LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI, definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și are lungimea egală cu jumătate din ea. Mai jos găsești teorema cu figură, reciproca, proprietățile triunghiului median și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Linia mijlocie în triunghi: definiție, teoremă și reciprocă

Definiție. Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie. În figură, $M$ este mijlocul laturii $A B$ , $N$ este mijlocul laturii $A C$ , iar $M N$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $B C$ .

Liniuțele arată că

M

și

N

sunt mijloacele laturilor:

A M = M B

și

A N = N C

Teorema liniei mijlocii. Linia mijlocie este paralelă cu a treia latură:

$M N ∥ B C$

și are lungimea egală cu jumătate din ea:

$M N = \frac{B C}{2}$

Reciproca. Dacă prin mijlocul unei laturi duci paralela la o a doua latură, atunci această paralelă trece prin mijlocul celei de-a treia laturi. Este instrumentul cu care demonstrezi că un punct este mijlocul unui segment.

Triunghiul median. Un triunghi are trei linii mijlocii, câte una pentru fiecare latură. Ele formează triunghiul median, care are perimetrul egal cu jumătate din perimetrul triunghiului mare și aria egală cu un sfert din aria lui.

Atenție să nu confunzi linia mijlocie cu mediana: linia mijlocie unește două mijloace de laturi, iar mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Vezi și linia mijlocie în trapez, care are formula ei, cu semisuma bazelor.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Afli linia mijlocieușor

În triunghiul $A B C$ , punctul $M$ este mijlocul laturii $A B$ , iar $N$ este mijlocul laturii $A C$ . Știind că $B C = 14$ cm, calculează lungimea segmentului $M N$ .

Rezolvare pas cu pas

$M$ și $N$ sunt mijloacele a două laturi, deci $M N$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $B C$ .
Aplicăm teorema liniei mijlocii: $M N = \frac{B C}{2}$ .
Înlocuim: $M N =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm.

Răspuns: $M N = 7$ cm

EXERCIȚIUL 2Afli latura mareușor

În triunghiul $D E F$ , $P$ este mijlocul laturii $D E$ , iar $Q$ este mijlocul laturii $D F$ . Știind că $P Q = 6,5$ cm, calculează $E F$ .

Rezolvare pas cu pas

$P Q$ este linia mijlocie corespunzătoare laturii $E F$ , deci $P Q = \frac{E F}{2}$ .
Mergem invers și înmulțim cu $2$ : $E F = 2 \cdot P Q$ .
$E F =$ $2 \cdot 6,5 =$ $13$ cm.

Răspuns: $E F = 13$ cm

EXERCIȚIUL 3Perimetrul triunghiului medianușor

Triunghiul $A B C$ are $A B = 12$ cm, $B C = 16$ cm și $C A = 18$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $A B$ , $A C$ și, respectiv, $B C$ . Calculează perimetrul triunghiului $M N P$ .

Rezolvare pas cu pas

Fiecare latură a triunghiului $M N P$ este o linie mijlocie a triunghiului $A B C$ .
$M N$ corespunde laturii $B C$ : $M N =$ $\frac{16}{2} =$ $8$ cm.
$N P$ corespunde laturii $A B$ : $N P =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm.
$P M$ corespunde laturii $A C$ : $P M =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.
Perimetrul: $P_{M N P} =$ $8 + 6 + 9 =$ $23$ cm, adică jumătate din $12 + 16 + 18 = 46$ cm.

Răspuns: $P_{M N P} = 23$ cm

EXERCIȚIUL 4Unghiuri, folosind paralelismulmediu

În triunghiul $A B C$ , $m (∠ B) =$ $54^{\circ}$ și $m (∠ C) =$ $72^{\circ}$ . Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $A B$ și $A C$ . Calculează măsurile unghiurilor triunghiului $A M N$ .

Rezolvare pas cu pas

$M N$ este linie mijlocie, deci $M N ∥ B C$ .
Dreptele paralele $M N$ și $B C$ sunt tăiate de secanta $A B$ , iar $∠ A M N$ și $∠ A B C$ sunt unghiuri corespondente: $m (∠ A M N) =$ $54^{\circ}$ .
La fel, cu secanta $A C$ : $m (∠ A N M) =$ $m (∠ A C B) =$ $72^{\circ}$ .
Unghiul $A$ este comun celor două triunghiuri: $m (∠ A) =$ $180^{\circ} - 54^{\circ} - 72^{\circ} =$ $54^{\circ}$ .
Verificare: $54^{\circ} + 54^{\circ} + 72^{\circ} =$ $180^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A) =$ $54^{\circ}$ , $m (∠ A M N) =$ $54^{\circ}$ , $m (∠ A N M) =$ $72^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Reciproca teoremeimediu

În triunghiul $A B C$ cu $B C = 18$ cm, $M$ este mijlocul laturii $A B$ . Paralela dusă prin $M$ la $B C$ intersectează latura $A C$ în punctul $N$ . Arată că $N$ este mijlocul laturii $A C$ și calculează $M N$ .

Pe figură este marcat doar

A M = M B

. Că

N

este mijlocul lui

A C

trebuie demonstrat.

Rezolvare pas cu pas

$M$ este mijlocul laturii $A B$ , iar dreapta $M N$ este paralelă cu latura $B C$ .
Aplicăm reciproca teoremei liniei mijlocii: paralela dusă prin mijlocul unei laturi la a doua latură trece prin mijlocul celei de-a treia. Deci $N$ este mijlocul laturii $A C$ .
Acum $M N$ este chiar linia mijlocie corespunzătoare laturii $B C$ .
$M N =$ $\frac{B C}{2} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.

Răspuns: $N$ este mijlocul lui $A C$ , iar $M N = 9$ cm

EXERCIȚIUL 6Mijloacele laturilor unui patrulatermediu

În patrulaterul convex $A B C D$ , punctele $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ sunt mijloacele laturilor $A B$ , $B C$ , $C D$ și, respectiv, $D A$ . Știind că $A C = 10$ cm și $B D = 14$ cm, arată că $M N P Q$ este paralelogram și calculează perimetrul lui.

Diagonalele

A C

și

B D

sunt punctate: sunt construcții ajutătoare, nu laturi.

Rezolvare pas cu pas

Ducem diagonala $A C$ . În triunghiul $A B C$ , $M N$ este linie mijlocie, deci $M N ∥ A C$ și $M N =$ $\frac{A C}{2} =$ $5$ cm.
În triunghiul $A C D$ , $Q P$ este linie mijlocie, deci $Q P ∥ A C$ și $Q P =$ $\frac{A C}{2} =$ $5$ cm.
Patrulaterul $M N P Q$ are două laturi opuse paralele și congruente, deci este paralelogram.
Ducem diagonala $B D$ . În triunghiul $B C D$ , $N P$ este linie mijlocie: $N P =$ $\frac{B D}{2} =$ $7$ cm, la fel și $Q M = 7$ cm.
Perimetrul: $P_{M N P Q} =$ $5 + 7 + 5 + 7 =$ $24$ cm, adică suma diagonalelor $A C + B D$ .

Răspuns: $M N P Q$ este paralelogram, cu perimetrul de $24$ cm

EXERCIȚIUL 7Linia mijlocie taie medianagreu

În triunghiul $A B C$ , $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $A B$ și $A C$ , iar $A D$ este mediana din $A$ (cu $D$ pe $B C$ ). Segmentele $M N$ și $A D$ se intersectează în $P$ . Știind că $B C = 24$ cm și $A D = 18$ cm, arată că $P$ este mijlocul medianei $A D$ și calculează $A P$ și $M P$ .

Rezolvare pas cu pas

$M N$ este linie mijlocie în triunghiul $A B C$ , deci $M N ∥ B C$ . Cum $D$ este pe $B C$ , avem și $M P ∥ B D$ .
Lucrăm în triunghiul $A B D$ : $M$ este mijlocul laturii $A B$ , iar prin $M$ am dus o paralelă la latura $B D$ .
Din reciproca teoremei liniei mijlocii, această paralelă taie latura $A D$ în mijlocul ei, deci $P$ este mijlocul lui $A D$ .
$A P =$ $\frac{A D}{2} =$ $\frac{18}{2} =$ $9$ cm.
$M P$ este linia mijlocie a triunghiului $A B D$ , iar $B D =$ $\frac{B C}{2} =$ $12$ cm, deci $M P =$ $\frac{B D}{2} =$ $6$ cm.

Răspuns: $P$ este mijlocul lui $A D$ , $A P = 9$ cm și $M P = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Triunghiul $A B C$ are $A B = 10$ cm, $A C = 12$ cm și $B C = 16$ cm. Punctele $M$ , $N$ și $P$ sunt mijloacele laturilor $A B$ , $A C$ și, respectiv, $B C$ . Arată că patrulaterul $A M P N$ este paralelogram și calculează perimetrul lui.

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A B C$ , $M P$ unește mijloacele laturilor $A B$ și $B C$ , deci este linie mijlocie: $M P ∥ A C$ și $M P =$ $\frac{A C}{2} =$ $\frac{12}{2} =$ $6$ cm.
La fel, $N P$ unește mijloacele laturilor $A C$ și $B C$ , deci $N P ∥ A B$ și $N P =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{10}{2} =$ $5$ cm.
În patrulaterul $A M P N$ , latura $A M$ este pe dreapta $A B$ , deci $A M ∥ N P$ , iar latura $A N$ este pe dreapta $A C$ , deci $A N ∥ M P$ .
Având ambele perechi de laturi opuse paralele, $A M P N$ este paralelogram.
$A M =$ $\frac{A B}{2} =$ $5$ cm și $A N =$ $\frac{A C}{2} =$ $6$ cm, deci perimetrul este $P_{A M P N} =$ $2 \cdot (5 + 6) =$ $22$ cm.

Răspuns: $A M P N$ este paralelogram, cu perimetrul de $22$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe linia mijlocie

Enunțul îți dă două mijloace de laturi în același triunghi, chiar dacă nu spune „linie mijlocie”: unești mijloacele și aplici teorema.
Se cere să demonstrezi că un punct este mijlocul unui segment, iar în figură apare o paralelă dusă printr-un alt mijloc: folosești reciproca.
Apar mijloacele laturilor unui patrulater sau mijloacele a două laturi plus o diagonală: duci diagonala ca linie ajutătoare și obții linii mijlocii în triunghiurile formate.

Greșeli frecvente

Confunzi linia mijlocie cu mediana. Linia mijlocie unește două mijloace de laturi și nu trece prin niciun vârf. Mediana pleacă dintr-un vârf spre mijlocul laturii opuse.
Înmulțești când trebuia să împarți. Linia mijlocie este cea mică: $M N = \frac{B C}{2}$ . Dacă ți se dă linia mijlocie și ceri latura, atunci înmulțești cu $2$ .
Alegi greșit latura corespunzătoare. Linia mijlocie $M N$ , cu $M$ pe $A B$ și $N$ pe $A C$ , corespunde laturii $B C$ , adică laturii pe care nu se sprijină. Nu o compara cu $A B$ sau cu $A C$ .

Exersează

Fișă de lucru: Linia mijlocie în triunghi, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu figuri Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Linia mijlocie în triunghiclasa a VII-a, lecția 6

Din același capitol

Întrebări frecvente

Câte linii mijlocii are un triunghi?

Trei, câte una pentru fiecare latură. Împreună formează triunghiul median, cu perimetrul de două ori mai mic decât al triunghiului inițial.

Ce diferență este între linia mijlocie și mediană?

Linia mijlocie unește mijloacele a două laturi și este paralelă cu a treia. Mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse și nu este paralelă cu nicio latură.

Linia mijlocie împarte triunghiul în două figuri egale?

Nu. Ea taie un triunghi mic, cu aceleași unghiuri ca triunghiul mare și laturile de două ori mai mici, cu aria egală cu un sfert din aria totală. Restul este un trapez, cu aria de trei ori mai mare decât a triunghiului mic.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 6. Linia mijlocie în triunghi..

Exersează cu fișa de lucru: Linia mijlocie în triunghi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Ce este linia mijlocie a unui triunghi?
2. Care este una dintre proprietățile liniei mijlocii în triunghi referitoare la paralelism?
3. Dacă latura $B C$ a triunghiului $A B C$ are lungimea $10$ cm, cât măsoară linia mijlocie $M N$ paralelă cu $B C$ ?
4. În triunghiul $A B C$ , $M$ este mijlocul lui $A B$ și $N$ este mijlocul lui $A C$ . Dacă $M N = 6$ cm, cât este $B C$ ?
5. Câte linii mijlocii poate avea un triunghi?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 16 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ROMBUL: proprietăți, arie și perimetru - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

PĂTRATUL proprietăți, diagonala și unghiurile de 45° - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRAPEZ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună