TEOREMA ÎNĂLȚIMII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Teorema înălțimii spune că, într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză, la pătrat, este egală cu produsul celor două proiecții ale catetelor pe ipotenuză. Mai jos găsești figura, formula și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Teorema înălțimii: enunț, figură și formulă

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , duci înălțimea din $C$ pe ipotenuza $A B$ . Piciorul înălțimii este punctul $D$ , iar ipotenuza se împarte în două segmente: $A D$ , proiecția catetei $A C$ pe ipotenuză, și $D B$ , proiecția catetei $B C$ . Fiecare proiecție are un capăt comun cu cateta ei: $A$ pentru $A C$ , $B$ pentru $B C$ .

Înălțimea

C D

împarte ipotenuza

A B

în proiecțiile

A D

și

D B

Teorema înălțimii. Înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză este medie geometrică între cele două proiecții:

$C D^{2} = A D \cdot D B$

Teorema se demonstrează cu asemănarea triunghiurilor: $△ A D C \sim △ C D B$ , pentru că ambele au un unghi drept (în $D$ ) și un al doilea unghi congruent ( $∠ D A C \equiv ∠ D C B$ , ambele complementare cu $∠ D C A$ ). Din asemănare rezultă $\frac{A D}{C D} =$ $\frac{C D}{D B}$ , adică exact $C D^{2} = A D \cdot D B$ .

Teorema înălțimii se folosește des împreună cu teorema catetei, care leagă fiecare catetă de ipotenuză și de proiecția ei: $A C^{2} = A B \cdot A D$ și $B C^{2} = A B \cdot D B$ .

Merită să înțelegi de ce apar exact aceste trei triunghiuri asemenea. Înălțimea $C D$ împarte triunghiul mare $A B C$ în două triunghiuri mai mici, $A D C$ și $C D B$ , fiecare având câte un unghi drept (în $D$ ) și câte un unghi moștenit din triunghiul mare. Toate trei triunghiurile, cel mare și cele două mici, au aceleași unghiuri, doar așezate altfel, ceea ce înseamnă că sunt asemenea două câte două. Din perechea $A D C$ și $C D B$ rezultă exact formula de mai sus, pentru că latura comună a celor două triunghiuri mici este chiar înălțimea $C D$ .

Un reper bun, ca să nu te încurci la o figură complicată: proiecția unei catete pare mereu segmentul de pe ipotenuză situat sub acea catetă, dacă privești triunghiul cu ipotenuza jos, orizontală. Cateta mai lungă are proiecția mai lungă, iar cateta mai scurtă are proiecția mai scurtă, exact în aceeași ordine.

Exerciții rezolvate : teorema înălțimii

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Din cele două proiecții, înălțimeaușor

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , înălțimea $C D$ este dusă pe ipotenuza $A B$ . Știind că $A D = 3$ cm și $D B = 12$ cm, calculează lungimea înălțimii $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Aplici direct teorema înălțimii: $C D^{2} = A D \cdot D B$ .
$C D^{2} =$ $3 \cdot 12 =$ $36$ .
$C D = \sqrt{36} = 6$ cm.

Răspuns: $C D = 6$ cm

EXERCIȚIUL 2Alte două proiecțiiușor

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , cu înălțimea $C D$ pe ipotenuza $A B$ , $A D = 5$ cm și $D B = 20$ cm. Calculează $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

$C D^{2} =$ $A D \cdot D B =$ $5 \cdot 20 =$ $100$ .
$C D = \sqrt{100} = 10$ cm.

Răspuns: $C D = 10$ cm

EXERCIȚIUL 3Drumul invers: o proiecție necunoscutăușor

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , înălțimea $C D = 6$ cm, iar $A D = 4$ cm. Calculează $D B$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema înălțimii: $C D^{2} = A D \cdot D B$ , deci $36 = 4 \cdot D B$ .
$D B = 36 : 4 = 9$ cm.

Răspuns: $D B = 9$ cm

EXERCIȚIUL 4Aceeași idee, cealaltă proiecție necunoscutămediu

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , înălțimea $C D = 12$ cm, iar $D B = 16$ cm. Calculează $A D$ .

Rezolvare pas cu pas

Din teorema înălțimii: $144 = A D \cdot 16$ .
$A D = 144 : 16 = 9$ cm.

Răspuns: $A D = 9$ cm

EXERCIȚIUL 5Când știi ipotenuza, nu ambele proiecțiimediu

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , ipotenuza $A B = 20$ cm, iar $A D = 4$ cm. Calculează $D B$ și înălțimea $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două proiecții acoperă toată ipotenuza: $A D + D B = A B$ .
$D B =$ $A B - A D =$ $20 - 4 =$ $16$ cm.
Aplici teorema înălțimii: $C D^{2} =$ $A D \cdot D B =$ $4 \cdot 16 =$ $64$ .
$C D = \sqrt{64} = 8$ cm.

Răspuns: $D B = 16$ cm și $C D = 8$ cm

EXERCIȚIUL 6Aria triunghiului, din ipotenuză și înălțimemediu

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , ipotenuza $A B = 18$ cm, iar înălțimea $C D = 5$ cm. Calculează aria triunghiului $A B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Aria unui triunghi este jumătate din produsul unei laturi cu înălțimea corespunzătoare ei.
Aici iei ca bază chiar ipotenuza $A B$ , iar $C D$ este exact înălțimea dusă pe ea.
$𝒜_{A B C} =$ $\frac{A B \cdot C D}{2} =$ $\frac{18 \cdot 5}{2}$ .
$𝒜_{A B C} =$ $45$ cm².

Răspuns: $𝒜_{A B C} =$ $45$ cm²

EXERCIȚIUL 7Din înălțime și ipotenuză, ambele proiecțiigreu

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , înălțimea $C D = 6$ cm, iar ipotenuza $A B = 13$ cm. Calculează $A D$ și $D B$ .

Rezolvare pas cu pas

Știi suma celor două proiecții: $A D + D B = 13$ .
Din teorema înălțimii știi și produsul lor: $A D \cdot D B =$ $C D^{2} =$ $36$ .
Cauți două numere cu suma 13 și produsul 36: testezi perechi de divizori ai lui 36 care se adună la 13.
Perechea $9$ și $4$ are suma $13$ și produsul $36$ .
Cum $A D > D B$ în figură, $A D = 9$ cm și $D B = 4$ cm.

Răspuns: $A D = 9$ cm și $D B = 4$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: de la proiecții la perimetrugreu

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $C$ , înălțimea $C D$ este dusă pe ipotenuza $A B$ , cu $A D = 9$ cm și $D B = 16$ cm. a) Calculează $C D$ . b) Calculează catetele $A C$ și $B C$ , folosind teorema catetei. c) Calculează perimetrul triunghiului $A B C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din teorema înălțimii: $C D^{2} =$ $A D \cdot D B =$ $9 \cdot 16 =$ $144$ , deci $C D = 12$ cm.
b) Ipotenuza este $A B =$ $A D + D B =$ $9 + 16 =$ $25$ cm.
b) Din teorema catetei: $A C^{2} =$ $A B \cdot A D =$ $25 \cdot 9 =$ $225$ , deci $A C = 15$ cm.
b) La fel, $B C^{2} =$ $A B \cdot D B =$ $25 \cdot 16 =$ $400$ , deci $B C = 20$ cm.
c) Perimetrul este $P =$ $A B + A C + B C =$ $25 + 15 + 20 =$ $60$ cm.

Răspuns: a) $C D = 12$ cm; b) $A C = 15$ cm, $B C = 20$ cm; c) $P = 60$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe teorema înălțimii

Ai un triunghi dreptunghic cu înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză și în enunț apar $C D$ , $A D$ și $D B$ (sau alte litere cu același rol).
Dacă se cere direct înălțimea sau una dintre cele două proiecții, ai nevoie doar de teorema înălțimii: $C D^{2} = A D \cdot D B$ .
Dacă se cere o catetă (nu înălțimea), acela e semnul că trebuie teorema catetei, nu teorema înălțimii.

Greșeli frecvente la teorema înălțimii

Confunzi înălțimea cu o catetă. Teorema înălțimii leagă înălțimea $C D$ de cele două proiecții $A D$ și $D B$ . Catetele $A C$ și $B C$ apar în teorema catetei, o relație diferită.
Uiți radicalul la final. Formula dă $C D^{2}$ , nu $C D$ . După ce calculezi produsul $A D \cdot D B$ , mai ai un pas: extragi radical.
Presupui că $A D$ și $D B$ sunt egale. Cele două proiecții sunt egale doar dacă triunghiul e isoscel. În general $D$ nu este mijlocul lui $A B$ , ci piciorul înălțimii.

Exersează : teorema înălțimii

Fișă de lucru: Proiecții ortogonale, teorema înălțimii, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Teorema catetei, clasa a VII-aPDF de printat, 8 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema înălțimii

Ce spune teorema înălțimii?

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză, la pătrat, este egală cu produsul celor două proiecții ale catetelor pe ipotenuză: $C D^{2} = A D \cdot D B$ .

Cu ce diferă de teorema catetei?

Teorema înălțimii leagă înălțimea de cele două proiecții. Teorema catetei leagă o catetă de ipotenuză și de proiecția ei pe ipotenuză: $A C^{2} = A B \cdot A D$ .

Cum aflu proiecțiile dacă știu doar ipotenuza și înălțimea?

Notezi $A D + D B = A B$ și $A D \cdot D B = C D^{2}$ , apoi cauți două numere cu suma și produsul date, ca la exercițiul cu $C D = 6$ cm și $A B = 13$ cm.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 1. Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii..

Exersează cu fișa de lucru: Proiecții ortogonale pe o dreaptă — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ , înălțimea $A D$ este dusă pe ipotenuza $B C$ . Ce reprezintă punctul $D$ față de punctul $A$ și dreapta $B C$ ?
2. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ și ipotenuza $B C = a$ , înălțimea $A D = h$ împarte ipotenuza în segmentele $B D = m$ și $D C = n$ . Care este relația exprimată de Teorema înălțimii?
3. În triunghiul dreptunghic, înălțimea dusă pe ipotenuză are lungimea $h = 6$ cm, iar una dintre proiecțiile catetelor pe ipotenuză este $m = 4$ cm. Cât este cealaltă proiecție $n$ ?
4. Proiecția ortogonală a unui segment $A B$ pe o dreaptă $d$ se obține prin:
5. În triunghiul dreptunghic $A B C$ cu unghiul drept în $A$ , înălțimea pe ipotenuză creează proiecțiile $m = 3$ cm și $n = 12$ cm. Cât măsoară înălțimea $h$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 14 august 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

CAZURILE DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA CATETEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

IPOTENUZA ȘI CATETELE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

TRIGONOMETRIE în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

ARIA TRIUNGHIULUI oarecare, dreptunghic și cu unghi obtuz - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună