de Echipa Școala Virtuală11 august 2026

Cazurile de asemănare a triunghiurilor: 5 exerciții rezolvate

Două triunghiuri pot arăta complet diferit ca dimensiune și totuși să fie „gemene". Nu identice — ci proporționale. Aceeași formă, mărimi diferite. Asta e ideea din spatele asemănării triunghiurilor, și e mult mai logică decât pare la prima vedere. Cazurile de asemănare a triunghiurilor sunt practic niște „teste rapide" pe care le faci ca să confirmi că două triunghiuri au aceeași formă — fără să măsori totul. Trei unghiuri, trei laturi, o grămadă de calcule? Nu. De fapt, îți ajung câteva informații bine alese. Și ăsta e momentul în care mulți se blochează: nu știu ce informații să caute. Hai să lămurim asta împreună, pas cu pas, cu exemple concrete și fără teorie de dragul teoriei.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă că două triunghiuri sunt asemenea și de ce asta contează
Vei ști să recunoști cele trei cazuri de asemănare: UU, LUL și LLL
Vei ști să scrii corect rapoartele de proporționalitate dintre laturi
Vei putea rezolva exerciții în care găsești laturi lipsă folosind asemănarea

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt asemenea?

Să zicem că ai o fotografie și o mărești la tipărit. Forma rămâne aceeași — doar dimensiunile se schimbă. Exact asta e asemănarea. Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile egale și laturile proporționale. Adică nu egale ca lungime, ci în același raport. Dacă un triunghi are laturile 3, 4, 5 și altul are laturile 6, 8, 10 — sunt asemenea, pentru că fiecare latură s-a dublat. Raportul e același: $\frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$ . Notăm asemănarea cu simbolul $\sim$ . Deci scriem $△ A B C \sim △ D E F$ . Ordinea literelor contează — trebuie să pui vârfurile cu unghiuri egale în aceeași poziție.

💡 Regula de bază

Două triunghiuri sunt asemenea dacă îndeplinesc unul dintre cele trei cazuri de asemănare: UU (unghi-unghi), LUL (latură-unghi-latură) sau LLL (latură-latură-latură). Nu ai nevoie să verifici toate unghiurile și toate laturile — îți ajunge un singur caz confirmat.

Cele trei cazuri de asemănare — UU, LUL, LLL

Gândește-te la ele ca la trei „chei" diferite care deschid același lacăt — confirmarea asemănării. Folosești cheia pe care o ai la dispoziție, în funcție de ce date îți dă problema.

Cazul UU (Unghi-Unghi): Dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale altui triunghi, triunghiurile sunt asemenea. De ce ajung două unghiuri? Pentru că suma unghiurilor unui triunghi e mereu $180 °$ , deci al treilea unghi e automat determinat. Practic, nu mai trebuie să-l verifici.

Cazul LUL (Latură-Unghi-Latură): Dacă unghiul dintre două laturi ale unui triunghi e egal cu unghiul dintre două laturi ale celuilalt triunghi, și laturile care formează acel unghi sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea. Adică ai nevoie de un unghi egal și de rapoartele laturilor care îl „înconjoară".

Cazul LLL (Latură-Latură-Latură): Dacă toate trei rapoartele laturilor corespondente sunt egale, triunghiurile sunt asemenea. Nu contează niciun unghi — doar că $\frac{a}{a^{'}} = \frac{b}{b^{'}} = \frac{c}{c^{'}}$ .

💡 Regula de bază

Cazul UU e cel mai rapid — două unghiuri egale și gata. Cazul LLL cere să calculezi toate trei rapoartele și să verifici că sunt egale. Cazul LUL e undeva la mijloc: un unghi plus două rapoarte de laturi adiacente acelui unghi.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Triunghiul $A B C$ are $∠ A = 50 °$ și $∠ B = 70 °$ . Triunghiul $D E F$ are $∠ D = 50 °$ și $∠ E = 70 °$ . Arată că cele două triunghiuri sunt asemenea și scrie rapoartele de proporționalitate.

🔢 Rezolvare

∠ A = ∠ D = 50 °

∠ B = ∠ E = 70 °

∠ C = 180 ° - 50 ° - 70 ° = 60 °, ∠ F = 180 ° - 50 ° - 70 ° = 60 °

\Rightarrow △ A B C \sim △ D E F (cazul UU)

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}

✅ Explicație

Am identificat două perechi de unghiuri egale — asta e tot ce ne trebuie pentru cazul UU. Al treilea unghi iese automat din suma de $180 °$ , deci nu mai e nevoie să-l verificăm separat. Odată confirmate asemănarea, scriem rapoartele între laturile corespondente — vârful A corespunde lui D, B corespunde lui E, C corespunde lui F.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Scriem rapoartele în ordine greșită — de exemplu $\frac{A B}{E F}$ în loc de $\frac{A B}{D E}$ , amestecând vârfurile corespondente.

✅ Corect: Ordinea din notația $△ A B C \sim △ D E F$ îți spune tot: A cu D, B cu E, C cu F. Laturile se scriu în același sens: $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F}$ . Dacă amesteci vârfurile, rapoartele ies greșite și calculele nu mai merg.

❌ Greșeala #2: La cazul LUL, unele lipesc unghiul egal oriunde, nu neapărat între laturile proporționale comparate.

✅ Corect: La LUL contează că unghiul egal e cuprins între cele două laturi al căror raport îl verifici. Dacă unghiul e în altă poziție față de acele laturi, cazul LUL nu se aplică — poate fi alt caz sau nu există asemănare cu datele respective.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Triunghiul $A B C$ are $∠ A = 40 °$ și $∠ C = 80 °$ . Triunghiul $M N P$ are $∠ M = 40 °$ și $∠ P = 80 °$ . Sunt cele două triunghiuri asemenea? Dacă da, prin ce caz?

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A = ∠ M = 40 °

∠ C = ∠ P = 80 °

\Rightarrow △ A B C \sim △ M N P (cazul UU)

Avem două perechi de unghiuri egale, deci cazul UU e confirmat. Al treilea unghi din fiecare triunghi e $180 ° - 40 ° - 80 ° = 60 °$ , deci și el e egal — dar nu mai e nevoie să-l verificăm, UU ajunge.

Răspuns: Da, $△ A B C \sim △ M N P$ prin cazul UU.

Exercițiul 2. Triunghiul $A B C$ are laturile $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm, $A C = 8$ cm. Triunghiul $D E F$ are laturile $D E = 6$ cm, $E F = 9$ cm, $D F = 12$ cm. Sunt triunghiurile asemenea? Prin ce caz?

Vezi rezolvarea pas cu pas

\frac{A B}{D E} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{B C}{E F} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

\frac{A C}{D F} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\Rightarrow △ A B C \sim △ D E F (cazul LLL), raportul de asemănare k = \frac{2}{3}

Toate trei rapoartele sunt egale cu $\frac{2}{3}$ , deci cazul LLL e confirmat. Raportul de asemănare e $\frac{2}{3}$ — fiecare latură din primul triunghi e de $\frac{2}{3}$ ori mai mică decât latura corespondentă din al doilea.

Răspuns: Da, $△ A B C \sim △ D E F$ prin cazul LLL, cu raportul de asemănare $\frac{2}{3}$ .

Exercițiul 3. Triunghiul $A B C$ are $A B = 5$ cm, $A C = 10$ cm și $∠ A = 60 °$ . Triunghiul $D E F$ are $D E = 3$ cm, $D F = 6$ cm și $∠ D = 60 °$ . Arată că triunghiurile sunt asemenea.

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A = ∠ D = 60 °

\frac{A B}{D E} = \frac{5}{3}, \frac{A C}{D F} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

\Rightarrow \frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} și ∠ A = ∠ D

\Rightarrow △ A B C \sim △ D E F (cazul LUL)

Unghiul egal e chiar cel cuprins între cele două laturi proporționale — ăsta e exact cazul LUL. Rapoartele $\frac{A B}{D E}$ și $\frac{A C}{D F}$ sunt ambele $\frac{5}{3}$ , deci condiția e îndeplinită.

Răspuns: $△ A B C \sim △ D E F$ prin cazul LUL.

Exercițiul 4. Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ sunt asemenea, cu $△ A B C \sim △ D E F$ . Se știe că $A B = 9$ cm, $D E = 6$ cm și $E F = 8$ cm. Calculează lungimea laturii $B C$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F}

\frac{9}{6} = \frac{B C}{8}

B C = \frac{9 \times 8}{6}

B C = \frac{72}{6} = 12 cm

Scriem proporția dintre laturile corespondente și rezolvăm ca o regulă de trei simplă. Vârful B corespunde lui E, deci latura BC corespunde laturii EF.

Răspuns: $B C = 12$ cm.

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi $A B C$ dreptunghic în $A$ , se duce înălțimea $A D$ pe ipotenuza $B C$ , unde $D$ este piciorul înălțimii. Arată că $△ A B D \sim △ C A D$ și calculează $A D$ , știind că $B D = 4$ cm și $D C = 9$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A D B = ∠ A D C = 90 ° (AD este înălțime)

∠ A B D = ∠ D A C (unghiuri complementare cu ∠ B A D și respectiv ∠ A D B, în triunghiuri dreptunghice)

\Rightarrow △ A B D \sim △ C A D (cazul UU)

\frac{B D}{A D} = \frac{A D}{D C}

A D^{2} = B D \times D C = 4 \times 9 = 36

A D = \sqrt{36} = 6 cm

Ăsta e un rezultat clasic și foarte frumos: înălțimea dintr-un triunghi dreptunghic pe ipotenuză e media geometrică a celor două segmente pe care le determină. Odată ce ai asemănarea, rapoartele laturilor corespondente îți dau direct ecuația pentru AD.

Răspuns: $A D = 6$ cm.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre triunghiuri congruente și triunghiuri asemenea?

Triunghiurile congruente sunt identice — aceleași unghiuri și aceleași laturi. Triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri, dar laturile sunt proporționale, nu egale. Practic, congruența e un caz special de asemănare în care raportul de asemănare e exact $1$ . Dacă mărești o poză, forma e aceeași — dar nu ai congruență, ai asemănare.

Trebuie să știu toate trei cazurile sau ajunge unul?

Trebuie să le știi pe toate trei, pentru că fiecare problemă îți dă date diferite. Uneori ai unghiuri, alteori ai laturi, alteori o combinație. Dacă știi doar UU, rămâi blocat la exercițiile cu LLL sau LUL. Vestea bună: nu sunt greu de reținut — UU cu unghiuri, LLL cu laturi, LUL cu ambele.

Cum știu în ce ordine scriu vârfurile când notez asemănarea?

Ordinea vârfurilor arată care unghiuri sunt egale. Dacă scrii $△ A B C \sim △ D E F$ , înseamnă că $∠ A = ∠ D$ , $∠ B = ∠ E$ și $∠ C = ∠ F$ . Înainte de a nota asemănarea, identifică perechile de unghiuri egale și pune vârfurile în ordinea corespunzătoare. Greșeala de ordine strică toate rapoartele de laturi care urmează.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Textul nonliterar explicat cu exemple și exerciții

11 august 2026

Aria paralelogramului: formulă + 5 exerciții rezolvate

10 august 2026

Textul narativ nonliterar explicat cu exemple clasele 5-8

10 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună