Capitolul 7 — Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Test relații metrice clasa a VII-a, cu barem (PDF)

Test de evaluare pe capitol, la matematică: 18 exerciții, 90 de puncte plus 10 din oficiu, 50 de minute. Îl poți printa, iar baremul e mai jos, pe pagină. Rezolvarea completă, pas cu pas, ți-o trimitem gratuit pe email.

📝 Testul, în PDFDescarcă PDF

📝

Deschide testul (PDF)

📖 Rezolvare pas cu pasGratuită, pe email

După ce copilul termină testul, corectați-l împreună cu rezolvarea completă, pas cu pas:

✓Toate cele 18 exerciții rezolvate, nu doar răspunsul final
✓Punctajul pe fiecare pas, ca la corectarea din școală

Ce verifică testul și unde se învață

Dacă un exercițiu iese greșit, reluați lecția video a temei lui. Fiecare exercițiu de mai jos are tema scrisă lângă el.

1Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema cateteiVezi lecția video →2Teorema lui Pitagora și reciproca eiVezi lecția video →3Noțiuni de trigonometrie. Rezolvarea triunghiului dreptunghicVezi lecția video →4Calculul elementelor în poligoanele regulateVezi lecția video →5Ariile poligoanelor studiateVezi lecția video →

Exercițiile testului

Aceleași exerciții ca în PDF. La grile, se alege o singură variantă.

Subiectul I

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD ⊥ BC, cu D ∈ BC. Dacă BD = 4 cm și DC = 9 cm, atunci lungimea înălțimii AD este:
- a) 6,5 cm
- b) 36 cm
- c) 6 cm
- d) 13 cm
Tema: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema catetei
2
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar AD ⊥ BC, cu D ∈ BC. Dacă BD = 3 cm și BC = 12 cm, atunci lungimea catetei AB este:
- a) 6 cm
- b) $6 \sqrt{3}$ cm
- c) 36 cm
- d) 9 cm
Tema: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema catetei
3
Un triunghi dreptunghic are catetele de 9 cm și 12 cm. Lungimea ipotenuzei acestui triunghi este:
- a) 21 cm
- b) $3 \sqrt{7}$ cm
- c) 225 cm
- d) 15 cm
Tema: Teorema lui Pitagora și reciproca ei
4
Care dintre tripletele următoare pot fi lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic, exprimate în centimetri?
- a) 4, 5, 6
- b) 5, 12, 13
- c) 6, 7, 9
- d) 2, 3, 4
Tema: Teorema lui Pitagora și reciproca ei
5
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 6 cm și BC = 10 cm. Valoarea lui sin C este:
- a) $\frac{4}{5}$
- b) $\frac{3}{4}$
- c) $\frac{5}{3}$
- d) $\frac{3}{5}$
Tema: Noțiuni de trigonometrie. Rezolvarea triunghiului dreptunghic
6
Apotema unui triunghi echilateral cu latura de 6 cm are lungimea:
- a) $3 \sqrt{3}$ cm
- b) $2 \sqrt{3}$ cm
- c) $\sqrt{3}$ cm
- d) 3 cm
Tema: Calculul elementelor în poligoanele regulate

Subiectul al II-lea

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu m(∠B) = 30° și BC = 16 cm. Lungimea catetei AB este:
- a) 8 cm
- b) $8 \sqrt{3}$ cm
- c) $16 \sqrt{3}$ cm
- d) $4 \sqrt{3}$ cm
Tema: Noțiuni de trigonometrie. Rezolvarea triunghiului dreptunghic
2
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AB = 15 cm și AC = 20 cm. Lungimea înălțimii duse din vârful A este:
- a) 12 cm
- b) 10 cm
- c) 17,5 cm
- d) 24 cm
Tema: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema catetei
3
În triunghiul ABC din figura alăturată, m(∠BAC) = 90° și AD ⊥ BC, cu D ∈ BC. Dacă AC = 10 cm și DC = 8 cm, atunci lungimea ipotenuzei BC este:
- a) 6 cm
- b) 18 cm
- c) 12,5 cm
- d) $2 \sqrt{41}$ cm
Tema: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema catetei
4
Un pătrat are diagonala de 8 cm. Aria pătratului este:
- a) 64 cm²
- b) $16 \sqrt{2}$ cm²
- c) 16 cm²
- d) 32 cm²
Tema: Ariile poligoanelor studiate
5
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu AC = 12 cm și tg B = $\frac{3}{4}$ . Lungimea catetei AB este:
- a) 9 cm
- b) 16 cm
- c) 20 cm
- d) 15 cm
Tema: Noțiuni de trigonometrie. Rezolvarea triunghiului dreptunghic
6
Apotema unui hexagon regulat cu latura de 8 cm are lungimea:
- a) $4 \sqrt{3}$ cm
- b) $8 \sqrt{3}$ cm
- c) 4 cm
- d) $2 \sqrt{3}$ cm
Tema: Calculul elementelor în poligoanele regulate

Subiectul al III-lea

30 puncte

Scrieți rezolvările complete, cu toate etapele. Fiecare problemă este notată cu 5 puncte.

1
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, iar D este piciorul perpendicularei din A pe BC. Știind că BD = 9 cm și DC = 16 cm, aflați lungimile segmentelor AD, AB și AC și aria triunghiului ABC.
Tema: Proiecții ortogonale pe o dreaptă. Teorema înălțimii și teorema catetei
2
Triunghiul ABC are AB = 12 cm, AC = 16 cm și BC = 20 cm. Arătați că triunghiul ABC este dreptunghic și aflați lungimile înălțimii și medianei duse din vârful A.
Tema: Teorema lui Pitagora și reciproca ei
3
Triunghiul ABC este dreptunghic în A, cu m(∠C) = 60° și AC = 6 cm. Aflați lungimile laturilor BC și AB, valoarea lui sin B și aria triunghiului ABC.
Tema: Noțiuni de trigonometrie. Rezolvarea triunghiului dreptunghic
4
Trapezul isoscel ABCD are bazele AB = 20 cm și CD = 8 cm, iar m(∠DAB) = 45°. Aflați înălțimea trapezului, lungimea laturii neparalele AD și aria trapezului.
Tema: Ariile poligoanelor studiate
5
Un pătrat și un triunghi echilateral sunt înscrise în același cerc, cu raza de 6 cm. Aflați latura și apotema pătratului, precum și latura și apotema triunghiului echilateral.
Tema: Calculul elementelor în poligoanele regulate
6
Rombul ABCD are latura de 10 cm și diagonala AC = 16 cm. Aflați lungimea diagonalei BD, aria rombului și distanța dintre dreptele AB și CD.
Tema: Ariile poligoanelor studiate

Barem de corectare: test relații metrice clasa a VII-a

Răspunsul corect la fiecare exercițiu. Pașii cu punctajul intermediar sunt în rezolvarea trimisă pe email.

Deschide baremul

Subiectul I · 30p

1. c) · 5p — Din teorema înălțimii, AD² = BD · DC = 4 · 9 = 36, deci AD = 6 cm. Valoarea 36 este AD², iar 6,5 cm este media aritmetică a proiecțiilor, nu media lor geometrică.
2. a) · 5p — Din teorema catetei, AB² = BD · BC = 3 · 12 = 36, deci AB = 6 cm. Varianta $6 \sqrt{3}$ cm este lungimea celeilalte catete, AC, pentru care AC² = DC · BC = 9 · 12 = 108.
3. d) · 5p — Din teorema lui Pitagora, pătratul ipotenuzei este 9² + 12² = 81 + 144 = 225, deci ipotenuza are $\sqrt{225}$ = 15 cm. Varianta 21 cm este suma catetelor.
4. b) · 5p — 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², deci, din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul cu laturile 5, 12 și 13 este dreptunghic. La celelalte triplete, pătratul celui mai mare număr nu este egal cu suma pătratelor celorlalte două.
5. d) · 5p — Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă unghiului și ipotenuză. Cateta opusă unghiului C este AB, deci sin C = $\frac{A B}{B C}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$ .
6. c) · 5p — Înălțimea triunghiului echilateral este $\frac{6 \sqrt{3}}{2}$ = $3 \sqrt{3}$ cm, iar apotema este o treime din înălțime: $3 \sqrt{3}$ : 3 = $\sqrt{3}$ cm. Varianta $2 \sqrt{3}$ cm este raza cercului circumscris.

Subiectul al II-lea · 30p

1. b) · 5p — Cateta AB este alăturată unghiului B, deci AB = BC · cos B = 16 · $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $8 \sqrt{3}$ cm. Varianta 8 cm este lungimea catetei AC, opusă unghiului de 30°.
2. a) · 5p — Din teorema lui Pitagora, BC² = 225 + 400 = 625, deci BC = 25 cm. Înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este egală cu produsul catetelor împărțit la ipotenuză: 15 · 20 : 25 = 12 cm.
3. c) · 5p — DC este proiecția catetei AC pe ipotenuză. Din teorema catetei, AC² = DC · BC, adică 100 = 8 · BC, deci BC = 100 : 8 = 12,5 cm. Varianta 6 cm este lungimea lui AD.
4. d) · 5p — Pătratul este un romb, deci aria lui este jumătate din produsul diagonalelor: 8 · 8 : 2 = 32 cm². Altfel, latura este $\frac{8}{\sqrt{2}}$ = $4 \sqrt{2}$ cm, iar ( $4 \sqrt{2}$ )² = 32. Varianta 64 cm² este pătratul diagonalei.
5. b) · 5p — Tangenta unghiului B este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată: tg B = $\frac{A C}{A B}$ . Din $\frac{12}{A B}$ = $\frac{3}{4}$ rezultă AB = 12 · 4 : 3 = 16 cm. Varianta 9 cm se obține inversând raportul.
6. a) · 5p — Hexagonul regulat se descompune în 6 triunghiuri echilaterale cu latura de 8 cm, iar apotema este înălțimea unuia dintre ele: $\frac{8 \sqrt{3}}{2}$ = $4 \sqrt{3}$ cm.

Subiectul al III-lea · 30p

1. Răspuns: Aria triunghiului ABC este BC · AD : 2 = 25 · 12 : 2 = 150 cm² · 5p
2. Răspuns: Mediana corespunzătoare ipotenuzei are jumătate din lungimea ipotenuzei: 20 : 2 = 10 cm · 5p
3. Răspuns: Aria triunghiului ABC este AB · AC : 2 = $6 \sqrt{3}$ · 6 : 2 = $18 \sqrt{3}$ cm² · 5p
4. Răspuns: Aria trapezului este (AB + CD) · DE : 2 = (20 + 8) · 6 : 2 = 84 cm² · 5p
5. Răspuns: Apotema triunghiului echilateral înscris este jumătate din rază: 6 : 2 = 3 cm · 5p
6. Răspuns: 10 · h = 96, deci h = 96 : 10 = 9,6 cm · 5p

Total: 90p + 10p din oficiu = 100 de puncte

Alte teste pe capitol, clasa a VII-a

📝Test asemănarea triunghiurilor clasa a VII-aCapitolul 6 — Asemănarea triunghiurilor 📝Test cercul clasa a VII-aCapitolul 3 — Cercul 📝Test ecuații și sisteme de ecuații clasa a VII-aCapitolul 4 — Ecuații și sisteme de ecuații liniare 📝Test organizarea datelor clasa a VII-aCapitolul 5 — Elemente de organizare a datelor 📝Test patrulatere clasa a VII-aCapitolul 2 — Patrulatere 📝Test radicali clasa a VII-aCapitolul 1 — Numere reale

Fișe de lucru matematică clasa a VII-a: exerciții pe fiecare lecție, pentru antrenament înainte de test.Cursul complet: lecții video pentru toată materia de clasa a VII-a.

Exercițiile greșite au fiecare lecția lor video

Lecții video cu profesori reali, fișe de lucru rezolvate și Profesor AI, pentru toată materia clasei a VII-a.

Abonează-te!prima lună 5 lei