de Echipa Școala Virtuală14 august 2026

Teorema înălțimii: formulă + 5 exerciții rezolvate

Q: Ce fac dacă nu știu care segment e AD și care e DB?

Nu contează ordinea — produsul e același. AD⋅DB e același lucru cu DB⋅AD . Ce contează e să nu confunzi proiecțiile (segmentele mici de pe ipotenuză) cu catete sau cu ipotenuza întreagă. Desenează figura și marchează clar punctul D pe ipotenuză — asta rezolvă orice confuzie.

Ai un triunghi dreptunghic în față și știi că trebuie să folosești teorema înălțimii — dar te uiți la figură și nu știi de unde să apuci. Parcă totul arată la fel: segmente, proiecții, litere peste tot. Îți spun sincer: nu ești singurul. Asta e exact greșeala pe care o fac aproape toți la început — văd o figură complicată și uită că în spatele ei e o relație simplă, între trei lungimi. De fapt, teorema înălțimii spune ceva elegant: înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuzã leagă trei segmente într-o relație pe care, odată ce o înțelegi cu adevărat, nu o mai uiți. Hai să o luăm de la capăt, calm, cu exemple reale — și să vedem cum funcționează pas cu pas.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este înălțimea din unghiul drept și ce segmente creează ea pe ipotenuză
Vei ști să enunți teorema înălțimii și să recunoști formula în orice exercițiu
Vei putea rezolva exerciții în care calculezi un segment necunoscut folosind teorema
Vei știi ce greșeli să eviți când aplici formula, ca să nu pierzi puncte degeaba

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce se întâmplă de fapt în triunghi — înainte de orice formulă

Să zicem că ai un triunghi dreptunghic. Unghiul drept e în vârful $C$ , ipotenuza e $A B$ . Duci înălțimea din $C$ pe $A B$ — adică o linie perpendiculară din $C$ până lovește $A B$ într-un punct pe care îl numim $D$ . Uite ce se întâmplă acum: ipotenuza $A B$ e împărțită în două bucăți — $A D$ și $D B$ . Iar înălțimea asta, $C D$ , nu e aruncată acolo la întâmplare. Ea face legătura între cele două proiecții ale catetelor pe ipotenuză. Practic, $D$ e piciorul înălțimii. $A D$ se numește proiecția catetei $A C$ pe ipotenuză, iar $D B$ e proiecția catetei $B C$ . Sună complicat, știu. Dar vizual e simplu — un triunghi mare, tăiat în două triunghiuri mai mici de acea înălțime. Și cele trei triunghiuri sunt asemenea între ele. Din asta iese totul.

💡 Regula de bază

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea $C D$ dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză verifică relația $C D^{2} = A D \cdot D B$ , unde $A D$ și $D B$ sunt cele două segmente în care înălțimea împarte ipotenuza. Cu alte cuvinte: înălțimea la pătrat e egală cu produsul celor două proiecții.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , înălțimea $C D$ este dusă pe ipotenuza $A B$ . Se știe că $A D = 4$ cm și $D B = 9$ cm. Calculează lungimea înălțimii $C D$ .

🔢 Rezolvare

C D^{2} = A D \cdot D B

C D^{2} = 4 \cdot 9

C D^{2} = 36

C D = \sqrt{36} = 6 cm

✅ Explicație

Aplicăm direct formula teoremei înălțimii: $C D^{2} = A D \cdot D B$ . Înmulțim cele două proiecții — $4 \cdot 9 = 36$ — și scoatem radical. $\sqrt{36} = 6$ , deci înălțimea are 6 cm. Numărul de sub radical e un pătrat perfect, ceea ce se întâmplă des în exercițiile din programa voastră — tocmai ca să iasă răspuns curat.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii confundă ipotenuza cu înălțimea și scriu $C D^{2} = A B \cdot ceva$ , amestecând segmente care nu au ce căuta în formulă. Mi s-a întâmplat și mie la început să pierd șirul literelor.

✅ Corect: În formula $C D^{2} = A D \cdot D B$ , apar doar cele două segmente în care înălțimea împarte ipotenuza — nu ipotenuza întreagă. Dacă ai $A B$ în formulă în loc de $A D$ și $D B$ separat, ceva e greșit.

❌ Greșeala #2: Se uită să scoată radicalul la final. Calculează $C D^{2} = 36$ și scriu că $C D = 36$ . Răspunsul e greșit — 36 e pătratul înălțimii, nu înălțimea.

✅ Corect: Întotdeauna după ce găsești $C D^{2}$ , mai ai un pas: $C D = \sqrt{C D^{2}}$ . Nu sări peste el. Chiar dacă ți se pare evident, scrie-l — și ca să nu greșești, și ca să iei punctajul complet.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , înălțimea $C D$ împarte ipotenuza astfel: $A D = 3$ cm și $D B = 12$ cm. Calculează $C D$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

C D^{2} = A D \cdot D B

C D^{2} = 3 \cdot 12

C D^{2} = 36

C D = \sqrt{36} = 6 cm

Aplicăm direct formula. Produsul $3 \cdot 12 = 36$ e un pătrat perfect, deci radicalul iese curat.

Răspuns: $C D = 6$ cm

Exercițiul 2. Înălțimea $C D$ dintr-un triunghi dreptunghic are 8 cm. Una dintre proiecțiile pe ipotenuză este $A D = 4$ cm. Calculează $D B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

C D^{2} = A D \cdot D B

8^{2} = 4 \cdot D B

64 = 4 \cdot D B

D B = \frac{64}{4} = 16 cm

De data asta nu mai căutăm înălțimea, ci o proiecție. Scriem formula, înlocuim ce știm și izolăm necunoscuta — exact ca la o ecuație simplă.

Răspuns: $D B = 16$ cm

Exercițiul 3. Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză are lungimea $C D = 10$ cm, iar $A D = 5$ cm. Află $D B$ și lungimea ipotenuzei $A B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

C D^{2} = A D \cdot D B

10^{2} = 5 \cdot D B

100 = 5 \cdot D B

D B = \frac{100}{5} = 20 cm

A B = A D + D B = 5 + 20 = 25 cm

Mai întâi găsim $D B$ din teorema înălțimii, exact ca înainte. Apoi, ipotenuza e pur și simplu suma celor două segmente — $A D + D B$ . Două întrebări, două pași separați, nicio panică.

Răspuns: $D B = 20$ cm, $A B = 25$ cm

Exercițiul 4. Într-un triunghi dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , înălțimea $C D$ împarte ipotenuza în $A D = 6$ cm și $D B = 6$ cm. Calculează $C D$ și arată că triunghiul este isoscel.

Vezi rezolvarea pas cu pas

C D^{2} = A D \cdot D B

C D^{2} = 6 \cdot 6

C D^{2} = 36

C D = \sqrt{36} = 6 cm

Când $A D = D B$ , înseamnă că $D$ e mijlocul ipotenuzei. Asta se întâmplă doar dacă triunghiul e isoscel — adică $A C = B C$ . Poți verifica și cu teorema lui Pitagora pe cele două triunghiuri mici: ambele dau aceeași cată. Deci da, triunghiul e isoscel.

Răspuns: $C D = 6$ cm; triunghiul este isoscel deoarece $A D = D B$ implică $A C = B C$ .

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $C$ , ipotenuza $A B = 25$ cm, iar $A D = 9$ cm (unde $D$ este piciorul înălțimii din $C$ ). Calculează $C D$ , $D B$ și cateta $A C$ folosind teorema înălțimii și teorema lui Pitagora.

Vezi rezolvarea pas cu pas

D B = A B - A D = 25 - 9 = 16 cm

C D^{2} = A D \cdot D B = 9 \cdot 16 = 144

C D = \sqrt{144} = 12 cm

A C^{2} = A D \cdot A B = 9 \cdot 25 = 225

A C = \sqrt{225} = 15 cm

Ai mai multe de calculat, dar pașii sunt în ordine. Mai întâi găsești $D B$ din scădere. Apoi aplici teorema înălțimii pentru $C D$ . Pentru cateta $A C$ folosești o relație similară — teorema catetei: $A C^{2} = A D \cdot A B$ . Dacă nu ai ajuns încă la teorema catetei, poți folosi și Pitagora în triunghiul mic $A C D$ : $A C^{2} = A D^{2} + C D^{2} = 81 + 144 = 225$ , și obții același rezultat.

Răspuns: $D B = 16$ cm, $C D = 12$ cm, $A C = 15$ cm

Întrebări frecvente

Teorema înălțimii se aplică în orice triunghi sau doar în cel dreptunghic?

Doar în triunghiul dreptunghic — și asta e important să nu uiți. Formula $C D^{2} = A D \cdot D B$ funcționează numai când înălțimea e dusă din vârful unghiului drept pe ipotenuză. Într-un triunghi oarecare sau ascuțitunghic, relația asta nu mai este valabilă, deci nu o aplica acolo.

Ce fac dacă nu știu care segment e AD și care e DB?

Nu contează ordinea — produsul e același. $A D \cdot D B$ e același lucru cu $D B \cdot A D$ . Ce contează e să nu confunzi proiecțiile (segmentele mici de pe ipotenuză) cu catete sau cu ipotenuza întreagă. Desenează figura și marchează clar punctul $D$ pe ipotenuză — asta rezolvă orice confuzie.

Dacă nu îmi iese un pătrat perfect sub radical, am greșit ceva?

Nu neapărat — uneori rezultatul e un radical care nu se simplifică, și asta e corect. Dar în exercițiile din clasele 7-8, de obicei numerele sunt alese ca să dea pătrat perfect. Dacă nu îți iese, verifică mai întâi înmulțirea. Cel mai des greșeala e acolo, nu la formulă.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii..

Exersează cu fișa de lucru: Proiecții ortogonale pe o dreaptă — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Cazul nominativ explicat cu exemple și 5 exerciții rezolvate

14 august 2026

Buletinul meteorologic explicat cu exemple, clasele 5-8

13 august 2026

Radical din 72 descompus: formulă + 5 exerciții rezolvate

13 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună