CAZURILE DE ASEMĂNARE A TRIUNGHIURILOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. Avem două perechi de unghiuri egale: $\angle A\equiv \angle D$ și $\angle B\equiv \angle E$.
2. Al treilea unghi din fiecare triunghi este ${180}^{\circ }-{55}^{\circ }-{65}^{\circ }=$ ${60}^{\circ }$, deci și el e egal, dar nu mai trebuie verificat.
3. Două perechi de unghiuri egale sunt suficiente pentru cazul UU.

Răspuns: Da, $△ABC\sim △DEF$ prin cazul UU

1. Calculăm cele trei rapoarte: ${\displaystyle \frac{AB}{DE}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{15}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{BC}{EF}}=$ ${\displaystyle \frac{7}{21}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{AC}{DF}}=$ ${\displaystyle \frac{9}{27}}=$ ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.
2. Toate trei rapoartele sunt egale, deci cazul LLL este confirmat, cu raportul de asemănare $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

Răspuns: Da, $△ABC\sim △DEF$ prin cazul LLL, cu $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$

1. Unghiurile cuprinse între laturile comparate sunt egale: $\angle A\equiv \angle D=$ ${50}^{\circ }$.
2. Calculăm rapoartele laturilor care formează acest unghi: ${\displaystyle \frac{AB}{DE}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ și ${\displaystyle \frac{AC}{DF}}=$ ${\displaystyle \frac{14}{21}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. Unghiul egal e chiar cel cuprins între laturile proporționale, deci cazul LUL e confirmat.

Răspuns: $△ABC\sim △DEF$ prin cazul LUL, cu $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$

1. a) Două perechi de unghiuri egale (${40}^{\circ }$ și ${75}^{\circ }$) sunt suficiente: cazul UU confirmă asemănarea, fără nicio latură.
2. b) Calculăm rapoartele: ${\displaystyle \frac{6}{8}}=$ ${\displaystyle \frac{9}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{16}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{4}}$. Toate egale, deci cazul LLL confirmă asemănarea.
3. c) Un unghi egal și O SINGURĂ pereche de laturi proporționale NU sunt suficiente pentru LUL: ai nevoie de DOUĂ perechi de laturi, chiar cele care formează unghiul dat. Cu aceste date, asemănarea nu poate fi confirmată.

Răspuns: a) da, UU; b) da, LLL; c) nu, datele nu sunt suficiente pentru niciun caz

1. Stâlpul și umbra lui formează un triunghi dreptunghic; copacul și umbra lui, alt triunghi dreptunghic. Amândouă au unghiul drept (obiectul e vertical pe sol) și același unghi de înclinare a razelor solare - deci sunt asemenea prin cazul UU.
2. Raportul dintre înălțime și umbră este același la ambele: ${\displaystyle \frac{\text{înălțime stâlp}}{\text{umbră stâlp}}}=$ ${\displaystyle \frac{\text{înălțime copac}}{\text{umbră copac}}}$.
3. ${\displaystyle \frac{4}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{h}{9}}$, deci $h=$ ${\displaystyle \frac{4\cdot 9}{3}}=$ $12$ m.

Răspuns: Copacul are $12$ m

1. Unghiul din $A$ este comun celor două triunghiuri: $\angle BAC\equiv \angle EAD$ (e chiar același unghi).
2. Calculăm rapoartele laturilor care formează acest unghi: ${\displaystyle \frac{AB}{AE}}=$ ${\displaystyle \frac{6}{9}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ și ${\displaystyle \frac{AC}{AD}}=$ ${\displaystyle \frac{10}{15}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. Unghiul comun e cuprins între laturile proporționale, deci cazul LUL confirmă asemănarea.

Răspuns: $△ABC\sim △AED$ prin cazul LUL, cu $k={\displaystyle \frac{2}{3}}$

1. Pentru cazul LLL, toate trei rapoartele trebuie să fie egale: ${\displaystyle \frac{AB}{DE}}=$ ${\displaystyle \frac{BC}{EF}}=$ ${\displaystyle \frac{AC}{DF}}$.
2. Verificăm raportul cunoscut: ${\displaystyle \frac{6}{9}}=$ ${\displaystyle \frac{10}{15}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.
3. Al treilea raport trebuie să fie tot ${\displaystyle \frac{2}{3}}$: ${\displaystyle \frac{x}{21}}=$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, deci $x=$ ${\displaystyle \frac{2\cdot 21}{3}}=$ $14$ cm.

Răspuns: $x=14$ cm

1. a) Calculăm rapoartele laturilor corespondente: ${\displaystyle \frac{AB}{MN}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{8}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \frac{AC}{MP}}=$ ${\displaystyle \frac{18}{12}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\displaystyle \frac{BC}{NP}}=$ ${\displaystyle \frac{24}{16}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$. Toate egale, deci cazul LLL confirmă asemănarea.
2. b) La triunghiuri asemenea, perimetrele sunt în același raport ca laturile: ${\displaystyle \frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}}=$ ${\displaystyle \frac{12+18+24}{8+12+16}}=$ ${\displaystyle \frac{54}{36}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{2}}$.

Răspuns: a) $△ABC\sim △MNP$ prin LLL, $k={\displaystyle \frac{3}{2}}$; b) raportul perimetrelor este ${\displaystyle \frac{3}{2}}$