de Echipa Școala Virtuală12 august 2026

Cercul circumscris unui triunghi: exerciții și exemple

Probabil ai văzut la geometrie un cerc desenat în jurul unui triunghi și te-ai întrebat: de ce exact prin vârfuri? De ce nu mai sus, mai jos, mai mare? Și mai ales — cum îl construiești tu, nu doar îl copiezi de pe tablă? Cercul circumscris unui triunghi e unul din subiectele care par complicate pentru că nimeni nu-ți explică de unde vine ideea. Toată lumea îți dă formula, nimeni nu-ți arată gândirea din spate. Eu îți arăt azi exact asta: cum gândești, nu doar ce scrii. Și o să vedem că, de fapt, ideea principală e simplă — există un singur punct echidistant față de toate cele trei vârfuri ale triunghiului, și din acel punct trasezi cercul.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este centrul cercului circumscris și de unde vine
Vei ști să calculezi raza cercului circumscris folosind formula cu aria și laturile triunghiului
Vei recunoaște greșelile cele mai frecvente și cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, cercul circumscris unui triunghi

Hai să gândim împreună. Ai trei prieteni care stau în trei locuri diferite pe un teren. Vrei să găsești un punct de întâlnire care să fie la exact aceeași distanță față de toți trei. Există un astfel de punct? Da — există unul singur. Ei bine, asta e ideea din spatele cercului circumscris. Cercul circumscris unui triunghi este cercul care trece exact prin cele trei vârfuri ale triunghiului. Centrul lui — pe care îl numim circumcentru — este punctul egal depărtat de toate trei vârfurile. Practic, distanța de la circumcentru la fiecare vârf este exact raza cercului, notată $R$ . Centrul se găsește la intersecția mediatoarelor laturilor triunghiului. O mediatoare e dreapta perpendiculară pe o latură, trasată prin mijlocul ei. Nu trebuie să trasezi toate trei — primele două sunt de ajuns.

💡 Regula de bază

Circumcentrul unui triunghi este intersecția mediatoarelor celor trei laturi. Raza cercului circumscris se calculează cu formula $R = \frac{a b c}{4 \cdot 𝒜}$ , unde $a$ , $b$ , $c$ sunt laturile triunghiului și $𝒜$ este aria lui. Pentru un triunghi dreptunghic, raza este jumătate din ipotenuză: $R = \frac{c}{2}$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Într-un triunghi cu laturile $a = 5$ cm, $b = 12$ cm, $c = 13$ cm, calculează raza cercului circumscris.

🔢 Rezolvare

5^{2} + 12^{2} = 25 + 144 = 169 = 13^{2} \Rightarrow triunghi dreptunghic, ipotenuza c = 13 cm

𝒜 = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{5 \cdot 12}{2} = 30 {cm}^{2}

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 𝒜} = \frac{5 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 30}

R = \frac{780}{120} = 6,5 cm

✅ Explicație

Primul pas a fost să verificăm dacă e triunghi dreptunghic — și e, fiindcă $5^{2} + 12^{2} = 13^{2}$ . Asta ne-ar fi permis să scurtăm calculul direct cu $R = c / 2 = 6,5$ cm. Am ales totuși formula generală ca să o exersezi. Ambele metode dau același rezultat — asta e o verificare bună că n-ai greșit pe nicăieri.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea circumcentrului cu centrul de greutate. Mulți elevi cred că centrul cercului circumscris e același punct ca centrul de greutate al triunghiului (intersecția medianelor). Nu e același lucru. Circumcentrul stă pe mediatoare, centrul de greutate stă pe medioane — două concepte complet diferite.

✅ Corect: Circumcentrul = intersecția mediatoarelor (perpendicularele pe laturi prin mijloacele lor). Centrul de greutate = intersecția medianelor (segmentele de la vârf la mijlocul laturii opuse). Reține: mediatoare ≠ mediană.

❌ Greșeala #2: Aplicarea formulei $R = \frac{a b c}{4 𝒜}$ cu aria calculată greșit. Cel mai des, elevii folosesc formula $𝒜 = bază \times înălțime$ fără să împartă la 2, sau împart la 2 de două ori din nervi.

✅ Corect: Aria unui triunghi este întotdeauna $𝒜 = \frac{bază \times înălțime}{2}$ . Calculează întâi aria separat, pe rând, înainte să o bagi în formula lui $R$ . Nu face totul dintr-o bucată — te pierzi.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de $10$ cm. Calculează raza cercului circumscris.

Vezi rezolvarea pas cu pas

La un triunghi dreptunghic: R = \frac{c}{2}

R = \frac{10}{2}

R = 5 cm

La un triunghi dreptunghic, ipotenuza este diametrul cercului circumscris — deci raza e jumătate din ea. Nu ai nevoie de alte date.

Răspuns: $R = 5$ cm

Exercițiul 2. Un triunghi echilateral are latura $a = 6$ cm. Calculează raza cercului circumscris. (Aria unui triunghi echilateral cu latura $a$ este $𝒜 = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .)

Vezi rezolvarea pas cu pas

𝒜 = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2}

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 𝒜} = \frac{6 \cdot 6 \cdot 6}{4 \cdot 9 \sqrt{3}}

R = \frac{216}{36 \sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} cm

La triunghiul echilateral, toate laturile sunt egale, deci $a = b = c = 6$ . Am simplificat fracția treptat și am raționalizat numitorul la final — adică am înmulțit sus și jos cu $\sqrt{3}$ ca să scăpăm de radical din numitor.

Răspuns: $R = 2 \sqrt{3}$ cm

Exercițiul 3. Un triunghi are laturile $a = 6$ cm, $b = 8$ cm, $c = 10$ cm. Calculează raza cercului circumscris.

Vezi rezolvarea pas cu pas

6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = 10^{2} \Rightarrow triunghi dreptunghic

𝒜 = \frac{6 \cdot 8}{2} = 24 {cm}^{2}

R = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 24} = \frac{480}{96} = 5 cm

Din nou triunghi dreptunghic — recunoști tripleta 6-8-10, care e dublul lui 3-4-5. Puteai scurta direct cu $R = 10 / 2 = 5$ cm, dar formula generală confirmă același rezultat.

Răspuns: $R = 5$ cm

Exercițiul 4. Raza cercului circumscris unui triunghi isoscel este $R = 5$ cm. Dacă latura bazei este $a = 8$ cm și latura egală este $b = 6$ cm... hm, mai întâi verifică dacă triunghiul există: suma oricăror două laturi trebuie să fie mai mare decât a treia. Dacă există, calculează aria folosind formula $R = \frac{a b c}{4 𝒜}$ și află $𝒜$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

6 + 6 = 12 > 8 ✓

6 + 8 = 14 > 6 ✓ \Rightarrow triunghiul există

R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot 𝒜} \Rightarrow 4 \cdot 𝒜 = \frac{a \cdot b \cdot c}{R}

4 \cdot 𝒜 = \frac{8 \cdot 6 \cdot 6}{5} = \frac{288}{5} = 57,6

𝒜 = \frac{57,6}{4} = 14,4 {cm}^{2}

Ai preluat formula lui $R$ și ai izolat $𝒜$ — adică ai dat formula pe dos. Asta se întâmplă des în exerciții: nu ți se cere $R$ , ci altceva, și tu trebuie să te descurci cu ce ai.

Răspuns: $𝒜 = 14,4$ cm²

Exercițiul 5. Provocare: Într-un triunghi dreptunghic, un cathet are $7$ cm, iar ipotenuza are $25$ cm. Calculează celălalt cathet, aria triunghiului și raza cercului circumscris.

Vezi rezolvarea pas cu pas

b = \sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{25^{2} - 7^{2}} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 cm

𝒜 = \frac{a \cdot b}{2} = \frac{7 \cdot 24}{2} = \frac{168}{2} = 84 {cm}^{2}

R = \frac{c}{2} = \frac{25}{2} = 12,5 cm

Ai aplicat pe rând Teorema lui Pitagora ca să afli cathetul lipsă, apoi aria cu formula simplă pentru triunghi dreptunghic, și la final raza — care, la triunghi dreptunghic, e mereu jumătate din ipotenuză. Trei pași, trei răspunsuri clare.

Răspuns: Cathetul $b = 24$ cm, $𝒜 = 84$ cm², $R = 12,5$ cm

Întrebări frecvente

Circumcentrul poate fi în exteriorul triunghiului?

Da — și asta îi surprinde pe mulți. La un triunghi ascuțitunghic, circumcentrul e în interior. La cel dreptunghic, e exact pe mijlocul ipotenuzei. La triunghiul obtuzunghic, circumcentrul iese în exteriorul triunghiului. Cercul tot trece prin cele trei vârfuri, dar centrul lui nu mai e „înăuntru".

Care e diferența dintre cercul circumscris și cercul înscris?

Cercul circumscris trece prin vârfurile triunghiului — e mai mare. Cercul înscris e în interiorul triunghiului și e tangent la fiecare latură — îl atingi pe laturi, nu în vârfuri. Centrele lor sunt puncte diferite: circumcentrul stă pe mediatoare, iar centrul cercului înscris (incentrul) stă pe bisectoare.

Cum știu ce formulă să folosesc dacă nu știu aria?

Depinde de ce date ai. Dacă triunghiul e dreptunghic — folosești direct $R = c / 2$ . Dacă ai baza și înălțimea — calculezi aria și aplici formula generală. Dacă ai doar laturile — poți folosi formula lui Heron pentru arie, apoi bagi rezultatul în $R = a b c / (4 𝒜)$ . Identifică întâi tipul triunghiului, alegerea formulei vine singură.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Tipuri de propoziții explicat cu exemple și 5 exerciții

11 august 2026

Cazurile de asemănare a triunghiurilor: 5 exerciții rezolvate

11 august 2026

Textul nonliterar explicat cu exemple și exerciții

11 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună