CERCUL CIRCUMSCRIS unui triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Centrul cercului circumscris unui triunghi se află la intersecția mediatoarelor celor trei laturi, iar raza se calculează cu $R=$ ${\displaystyle \frac{abc}{4\cdot 𝒜}}$, unde $a,b,c$ sunt laturile și $𝒜$ este aria. Mai jos găsești regula explicată pe figură și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cercul circumscris unui triunghi

Exerciții rezolvate : cercul circumscris unui triunghi

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Triunghi dreptunghic, aplicare directăușor

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm, $AC=8$ cm și $BC=10$ cm. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. Într-un triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris e la mijlocul ipotenuzei, iar raza e jumătate din ipotenuză: $R={\displaystyle \frac{BC}{2}}$.
2. $R={\displaystyle \frac{10}{2}}$.

Răspuns: $R=5$ cm

EXERCIȚIUL 2Drumul invers: afli ipotenuzaușor

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar raza cercului circumscris este $R=\mathrm{7,5}$ cm. Calculează lungimea ipotenuzei $BC$.

Rezolvare pas cu pas

1. Din $R={\displaystyle \frac{BC}{2}}$, rezultă $BC=2R$.
2. $BC=2\cdot \mathrm{7,5}$.

Răspuns: $BC=15$ cm

EXERCIȚIUL 3Triunghi isoscel, cu aria datămediu

Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC=10$ cm, $BC=12$ cm și aria $48$ cm${}^2$. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. Aplicăm formula generală: $R=$ ${\displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot 𝒜}}$, cu laturile $10$, $10$ și $12$.
2. $R=$ ${\displaystyle \frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}}=$ ${\displaystyle \frac{1200}{192}}$.

Răspuns: $R=\mathrm{6,25}$ cm

EXERCIȚIUL 4Triunghi isoscel, laturi mai marimediu

Triunghiul isoscel $ABC$ are $AB=AC=20$ cm, $BC=24$ cm și aria $192$ cm${}^2$. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. $R=$ ${\displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot 𝒜}}=$ ${\displaystyle \frac{20\cdot 20\cdot 24}{4\cdot 192}}$.
2. $R=$ ${\displaystyle \frac{9600}{768}}$.

Răspuns: $R=\mathrm{12,5}$ cm

EXERCIȚIUL 5Recunoști triunghiul dreptunghic din catetemediu

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=9$ cm și $AC=12$ cm. Calculează raza cercului circumscris și precizează unde se află centrul lui față de triunghi.

Rezolvare pas cu pas

1. Ipotenuza: $BC=$ $\sqrt{9^2+{12}^2}=$ $\sqrt{81+144}=$ $\sqrt{225}$.
2. $BC=15$ cm, deci $R={\displaystyle \frac{15}{2}}$.
3. Fiind triunghi dreptunghic, centrul cercului circumscris este chiar pe ipotenuză, la mijlocul lui $BC$.

Răspuns: $R=\mathrm{7,5}$ cm, centrul e la mijlocul ipotenuzei

EXERCIȚIUL 6Triunghi oarecaremediu

Triunghiul $ABC$ are $AB=13$ cm, $BC=15$ cm, $CA=14$ cm și aria $84$ cm${}^2$. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. $R=$ ${\displaystyle \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot 𝒜}}=$ ${\displaystyle \frac{13\cdot 15\cdot 14}{4\cdot 84}}$.
2. $R=$ ${\displaystyle \frac{2730}{336}}$.

Răspuns: $R=\mathrm{8,125}$ cm

EXERCIȚIUL 7Triunghi echilateralgreu

Triunghiul echilateral $ABC$ are latura $12$ cm. Calculează raza cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. Înălțimea unui triunghi echilateral cu latura $a$ împarte baza exact la mijloc. Cu Pitagora: $h=$ $\sqrt{{12}^2-6^2}=$ $\sqrt{144-36}=$ $\sqrt{108}=$ $6\sqrt{3}$ cm.
2. Aria: $𝒜=$ ${\displaystyle \frac{12\cdot 6\sqrt{3}}{2}}=$ $36\sqrt{3}$ cm${}^2$.
3. $R=$ ${\displaystyle \frac{12\cdot 12\cdot 12}{4\cdot 36\sqrt{3}}}=$ ${\displaystyle \frac{1728}{144\sqrt{3}}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{\sqrt{3}}}=$ ${\displaystyle \frac{12\sqrt{3}}{3}}=$ $4\sqrt{3}$ cm.

Răspuns: $R=4\sqrt{3}$ cm (aproximativ $\mathrm{6,93}$ cm)

EXERCIȚIUL 8Triunghi obtuzunghic, centrul în exteriorgreu

Triunghiul $ABC$ are $AB=6$ cm, $BC=10$ cm și $CA=5$ cm. Verifică ce tip de triunghi este (ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic) și precizează unde se află centrul cercului circumscris.

Rezolvare pas cu pas

1. Verificăm cu reciproca teoremei lui Pitagora, comparând pătratul laturii celei mai mari cu suma pătratelor celorlalte două: $A{B}^2+C{A}^2=$ $6^2+5^2=$ $36+25=$ $61$.
2. Comparăm cu $B{C}^2={10}^2=100$. Cum $61<100$, unghiul opus laturii $BC$ este obtuz, deci triunghiul este obtuzunghic.
3. Într-un triunghi obtuzunghic, centrul cercului circumscris se află în exteriorul triunghiului, de partea cealaltă a laturii celei mai lungi $BC$.

Răspuns: triunghi obtuzunghic; centrul cercului circumscris e în exterior

Cum recunoști un exercițiu pe cercul circumscris

• Enunțul spune „cerc circumscris” sau vorbește despre un cerc care trece prin toate cele trei vârfuri ale triunghiului.
• Dacă triunghiul e dreptunghic, cauți direct ipotenuza: raza e jumătate din ea.
• Dacă triunghiul nu e dreptunghic, ai nevoie de toate trei laturi și de arie ca să aplici formula generală.

Greșeli frecvente la cercul circumscris unui triunghi

• Confundarea circumcentrului cu centrul de greutate. Centrul de greutate stă la intersecția medianelor (vârf, mijlocul laturii opuse). Circumcentrul stă la intersecția mediatoarelor (perpendiculare pe laturi, prin mijloacele lor). Nu sunt același punct, decât în triunghiul echilateral.
• Aplicarea formulei $R={\displaystyle \frac{c}{2}}$ la orice triunghi. Formula e valabilă DOAR pentru triunghiul dreptunghic, cu $c$ ipotenuza. La celelalte tipuri, folosești formula generală cu aria.
• Uitarea împărțirii la 2 la calculul ariei folosite în formula lui R. Dacă afli aria separat (de exemplu $baz\breve{a}\times \hat{ı}n\breve{a}l\text{ț}ime$), nu uita să împarți la 2 înainte să o folosești în $R=$ ${\displaystyle \frac{abc}{4𝒜}}$.

Exersează : cercul circumscris unui triunghi

Din același capitol

• Cercul înscris în triunghi
• Mediatoarele laturilor unui triunghi
• Mediatoarea unui segment
• Teorema medianei în triunghiul dreptunghic

Întrebări frecvente despre cercul circumscris unui triunghi