TRIGONOMETRIE în triunghiul dreptunghic: sin, cos, tg, ctg - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 29 septembrie 2026

În triunghiul dreptunghic, fiecare unghi ascuțit are patru rapoarte: sinusul este cateta opusă supra ipotenuză, cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză, tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată, iar cotangenta este cateta alăturată supra cateta opusă. Cu ele afli o latură dintr-un unghi sau un unghi din două laturi. Mai jos găsești definițiile, tabelul cu valorile pentru $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Sinus, cosinus, tangentă și cotangentă

Lucrăm într-un triunghi $A B C$ dreptunghic în $A$ . Alegi întâi unghiul pentru care calculezi, de exemplu $∠ B$ . Față de el, laturile au nume: $B C$ este ipotenuza (opusă unghiului drept), $A C$ este cateta opusă (nu atinge vârful $B$ ), iar $A B$ este cateta alăturată (pleacă din $B$ ).

Numele catetelor depind de unghiul ales. Aici unghiul este

∠ B

A C

este opusă,

A B

este alăturată.

$\sin B =$ $\frac{cateta opusă}{ipotenuză} =$ $\frac{A C}{B C}$

$\cos B =$ $\frac{cateta alăturată}{ipotenuză} =$ $\frac{A B}{B C}$

$tg B =$ $\frac{cateta opusă}{cateta alăturată} =$ $\frac{A C}{A B}$

$ctg B =$ $\frac{cateta alăturată}{cateta opusă} =$ $\frac{A B}{A C}$

Dacă treci la celălalt unghi ascuțit, $∠ C$ , catetele își schimbă rolul: $A B$ devine opusă, iar $A C$ devine alăturată. De aceea $\sin B = \cos C$ și $tg B =$ $ctg C$ . Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt mereu între $0$ și $1$ , pentru că o catetă este mai mică decât ipotenuza.

Valorile pe care trebuie să le știi:

unghiul	$\sin$	$\cos$	$tg$	$ctg$
$30^{\circ}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$
$45^{\circ}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$
$60^{\circ}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Tabelul nu trebuie tocit: vine din triunghiul cu unghiurile de $30^{\circ}$ și $60^{\circ}$ (cateta opusă unghiului de $30^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză) și din triunghiul dreptunghic isoscel (catetele egale, ipotenuza de $\sqrt{2}$ ori mai mare).

Exerciții rezolvate : trigonometrie

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Cele patru rapoarte din trei laturiușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 6$ cm, $A C = 8$ cm și $B C = 10$ cm. Calculează $\sin B$ , $\cos B$ , $tg B$ și $ctg B$ .

Rezolvare pas cu pas

Față de unghiul $B$ : ipotenuza este $B C = 10$ , cateta opusă este $A C = 8$ , cateta alăturată este $A B = 6$ .
$\sin B =$ $\frac{A C}{B C} =$ $\frac{8}{10} =$ $\frac{4}{5}$ și $\cos B =$ $\frac{A B}{B C} =$ $\frac{6}{10} =$ $\frac{3}{5}$ .
$tg B =$ $\frac{A C}{A B} =$ $\frac{8}{6} =$ $\frac{4}{3}$ și $ctg B =$ $\frac{A B}{A C} =$ $\frac{6}{8} =$ $\frac{3}{4}$ .
Simplifică de fiecare dată fracția: răspunsul se dă ca fracție ireductibilă.

Răspuns: $\sin B =$ $\frac{4}{5}$ , $\cos B =$ $\frac{3}{5}$ , $tg B =$ $\frac{4}{3}$ , $ctg B =$ $\frac{3}{4}$

EXERCIȚIUL 2Catetele din ipotenuză și unghiul de 30°ușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B C = 12$ cm și $m (∠ B) =$ $30^{\circ}$ . Calculează catetele $A C$ și $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

$A C$ este opusă unghiului $B$ , deci folosești sinusul: $\sin B =$ $\frac{A C}{B C}$ , de unde $A C =$ $B C \cdot \sin 30^{\circ}$ .
$A C =$ $12 \cdot \frac{1}{2} =$ $6$ cm.
$A B$ este alăturată unghiului $B$ , deci folosești cosinusul: $A B =$ $B C \cdot \cos 30^{\circ} =$ $12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
Verificare cu teorema lui Pitagora: $6^{2} + {(6 \sqrt{3})}^{2} =$ $36 + 108 =$ $144 =$ $12^{2}$ .

Răspuns: $A C = 6$ cm, $A B = 6 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 3Ipotenuza dintr-o catetă și unghiul de 45°ușor

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 7$ cm și $m (∠ C) =$ $45^{\circ}$ . Calculează ipotenuza $B C$ și cateta $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Față de unghiul $C$ , cateta $A B$ este opusă, iar $B C$ este ipotenuza: $\sin C =$ $\frac{A B}{B C}$ .
$B C =$ $\frac{A B}{\sin 45^{\circ}} =$ $\frac{7}{\frac{\sqrt{2}}{2}} =$ $\frac{14}{\sqrt{2}} =$ $\frac{14 \sqrt{2}}{2} =$ $7 \sqrt{2}$ cm.
Pentru $A C$ (alăturată lui $C$ ) folosești tangenta: $tg C =$ $\frac{A B}{A C}$ , deci $A C =$ $\frac{7}{tg 45^{\circ}} =$ $\frac{7}{1} =$ $7$ cm.
Era de așteptat: cu un unghi de $45^{\circ}$ , triunghiul dreptunghic este isoscel.

Răspuns: $B C = 7 \sqrt{2}$ cm, $A C = 7$ cm

EXERCIȚIUL 4Unghiul din două laturimediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $A B = 5$ cm și $B C = 10$ cm. Află măsurile unghiurilor $B$ și $C$ și lungimea catetei $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

Ai cateta alăturată unghiului $B$ și ipotenuza, deci calculezi cosinusul: $\cos B =$ $\frac{A B}{B C} =$ $\frac{5}{10} =$ $\frac{1}{2}$ .
Din tabel, unghiul ascuțit cu cosinusul $\frac{1}{2}$ este $60^{\circ}$ , deci $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ .
Unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic sunt complementare: $m (∠ C) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
$A C =$ $B C \cdot \sin B =$ $10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$ $5 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: $m (∠ B) =$ $60^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $30^{\circ}$ , $A C = 5 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 5Înălțimea unui copac din umbra luimediu

Un copac $A V$ , perpendicular pe sol, are umbra $S A = 9$ m. Razele soarelui fac cu solul un unghi de $60^{\circ}$ , adică $m (∠ A S V) =$ $60^{\circ}$ . Calculează înălțimea copacului, exact și aproximativ ( $\sqrt{3} \approx 1,73$ ).

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul $S A V$ este dreptunghic în $A$ . Față de unghiul $S$ , înălțimea $A V$ este cateta opusă, iar umbra $S A$ este cateta alăturată.
Raportul care leagă cele două catete este tangenta: $tg S =$ $\frac{A V}{S A}$ .
$A V =$ $S A \cdot tg 60^{\circ} =$ $9 \sqrt{3}$ m.
Aproximativ: $9 \cdot 1,73 =$ $15,57$ m.

Răspuns: $A V =$ $9 \sqrt{3} \approx 15,57$ m

EXERCIȚIUL 6Din sinus, celelalte rapoartemediu

Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu ipotenuza $B C = 34$ cm și $\sin B =$ $\frac{8}{17}$ . Calculează catetele, apoi $\cos B$ , $tg B$ și $ctg B$ .

Rezolvare pas cu pas

$\sin B =$ $\frac{A C}{B C}$ , deci $A C =$ $34 \cdot \frac{8}{17} =$ $16$ cm.
Cu teorema lui Pitagora: $A B^{2} =$ $B C^{2} - A C^{2} =$ $1156 - 256 =$ $900$ , deci $A B = 30$ cm.
$\cos B =$ $\frac{A B}{B C} =$ $\frac{30}{34} =$ $\frac{15}{17}$ .
$tg B =$ $\frac{A C}{A B} =$ $\frac{16}{30} =$ $\frac{8}{15}$ și $ctg B =$ $\frac{15}{8}$ .

Răspuns: $A C = 16$ cm, $A B = 30$ cm, $\cos B =$ $\frac{15}{17}$ , $tg B =$ $\frac{8}{15}$ , $ctg B =$ $\frac{15}{8}$

EXERCIȚIUL 7Triunghiul nu este dreptunghic: construiești înălțimeagreu

Triunghiul isoscel $A B C$ are $A B = A C = 13$ cm și baza $B C = 10$ cm. Calculează $\sin B$ , $\cos B$ , $tg B$ și aria triunghiului.

Rezolvare pas cu pas

Rapoartele se definesc doar în triunghiul dreptunghic, așa că duci înălțimea $A D ⟂ B C$ . În triunghiul isoscel, ea este și mediană: $B D =$ $\frac{10}{2} =$ $5$ cm.
În triunghiul $A B D$ , dreptunghic în $D$ : $A D^{2} =$ $A B^{2} - B D^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $A D = 12$ cm.
$\sin B =$ $\frac{A D}{A B} =$ $\frac{12}{13}$ , $\cos B =$ $\frac{B D}{A B} =$ $\frac{5}{13}$ , $tg B =$ $\frac{A D}{B D} =$ $\frac{12}{5}$ .
Aria: $Aria =$ $\frac{B C \cdot A D}{2} =$ $\frac{10 \cdot 12}{2} =$ $60$ cm².

Răspuns: $\sin B =$ $\frac{12}{13}$ , $\cos B =$ $\frac{5}{13}$ , $tg B =$ $\frac{12}{5}$ , aria $60$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: dreptunghiul și diagonalagreu

Dreptunghiul $A B C D$ are diagonala $A C = 20$ cm și $m (∠ B A C) =$ $30^{\circ}$ . Punctul $E$ este piciorul perpendicularei din $B$ pe $A C$ . a) Calculează laturile dreptunghiului. b) Arată că aria dreptunghiului este $100 \sqrt{3}$ cm². c) Calculează distanța de la punctul $B$ la dreapta $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ , cu ipotenuza $A C$ . $B C =$ $A C \cdot \sin 30^{\circ} =$ $20 \cdot \frac{1}{2} =$ $10$ cm.
$A B =$ $A C \cdot \cos 30^{\circ} =$ $20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =$ $10 \sqrt{3}$ cm.
b) $Aria =$ $A B \cdot B C =$ $10 \sqrt{3} \cdot 10 =$ $100 \sqrt{3}$ cm².
c) Distanța cerută este $B E$ . În triunghiul $A B E$ , dreptunghic în $E$ , $A B$ este ipotenuza și $B E$ este opusă unghiului de $30^{\circ}$ : $B E =$ $A B \cdot \sin 30^{\circ} =$ $\frac{10 \sqrt{3}}{2} =$ $5 \sqrt{3}$ cm.
Verificare cu aria triunghiului $A B C$ : $B E =$ $\frac{A B \cdot B C}{A C} =$ $\frac{100 \sqrt{3}}{20} =$ $5 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $A B = 10 \sqrt{3}$ cm, $B C = 10$ cm; b) $100 \sqrt{3}$ cm²; c) $5 \sqrt{3}$ cm

Cum alegi raportul trigonometric potrivit

Ai ipotenuza și cauți cateta opusă unghiului (sau invers)? Folosești sinusul.
Ai ipotenuza și cauți cateta alăturată unghiului (sau invers)? Folosești cosinusul.
Nu apare ipotenuza, ci doar cele două catete (umbră și înălțime, lățime și lungime)? Folosești tangenta sau cotangenta.

Greșeli frecvente la trigonometrie

Încurci cateta opusă cu cea alăturată. Numele catetelor depind de unghi. Marchează întâi pe desen unghiul și abia apoi numește laturile: opusa nu atinge vârful unghiului, alăturata pleacă din el.
Aplici rapoartele într-un triunghi care nu este dreptunghic. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta din clasa a VII-a se calculează doar în triunghiul dreptunghic. Într-un triunghi oarecare, construiești mai întâi o înălțime.
Inversezi valorile pentru 30° și 60°. $\sin 30^{\circ} =$ $\frac{1}{2}$ , dar $\cos 30^{\circ} =$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Verifică-te cu o regulă simplă: sinusul crește odată cu unghiul, deci $\sin 30^{\circ}$ este mai mic decât $\sin 60^{\circ}$ .

Exersează : trigonometrie

Fișă de lucru: Noțiuni de trigonometrie în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Relații metrice în triunghiul dreptunghic, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția: Rezolvarea triunghiului dreptunghicclasa a VII-a, lecția următoare

Din același capitol

Întrebări frecvente despre trigonometrie

Cum rețin care e sinusul și care e cosinusul?

Leagă-le de cuvinte: sinusul folosește cateta opusă, cosinusul cateta alăturată, amândouă împărțite la ipotenuză. Tangenta pune opusa peste alăturată, iar cotangenta este inversul tangentei.

Poate sinusul să fie mai mare decât 1?

Nu, pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic. Sinusul și cosinusul sunt o catetă împărțită la ipotenuză, iar ipotenuza este cea mai lungă latură. Tangenta și cotangenta pot fi însă mai mari decât 1: $tg 60^{\circ} =$ $\sqrt{3}$ .

Ce fac dacă unghiul nu este 30°, 45° sau 60°?

În clasa a VII-a, exercițiile folosesc aproape mereu aceste trei unghiuri. Dacă apare alt unghi, enunțul îți dă valoarea raportului (de exemplu $\sin B =$ $\frac{8}{17}$ ) sau îți cere doar raportul, nu măsura unghiului.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În triunghiul dreptunghic ABC, unghiul drept este în C. Cum se definește sinusul unghiului A?
2. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în C, $B C = 3$ cm și $A B = 5$ cm. Cât este $\sin A$ ?
3. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în C, $A C = 4$ cm și $A B = 5$ cm. Cât este $\cos A$ ?
4. În triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul drept în C, $B C = 3$ cm și $A C = 4$ cm. Cât este $\tan A$ ?
5. Care dintre relațiile de mai jos este corectă pentru orice unghi ascuțit A dintr-un triunghi dreptunghic?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 29 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

TEOREMA FUNDAMENTALĂ A ASEMĂNĂRII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

CAZURILE DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA ÎNĂLȚIMII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

TEOREMA CATETEI în triunghiul dreptunghic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

IPOTENUZA ȘI CATETELE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

ARIA TRIUNGHIULUI oarecare, dreptunghic și cu unghi obtuz - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 7: Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună