacă:
5. Un triunghi are laturile $a = 6$ cm, $b = 8$ cm și $c = 10$ cm. Ce tip de triunghi este?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 august 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TRIUNGHIURI ASEMENEA - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

CAZURILE DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA ÎNĂLȚIMII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

TEOREMA CATETEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună