COARDE ȘI ARCE ÎN CERC proprietăți, distanța de la centru la coardă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 28 septembrie 2026

În același cerc, două coarde sunt congruente exact atunci când arcele lor mici sunt congruente, iar diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul ei. Mai jos găsești proprietățile coardelor și arcelor, cum calculezi distanța de la centru la o coardă și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Proprietățile coardelor și ale arcelor

O coardă $A B$ care nu este diametru împarte cercul în două arce: arcul mic și arcul mare. Măsura arcului mic este egală cu măsura unghiului la centru care îl cuprinde, iar arcul mare are restul până la $360^{\circ}$ . În figură, diametrul $C D$ este perpendicular pe coarda $A B$ în punctul $M$ .

Diametrul

C D

, perpendicular pe coarda

A B

, o împarte în două segmente congruente,

A M = M B

, și împarte arcul mic

A B

în două arce congruente.

$m ({A B}^{⌢}) =$ $m (∠ A O B)$

Proprietățile pe care le folosești în exerciții (toate sunt valabile în același cerc sau în cercuri cu raze egale):

Coarde congruente, arce congruente. Dacă $A B = C D$ , atunci arcele mici $A B$ și $C D$ au aceeași măsură. Și invers: arce mici congruente au coarde congruente.
Diametrul perpendicular pe coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcului mic. În figură: $A M = M B$ și $m ({A C}^{⌢}) =$ $m ({C B}^{⌢})$ .
Coarde congruente sunt egal depărtate de centru, iar dintre două coarde diferite, cea mai apropiată de centru este mai lungă. Cea mai lungă coardă este diametrul, la distanța $0$ .
Coarde paralele. Arcele cuprinse între două coarde paralele sunt congruente.

Distanța de la centru la coardă. Perpendiculara $O M$ pe coarda $A B$ cade în mijlocul coardei, așa că triunghiul $O M B$ este dreptunghic în $M$ , cu ipotenuza $O B = r$ . Din teorema lui Pitagora, cu $d = O M$ :

$r^{2} =$ $d^{2} + {(\frac{A B}{2})}^{2}$

Din această relație afli oricare dintre raza, coarda și distanța, dacă le cunoști pe celelalte două.

Exerciții rezolvate : coarde și arce în cerc

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Coarde egale, arce egaleușor

În cercul cu centrul $O$ , coardele $A B$ și $C D$ sunt congruente, iar arcul mic $A B$ măsoară $72^{\circ}$ . Calculează $m (∠ C O D)$ și măsura arcului mare $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

Coardele $A B$ și $C D$ sunt congruente și se află în același cerc, deci arcele lor mici sunt congruente: $m ({C D}^{⌢}) =$ $72^{\circ}$ .
Unghiul la centru are aceeași măsură ca arcul pe care îl cuprinde: $m (∠ C O D) =$ $72^{\circ}$ .
Arcul mare $C D$ completează cercul: $360^{\circ} - 72^{\circ} =$ $288^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ C O D) =$ $72^{\circ}$ , arcul mare $C D$ are $288^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Lungimea coardei din rază și distanțăușor

Un cerc cu centrul $O$ are raza de $13$ cm. Coarda $A B$ se află la distanța $O M = 5$ cm de centru, unde $M$ este piciorul perpendicularei din $O$ pe $A B$ . Calculează lungimea coardei $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Perpendiculara din centru pe coardă cade în mijlocul coardei, deci $M$ este mijlocul lui $A B$ .
Triunghiul $O M B$ este dreptunghic în $M$ , cu ipotenuza $O B = 13$ cm (rază).
Din teorema lui Pitagora: $M B^{2} =$ $O B^{2} - O M^{2} =$ $169 - 25 =$ $144$ , deci $M B = 12$ cm.
$A B =$ $2 \cdot M B =$ $2 \cdot 12 =$ $24$ cm.

Răspuns: $A B = 24$ cm

EXERCIȚIUL 3Diametrul care înjumătățește arculușor

În cercul cu centrul $O$ , arcul mic $A B$ măsoară $100^{\circ}$ . Diametrul $C D$ este perpendicular pe coarda $A B$ în punctul $M$ , iar $C$ se află pe arcul mic $A B$ . Calculează măsurile arcelor $A C$ și $C B$ și precizează ce fel de punct este $M$ pentru coarda $A B$ .

Rezolvare pas cu pas

Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul arcului mic al coardei, deci $C$ este mijlocul arcului mic $A B$ .
$m ({A C}^{⌢}) =$ $m ({C B}^{⌢}) =$ $\frac{100^{\circ}}{2} =$ $50^{\circ}$ .
Același diametru trece și prin mijlocul coardei, deci $M$ este mijlocul lui $A B$ : $A M = M B$ .
Verificare cu triunghiuri: $O A = O B$ (raze), deci triunghiul $A O B$ este isoscel, iar înălțimea $O M$ este și mediană și bisectoare. Așadar $m (∠ A O C) =$ $m (∠ C O B) =$ $50^{\circ}$ .

Răspuns: $m ({A C}^{⌢}) =$ $m ({C B}^{⌢}) =$ $50^{\circ}$ , iar $M$ este mijlocul coardei $A B$

EXERCIȚIUL 4Raza cercului din coardă și distanțămediu

O coardă $A B$ a unui cerc cu centrul $O$ are $30$ cm și se află la distanța $O M = 8$ cm de centru. Calculează raza cercului.

Rezolvare pas cu pas

$M$ este mijlocul coardei, deci $A M =$ $\frac{30}{2} =$ $15$ cm.
Raza este ipotenuza triunghiului dreptunghic $O M A$ : $r^{2} =$ $O M^{2} + A M^{2} =$ $64 + 225 =$ $289$ .
Cum $17^{2} = 289$ , raza este $r = 17$ cm.

Răspuns: $r = 17$ cm

EXERCIȚIUL 5Arcele dintre două coarde paralelemediu

În cercul cu centrul $O$ , coardele $A B$ și $C D$ sunt paralele și se află de o parte și de alta a centrului. Arcul mic $A B$ măsoară $100^{\circ}$ , iar arcul mic $C D$ măsoară $60^{\circ}$ . Punctele sunt așezate pe cerc în ordinea $A$ , $B$ , $D$ , $C$ . Calculează măsurile arcelor $A C$ și $B D$ care nu conțin alte puncte dintre cele patru, apoi compară coardele $A C$ și $B D$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele patru arce $A B$ , $B D$ , $D C$ și $C A$ acoperă tot cercul, deci suma lor este $360^{\circ}$ .
Arcele cuprinse între coardele paralele $A B$ și $C D$ sunt congruente: $m ({A C}^{⌢}) =$ $m ({B D}^{⌢})$ .
Fiecare are $\frac{360^{\circ} - 100^{\circ} - 60^{\circ}}{2} =$ $\frac{200^{\circ}}{2} =$ $100^{\circ}$ .
Arcele $A C$ și $B D$ sunt congruente, deci coardele lor sunt congruente: $A C = B D$ . Patrulaterul $A B D C$ este un trapez isoscel.

Răspuns: $m ({A C}^{⌢}) =$ $m ({B D}^{⌢}) =$ $100^{\circ}$ și $A C = B D$

EXERCIȚIUL 6Care coardă este mai lungă?mediu

Un cerc cu centrul $O$ are raza de $25$ cm. Coarda $A B$ se află la $7$ cm de centru, iar coarda $C D$ la $15$ cm de centru. Calculează lungimile celor două coarde și spune care este mai lungă.

Rezolvare pas cu pas

Pentru $A B$ : jumătatea coardei este $\sqrt{25^{2} - 7^{2}} =$ $\sqrt{625 - 49} =$ $\sqrt{576} =$ $24$ cm, deci $A B = 48$ cm.
Pentru $C D$ : jumătatea coardei este $\sqrt{25^{2} - 15^{2}} =$ $\sqrt{625 - 225} =$ $\sqrt{400} =$ $20$ cm, deci $C D = 40$ cm.
$48 > 40$ , deci $A B$ este mai lungă. Se confirmă regula: coarda mai apropiată de centru este mai lungă.

Răspuns: $A B = 48$ cm, $C D = 40$ cm; mai lungă este $A B$

EXERCIȚIUL 7Distanța dintre două coarde paralelegreu

Într-un cerc cu centrul $O$ și raza de $15$ cm se duc coardele paralele $A B = 24$ cm și $C D = 18$ cm, situate de o parte și de alta a centrului. Calculează distanța dintre cele două coarde.

Rezolvare pas cu pas

Ducem prin $O$ perpendiculara pe cele două coarde paralele. Ea le taie în mijloacele lor, $M$ pe $A B$ și $N$ pe $C D$ , iar distanța cerută este $M N$ .
Distanța la $A B$ : $O M^{2} =$ $15^{2} - 12^{2} =$ $225 - 144 =$ $81$ , deci $O M = 9$ cm.
Distanța la $C D$ : $O N^{2} =$ $15^{2} - 9^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $O N = 12$ cm.
Coardele sunt de o parte și de alta a centrului, deci $O$ se află între $M$ și $N$ : $M N =$ $O M + O N =$ $9 + 12 =$ $21$ cm.
Dacă ar fi fost de aceeași parte a centrului, distanța ar fi fost diferența: $12 - 9 = 3$ cm.

Răspuns: $M N = 21$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: cercul împărțit în patru arcegreu

Punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ se află, în această ordine, pe cercul cu centrul $O$ și raza de $6$ cm. Arcele mici au măsurile $m ({A B}^{⌢}) =$ $2 x$ , $m ({B C}^{⌢}) =$ $3 x$ , $m ({C D}^{⌢}) =$ $2 x$ și $m ({D A}^{⌢}) =$ $5 x$ . a) Calculează $x$ . b) Arată că $A B = C D = 6$ cm. c) Calculează lungimea coardei $B C$ și distanța de la $O$ la $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Cele patru arce formează tot cercul: $2 x + 3 x + 2 x + 5 x =$ $360^{\circ}$ , adică $12 x = 360^{\circ}$ , deci $x = 30^{\circ}$ .
Arcele au: $A B = 60^{\circ}$ , $B C = 90^{\circ}$ , $C D = 60^{\circ}$ , $D A = 150^{\circ}$ .
b) $m (∠ A O B) =$ $60^{\circ}$ și $O A = O B = 6$ cm, deci triunghiul $A O B$ este isoscel cu un unghi de $60^{\circ}$ , adică echilateral: $A B = 6$ cm.
Arcele $A B$ și $C D$ sunt congruente, deci și coardele sunt congruente: $C D = A B = 6$ cm.
c) $m (∠ B O C) =$ $90^{\circ}$ , deci triunghiul $B O C$ este dreptunghic isoscel: $B C^{2} = 36 + 36 = 72$ , adică $B C = 6 \sqrt{2}$ cm.
Perpendiculara $O P$ pe $B C$ cade în mijlocul coardei: $P B = 3 \sqrt{2}$ cm și $O P^{2} = 36 - 18 = 18$ , deci $O P = 3 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: a) $x = 30^{\circ}$ ; b) $A B = C D = 6$ cm; c) $B C = 6 \sqrt{2}$ cm, $d (O, B C) = 3 \sqrt{2}$ cm

Cum recunoști ce proprietate folosești

Dacă ai două coarde sau două arce egale și ți se cere celălalt element, folosești legătura coarde congruente, arce congruente.
Dacă apar raza, o coardă și distanța de la centru la ea, duci perpendiculara din centru și lucrezi în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza raza.
Dacă enunțul spune „coarde paralele”, te gândești imediat la arcele congruente dintre ele și la poziția centrului (între coarde sau nu).

Greșeli frecvente la coarde și arce în cerc

Folosești toată coarda în teorema lui Pitagora. În triunghiul dreptunghic intră jumătate din coardă, nu coarda întreagă. Abia la final dublezi rezultatul.
Confunzi arcul mic cu arcul mare. Unghiul la centru are măsura arcului mic. Arcul mare se obține scăzând din $360^{\circ}$ .
Aduni distanțele fără să verifici poziția coardelor. La două coarde paralele, distanțele până la centru se adună doar dacă centrul este între ele. Dacă sunt de aceeași parte, se scad.

Exersează : coarde și arce în cerc

Fișă de lucru: Coarde și arce în cerc, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Cercul, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Coarde și arce în cerc, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre coarde și arce în cerc

Ce este coarda unui cerc?

Este un segment care unește două puncte ale cercului. Diametrul este coarda care trece prin centru și este cea mai lungă coardă posibilă.

Cum aflu măsura unui arc de cerc?

Arcul mic are măsura unghiului la centru care îl cuprinde. Dacă știi arcul mic, arcul mare este $360^{\circ}$ minus arcul mic.

Cum calculez distanța de la centru la o coardă?

Duci perpendiculara din centru pe coardă. Ea cade în mijlocul coardei, iar distanța se află cu Pitagora: $d^{2} =$ $r^{2} - {(\frac{A B}{2})}^{2}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații definește corect o coardă a unui cerc?
2. Care este cea mai lungă coardă a unui cerc?
3. Un arc de cerc este:
4. Două coarde egale ale aceluiași cerc sunt la distanțe față de centru care sunt:
5. O coardă împarte cercul în:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 28 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ARIILE FIGURILOR GEOMETRICE: toate formulele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA TRIUNGHIULUI DREPTUNGHIC cu catete sau cu ipotenuză - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

TANGENTA LA CERC: proprietăți și tangentele dintr-un punct exterior - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

RAZA CERCULUI ÎNSCRIS ÎN TRIUNGHI și centrul lui - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună