PĂTRATUL proprietăți, diagonala și unghiurile de 45° - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 7 octombrie 2026

Pătratul este în același timp dreptunghi și romb, așa că diagonalele lui sunt congruente și perpendiculare, iar diagonala pătratului cu latura $l$ este $d = l \sqrt{2}$ . Mai jos găsești toate proprietățile, unghiurile de $45^{\circ}$ , cum arăți că un patrulater este pătrat și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Pătratul: dreptunghi și romb în același timp

Pătratul este dreptunghiul care are două laturi alăturate congruente. La fel de bine îl poți defini ca rombul care are un unghi drept. În figură, laturile marcate sunt congruente, diagonalele se taie în $O$ sub un unghi drept, iar fiecare diagonală face $45^{\circ}$ cu laturile.

În pătratul

A B C D

, diagonalele sunt congruente, perpendiculare în

O

și fac unghiuri de

45^{\circ}

cu laturile.

Pentru că este și dreptunghi, și romb, pătratul adună proprietățile amândurora:

Toate laturile sunt congruente și laturile opuse sunt paralele (ca la romb).
Toate unghiurile sunt drepte (ca la dreptunghi).
Diagonalele sunt congruente (ca la dreptunghi) și perpendiculare (ca la romb); ele se înjumătățesc, deci $O A = O B = O C = O D$ .
Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor, deci împart fiecare unghi drept în două unghiuri de $45^{\circ}$ .
Diagonalele împart pătratul în patru triunghiuri dreptunghice isoscele congruente: $A O B$ , $B O C$ , $C O D$ , $D O A$ .
Pătratul are patru axe de simetrie: cele două diagonale și cele două drepte care trec prin mijloacele laturilor opuse.

Diagonala o obții din teorema lui Pitagora în triunghiul $A B C$ : $d^{2} =$ $l^{2} + l^{2} =$ $2 l^{2}$ . De aici:

$d = l \sqrt{2}$

Invers, dacă știi diagonala, latura este $l =$ $\frac{d}{\sqrt{2}} =$ $\frac{d \sqrt{2}}{2}$ . Perimetrul este $P = 4 l$ , aria este $A = l^{2}$ , iar pentru că $d^{2} = 2 l^{2}$ , aria se poate scrie și $A = \frac{d^{2}}{2}$ .

Cum arăți că un patrulater este pătrat. Ajunge una dintre condițiile:

este un dreptunghi cu două laturi alăturate congruente sau cu diagonalele perpendiculare;
este un romb cu un unghi drept sau cu diagonalele congruente.

Exerciții rezolvate : pătratul

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1De la latură la diagonalăușor

Pătratul $A B C D$ are latura $A B = 7$ cm. Calculează lungimea diagonalei $A C$ și perimetrul triunghiului $A B C$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonala pătratului cu latura $l$ este $l \sqrt{2}$ , deci $A C = 7 \sqrt{2}$ cm.
Dacă vrei să verifici: în triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ , $A C^{2} = 49 + 49 = 98$ , iar $\sqrt{98} =$ $\sqrt{49 \cdot 2} =$ $7 \sqrt{2}$ .
Triunghiul $A B C$ are ca laturi două laturi ale pătratului și diagonala, deci perimetrul lui este $A B + B C + A C =$ $7 + 7 + 7 \sqrt{2} =$ $14 + 7 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: $A C = 7 \sqrt{2}$ cm, perimetrul triunghiului $A B C$ este $14 + 7 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 2Latura, perimetrul și aria când știi diagonalaușor

Diagonala pătratului $A B C D$ are $10$ cm. Calculează latura, perimetrul și aria pătratului.

Rezolvare pas cu pas

Din $d = l \sqrt{2}$ rezultă $l =$ $\frac{10}{\sqrt{2}}$ . Raționalizezi numitorul: $l =$ $\frac{10 \sqrt{2}}{2} =$ $5 \sqrt{2}$ cm.
Perimetrul: $P =$ $4 \cdot 5 \sqrt{2} =$ $20 \sqrt{2}$ cm.
Aria: $A =$ $l^{2} =$ ${(5 \sqrt{2})}^{2} =$ $25 \cdot 2 =$ $50$ cm².
Verificare cu formula din diagonală: $A =$ $\frac{d^{2}}{2} =$ $\frac{100}{2} =$ $50$ cm².

Răspuns: $l = 5 \sqrt{2}$ cm, $P = 20 \sqrt{2}$ cm, $A = 50$ cm²

EXERCIȚIUL 3Diagonala ca bisectoareușor

În pătratul $A B C D$ , punctul $E$ se află pe latura $B C$ , astfel încât $m (∠ B A E) =$ $25^{\circ}$ . Calculează $m (∠ E A C)$ și $m (∠ A E B)$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonala $A C$ este bisectoarea unghiului drept $B A D$ , deci $m (∠ B A C) =$ $45^{\circ}$ .
Semidreapta $A E$ este între $A B$ și $A C$ , deci $m (∠ E A C) =$ $45^{\circ} - 25^{\circ} =$ $20^{\circ}$ .
Triunghiul $A B E$ este dreptunghic în $B$ , deci $m (∠ A E B) =$ $90^{\circ} - 25^{\circ} =$ $65^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ E A C) =$ $20^{\circ}$ , $m (∠ A E B) =$ $65^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Triunghiul echilateral din interiorul pătratuluimediu

Pe latura $A B$ a pătratului $A B C D$ se construiește, spre interiorul pătratului, triunghiul echilateral $A B E$ . Calculează $m (∠ A D E)$ și $m (∠ E D C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Triunghiul $A B E$ este echilateral, deci $A E = A B$ și $m (∠ B A E) =$ $60^{\circ}$ .
Laturile pătratului sunt congruente: $A D = A B = A E$ . Așadar triunghiul $A D E$ este isoscel, cu $A D = A E$ .
Unghiul din vârful $A$ al acestui triunghi este $m (∠ D A E) =$ $90^{\circ} - 60^{\circ} =$ $30^{\circ}$ .
Unghiurile de la baza $D E$ sunt congruente: $m (∠ A D E) =$ $\frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} =$ $75^{\circ}$ .
Unghiul $A D C$ este drept, deci $m (∠ E D C) =$ $90^{\circ} - 75^{\circ} =$ $15^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ A D E) =$ $75^{\circ}$ , $m (∠ E D C) =$ $15^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Când rombul este pătratmediu

Rombul $A B C D$ are perimetrul de $24$ cm și diagonala $A C = 6 \sqrt{2}$ cm. Diagonalele se intersectează în $O$ . Arată că rombul este pătrat și calculează aria lui.

Din desen nu se poate citi că unghiurile sunt drepte: tocmai asta trebuie arătat, de aceea unghiul drept nu este marcat.

Rezolvare pas cu pas

Rombul are toate laturile congruente, deci $A B =$ $\frac{24}{4} =$ $6$ cm.
Diagonalele rombului se înjumătățesc și sunt perpendiculare: $A O =$ $\frac{6 \sqrt{2}}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm, iar triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ .
Din Pitagora: $B O^{2} =$ $A B^{2} - A O^{2} =$ $36 - 18 =$ $18$ , deci $B O = 3 \sqrt{2}$ cm și $B D = 6 \sqrt{2}$ cm.
Diagonalele $A C$ și $B D$ sunt congruente. Un romb cu diagonalele congruente este pătrat.
Aria pătratului cu latura $6$ cm este $6^{2} = 36$ cm².

Răspuns: $B D = A C = 6 \sqrt{2}$ cm, deci $A B C D$ este pătrat; aria $= 36$ cm²

EXERCIȚIUL 6Latura din distanța de la centru la o laturămediu

În pătratul $A B C D$ , diagonalele se intersectează în $O$ . Punctul $M$ este mijlocul laturii $B C$ , iar $O M = 4$ cm. Calculează latura, perimetrul și diagonala pătratului.

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $B C D$ , punctul $O$ este mijlocul lui $B D$ (diagonalele se înjumătățesc), iar $M$ este mijlocul lui $B C$ .
Deci $O M$ este linie mijlocie în triunghiul $B C D$ : $O M ∥ C D$ și $O M = \frac{C D}{2}$ .
Rezultă $C D = 2 \cdot 4 = 8$ cm, deci latura pătratului este $8$ cm.
Perimetrul: $P = 4 \cdot 8 = 32$ cm. Diagonala: $d = 8 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: $l = 8$ cm, $P = 32$ cm, $d = 8 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 7Pătratul ascuns în alt pătratgreu

Pătratul $A B C D$ are latura de $8$ cm. Pe laturile $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ se iau punctele $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ , astfel încât $A M =$ $B N =$ $C P =$ $D Q =$ $2$ cm. a) Arată că $M N P Q$ este pătrat. b) Calculează latura și aria pătratului $M N P Q$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Restul fiecărei laturi are $8 - 2 = 6$ cm: $M B =$ $N C =$ $P D =$ $Q A =$ $6$ cm.
Triunghiurile $Q A M$ , $M B N$ , $N C P$ și $P D Q$ sunt dreptunghice și au catetele de $2$ cm și $6$ cm, deci sunt congruente (cazul catetă-catetă). Rezultă $Q M = M N = N P = P Q$ .
Din congruența triunghiurilor $Q A M$ și $M B N$ : $∠ A Q M \equiv ∠ B M N$ . În triunghiul $Q A M$ , $m (∠ A Q M) + m (∠ A M Q) =$ $90^{\circ}$ , deci și $m (∠ B M N) + m (∠ A M Q) =$ $90^{\circ}$ .
Unghiurile din jurul lui $M$ pe latura $A B$ au suma $180^{\circ}$ , deci $m (∠ Q M N) =$ $180^{\circ} - 90^{\circ} =$ $90^{\circ}$ .
Patrulaterul $M N P Q$ are toate laturile congruente (este romb) și un unghi drept, deci este pătrat.
b) Din Pitagora în triunghiul $M B N$ : $M N^{2} =$ $6^{2} + 2^{2} =$ $40$ , deci $M N =$ $\sqrt{40} =$ $2 \sqrt{10}$ cm. Aria: $M N^{2} = 40$ cm².

Răspuns: a) $M N P Q$ este romb cu un unghi drept, deci pătrat; b) $M N = 2 \sqrt{10}$ cm, aria $= 40$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: centrul de greutate pe diagonalăgreu

Pătratul $A B C D$ are latura de $6$ cm, iar $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor. Punctul $M$ este mijlocul laturii $C D$ , iar dreapta $A M$ intersectează diagonala $B D$ în punctul $P$ . a) Calculează lungimea diagonalei $B D$ . b) Arată că $P$ este centrul de greutate al triunghiului $A C D$ . c) Calculează lungimile segmentelor $B P$ și $A P$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $B D =$ $l \sqrt{2} =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
b) În triunghiul $A C D$ , $O$ este mijlocul lui $A C$ , deci $D O$ este mediană. $M$ este mijlocul lui $C D$ , deci $A M$ este și ea mediană.
Punctul $P$ se află pe ambele mediane (pe $A M$ și pe $B D$ , care conține $D O$ ), deci $P$ este centrul de greutate al triunghiului $A C D$ .
c) Centrul de greutate se află pe fiecare mediană la două treimi de vârf. $D O =$ $\frac{6 \sqrt{2}}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm, deci $D P =$ $\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{2} =$ $2 \sqrt{2}$ cm.
Atunci $B P =$ $B D - D P =$ $6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} =$ $4 \sqrt{2}$ cm.
În triunghiul $A D M$ , dreptunghic în $D$ , cu $D M = 3$ cm: $A M^{2} = 36 + 9 = 45$ , deci $A M = 3 \sqrt{5}$ cm, iar $A P =$ $\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{5} =$ $2 \sqrt{5}$ cm.

Răspuns: a) $B D = 6 \sqrt{2}$ cm; b) $P$ este intersecția medianelor $D O$ și $A M$ ; c) $B P = 4 \sqrt{2}$ cm, $A P = 2 \sqrt{5}$ cm

Cum recunoști un exercițiu pe pătrat

Ai latura și ți se cere diagonala, sau invers: folosește direct $d = l \sqrt{2}$ , fără să mai refaci Pitagora de fiecare dată.
Apare un unghi format de o diagonală cu o latură: pornește de la $45^{\circ}$ , pentru că diagonala este bisectoarea unghiului drept.
Ți se cere să arăți că un romb sau un dreptunghi este pătrat: la romb caută un unghi drept sau diagonale congruente, la dreptunghi două laturi alăturate egale sau diagonale perpendiculare.

Greșeli frecvente la pătrat

Scrii diagonala ca $2 l$ . Diagonala este $l \sqrt{2}$ , adică aproximativ $1,41 \cdot l$ , nu dublul laturii. Pentru latura de $7$ cm, diagonala este $7 \sqrt{2}$ cm, nu $14$ cm.
Împarți diagonala la 2 ca să afli latura. Jumătatea diagonalei este $O A$ , distanța de la centru la vârf, nu latura. Latura se obține împărțind diagonala la $\sqrt{2}$ .
Spui că un romb cu un unghi de $90^{\circ}$ „seamănă” cu pătratul, dar nu concluzionezi. Un romb cu un unghi drept este chiar pătrat, iar un dreptunghi cu două laturi alăturate egale la fel. Scrie concluzia explicit, cu definiția pe care te bazezi.

Exersează : pătratul

Fișă de lucru: Pătratul, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Pătratul, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre pătrat

Pătratul este dreptunghi sau romb?

Este amândouă. Are toate unghiurile drepte, deci este dreptunghi, și are toate laturile egale, deci este romb. De aceea are proprietățile ambelor figuri.

Cum aflu latura pătratului dacă știu doar diagonala?

Împarți diagonala la $\sqrt{2}$ și raționalizezi: $l =$ $\frac{d \sqrt{2}}{2}$ . De exemplu, pentru $d = 10$ cm, latura este $5 \sqrt{2}$ cm.

Câte axe de simetrie are pătratul?

Patru: cele două diagonale și cele două drepte care trec prin mijloacele laturilor opuse. Dreptunghiul obișnuit are doar două.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații definește corect un pătrat?
2. Un pătrat are latura $a$ . Care este formula ariei pătratului?
3. Un pătrat are latura $a$ . Care este formula lungimii diagonalei sale?
4. Care dintre afirmațiile despre diagonalele unui pătrat este adevărată?
5. Un pătrat are latura de $5$ cm. Care este perimetrul său?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 7 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

MEDIANA UNUI TRIUNGHI: definiție și centrul de greutate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VI-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ROMBUL: proprietăți, arie și perimetru - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRAPEZ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIILE FIGURILOR GEOMETRICE: toate formulele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC cu catete sau cu ipotenuză - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

COARDE ȘI ARCE ÎN CERC proprietăți, distanța de la centru la coardă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună