DREAPTA PERPENDICULARĂ PE PLAN criteriu și distanța la plan - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 3 octombrie 2026

Ca să arăți că o dreaptă este perpendiculară pe un plan, e suficient să arăți că este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan. Din acel moment, dreapta face unghi drept cu orice dreaptă a planului, iar în figură apar triunghiuri dreptunghice în care lucrezi cu teorema lui Pitagora. Mai jos găsești criteriul, distanța de la un punct la un plan și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Criteriul de perpendicularitate și consecințele lui

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ . Scriem $d ⟂ α$ . Punctul în care $d$ taie planul se numește piciorul perpendicularei.

Dreapta

d

, adică

O A

, face unghi drept cu

O B

și cu

O C

, două drepte concurente din

α

. Din criteriu,

d ⟂ α

Definiția cere „orice dreaptă”, ceea ce nu se poate verifica una câte una. De aceea în exerciții folosești criteriul de perpendicularitate:

$d ⟂ a,$ $d ⟂ b,$ $a,$ $b \subset α,$ $a \cap b =$ ${O} \Rightarrow$ $d ⟂ α$

Cele două drepte din plan trebuie să fie concurente. Două drepte paralele din plan nu sunt suficiente: o dreaptă înclinată poate fi perpendiculară pe amândouă fără să fie perpendiculară pe plan.

Ce obții odată ce ai arătat că $d ⟂ α$ :

$d$ este perpendiculară pe orice dreaptă din $α$ , chiar și pe cele care nu trec prin piciorul ei (unghiul a două drepte în spațiu se măsoară și pentru drepte care nu se intersectează);
dacă $A \in d$ , $O$ este piciorul perpendicularei și $B$ este un punct din plan, triunghiul $A O B$ este dreptunghic în $O$ ;
două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele;
printr-un punct trece o singură dreaptă perpendiculară pe un plan dat.

Distanța de la un punct la un plan. Dacă $A \notin α$ și $O$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe $α$ , distanța de la $A$ la plan este lungimea segmentului $A O$ . Orice alt segment $A B$ , cu $B \in α$ , este ipotenuză în triunghiul dreptunghic $A O B$ , deci este mai lung decât $A O$ : perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la plan.

În corpurile pe care le cunoști, perpendicularele pe plan apar peste tot: muchiile laterale ale cubului și ale paralelipipedului dreptunghic sunt perpendiculare pe planul bazei, iar la piramida regulată segmentul care unește vârful cu centrul bazei este perpendicular pe bază.

Exerciții rezolvate : dreapta perpendiculară pe plan

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Muchiile cubului perpendiculare pe bazăușor

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $5$ cm. a) Arată că $A A^{'} ⟂ (A B C)$ și numește celelalte muchii perpendiculare pe planul bazei. b) Calculează lungimea segmentului $A^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Fețele $A B B^{'} A^{'}$ și $A D D^{'} A^{'}$ sunt pătrate, deci $A A^{'} ⟂ A B$ și $A A^{'} ⟂ A D$ .
Dreptele $A B$ și $A D$ sunt cuprinse în planul $(A B C)$ și sunt concurente în $A$ . Din criteriu, $A A^{'} ⟂ (A B C)$ .
La fel se arată pentru $B B^{'}$ , $C C^{'}$ și $D D^{'}$ : fiecare este perpendiculară pe două laturi ale bazei care pleacă din piciorul ei.
b) Cum $A A^{'} ⟂ (A B C)$ și $A C \subset (A B C)$ , rezultă $A A^{'} ⟂ A C$ : triunghiul $A^{'} A C$ este dreptunghic în $A$ .
$A C$ este diagonala pătratului: $A C = 5 \sqrt{2}$ cm. Din Pitagora, $A^{'} C^{2} = 25 + 50 = 75$ , deci $A^{'} C = 5 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $A A^{'}$ , $B B^{'}$ , $C C^{'}$ , $D D^{'}$ sunt perpendiculare pe $(A B C)$ ; b) $A^{'} C = 5 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 2Două triunghiuri dreptunghice din aceeași perpendicularăușor

Triunghiul $A B C$ are $A B = 8$ cm și $A C = 20$ cm. Dreapta $P A$ este perpendiculară pe planul $(A B C)$ și $P A = 15$ cm. Calculează $P B$ și $P C$ .

Rezolvare pas cu pas

Din $P A ⟂ (A B C)$ , dreapta $P A$ este perpendiculară pe orice dreaptă din plan, deci $P A ⟂ A B$ și $P A ⟂ A C$ .
Triunghiul $P A B$ este dreptunghic în $A$ : $P B^{2} =$ $15^{2} + 8^{2} =$ $225 + 64 =$ $289$ , deci $P B = 17$ cm.
Triunghiul $P A C$ este dreptunghic în $A$ : $P C^{2} =$ $15^{2} + 20^{2} =$ $225 + 400 =$ $625$ , deci $P C = 25$ cm.
Nu ai avut nevoie de forma triunghiului $A B C$ : contează doar că $B$ și $C$ sunt în planul pe care $P A$ este perpendiculară.

Răspuns: $P B = 17$ cm, $P C = 25$ cm

EXERCIȚIUL 3Distanța de la un punct la un planușor

Punctul $P$ se află la distanța de $12$ cm de planul $α$ , iar $A$ este piciorul perpendicularei din $P$ pe $α$ . Punctele $B$ și $C$ sunt în planul $α$ , cu $P B = 13$ cm și $A C = 16$ cm. Calculează $A B$ și $P C$ .

Rezolvare pas cu pas

Distanța de la $P$ la plan este lungimea perpendicularei, deci $P A = 12$ cm și $P A ⟂ α$ .
$P A$ este perpendiculară pe dreptele $A B$ și $A C$ , care sunt în $α$ . Triunghiurile $P A B$ și $P A C$ sunt dreptunghice în $A$ .
În $P A B$ , $P B$ este ipotenuza: $A B^{2} =$ $13^{2} - 12^{2} =$ $169 - 144 =$ $25$ , deci $A B = 5$ cm.
În $P A C$ : $P C^{2} =$ $12^{2} + 16^{2} =$ $144 + 256 =$ $400$ , deci $P C = 20$ cm.

Răspuns: $A B = 5$ cm, $P C = 20$ cm

EXERCIȚIUL 4Doi stâlpi verticali pe același terenmediu

Pe un teren plan sunt doi stâlpi verticali $A C = 7$ m și $B D = 3$ m, cu picioarele $A$ și $B$ pe teren, la $3$ m unul de altul. Calculează distanța dintre vârfurile $C$ și $D$ ale stâlpilor.

Rezolvare pas cu pas

Stâlpii verticali sunt perpendiculari pe planul terenului. Două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele, deci $A C ∥ B D$ , iar punctele $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sunt în același plan.
Cum $A B$ este în planul terenului, $A C ⟂ A B$ și $B D ⟂ A B$ . Patrulaterul $A B D C$ este un trapez dreptunghic.
Duci $D E ⟂ A C$ , cu $E$ pe $A C$ . $A B D E$ este dreptunghi, deci $D E = A B = 3$ m și $A E = B D = 3$ m, iar $C E = 7 - 3 = 4$ m.
În triunghiul $C E D$ , dreptunghic în $E$ : $C D^{2} =$ $4^{2} + 3^{2} =$ $25$ , deci $C D = 5$ m.

Răspuns: $C D = 5$ m

EXERCIȚIUL 5Criteriul aplicat într-un paralelipipedmediu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 4$ cm, $B C = 6$ cm și $B B^{'} = 3$ cm. a) Arată că $B C ⟂ (A B B^{'})$ . b) Arată că triunghiul $A^{'} B C$ este dreptunghic și calculează aria lui.

Rezolvare pas cu pas

a) Fața $A B C D$ este dreptunghi, deci $B C ⟂ A B$ . Fața $B C C^{'} B^{'}$ este dreptunghi, deci $B C ⟂ B B^{'}$ .
$A B$ și $B B^{'}$ sunt concurente în $B$ și sunt cuprinse în planul $(A B B^{'})$ . Din criteriu, $B C ⟂ (A B B^{'})$ .
b) Punctul $A^{'}$ este și el în planul $(A B B^{'})$ , deci dreapta $B A^{'}$ este în acest plan și $B C ⟂ B A^{'}$ . Triunghiul $A^{'} B C$ este dreptunghic în $B$ .
Cateta $A^{'} B$ este diagonala dreptunghiului $A B B^{'} A^{'}$ : $A^{'} B^{2} =$ $4^{2} + 3^{2} =$ $25$ , deci $A^{'} B = 5$ cm.
Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $\frac{A^{'} B \cdot B C}{2} =$ $\frac{5 \cdot 6}{2} =$ $15$ cm².

Răspuns: a) $B C ⟂ (A B B^{'})$ ; b) $m (∠ A^{'} B C) =$ $90^{\circ}$ , aria $= 15$ cm²

EXERCIȚIUL 6Segmente oblice egale până la planmediu

Punctul $P$ nu aparține planului triunghiului $A B C$ . Perpendiculara din $P$ pe planul $(A B C)$ are piciorul $O$ , cu $P O = 8$ cm, iar $P A = P B = P C = 10$ cm. a) Arată că $O A = O B = O C$ și calculează această lungime. b) Dacă triunghiul $A B C$ este echilateral, calculează latura lui.

Rezolvare pas cu pas

a) $P O ⟂ (A B C)$ , deci $P O$ este perpendiculară pe $O A$ , $O B$ și $O C$ . Triunghiurile $P O A$ , $P O B$ , $P O C$ sunt dreptunghice în $O$ .
Au cateta $P O$ comună și ipotenuzele egale ( $10$ cm), deci sunt congruente (cazul ipotenuză-catetă). Rezultă $O A = O B = O C$ .
Din Pitagora, $O A^{2} =$ $10^{2} - 8^{2} =$ $100 - 64 =$ $36$ , deci $O A = O B = O C = 6$ cm.
b) $O$ este egal depărtat de vârfurile triunghiului, deci este centrul cercului circumscris, cu raza $R = 6$ cm.
În triunghiul echilateral, $R =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3}$ , de unde $l =$ $\frac{3 R}{\sqrt{3}} =$ $R \sqrt{3} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.

Răspuns: a) $O A = O B = O C = 6$ cm; b) $l = 6 \sqrt{3}$ cm

EXERCIȚIUL 7O perpendiculară nouă, pe o dreaptă care nu trece prin piciorgreu

Triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $8$ cm. Dreapta $D A$ este perpendiculară pe planul $(A B C)$ , $D A = 4$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . a) Arată că $B C ⟂ (D A M)$ . b) Calculează $D M$ și aria triunghiului $D B C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) În triunghiul echilateral, mediana $A M$ este și înălțime: $B C ⟂ A M$ .
Din $D A ⟂ (A B C)$ și $B C \subset (A B C)$ rezultă $B C ⟂ D A$ .
$A M$ și $D A$ sunt concurente în $A$ și determină planul $(D A M)$ . Din criteriu, $B C ⟂ (D A M)$ .
b) $D M$ este în planul $(D A M)$ , deci $B C ⟂ D M$ : $D M$ este înălțimea triunghiului $D B C$ .
$A M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2} =$ $4 \sqrt{3}$ cm. În triunghiul $D A M$ , dreptunghic în $A$ : $D M^{2} = 16 + 48 = 64$ , deci $D M = 8$ cm.
Aria triunghiului $D B C$ : $\frac{B C \cdot D M}{2} =$ $\frac{8 \cdot 8}{2} =$ $32$ cm².

Răspuns: a) $B C ⟂ (D A M)$ ; b) $D M = 8$ cm, aria $D B C = 32$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: diagonala BD în cubgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $4$ cm, iar $O$ este punctul de intersecție al diagonalelor bazei $A B C D$ . a) Arată că $B D ⟂ (A C C^{'})$ . b) Arată că dreptele $B D$ și $A C^{'}$ sunt perpendiculare. c) Calculează lungimea segmentului $C^{'} O$ și aria triunghiului $B D C^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Diagonalele pătratului sunt perpendiculare: $B D ⟂ A C$ . Muchia $C C^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci $C C^{'} ⟂ B D$ .
$A C$ și $C C^{'}$ sunt concurente în $C$ și determină planul $(A C C^{'})$ . Din criteriu, $B D ⟂ (A C C^{'})$ .
b) Punctele $A$ , $C$ , $C^{'}$ , $A^{'}$ sunt în același plan ( $A A^{'} ∥ C C^{'}$ ), deci diagonala $A C^{'}$ a cubului este în planul $(A C C^{'})$ . Rezultă $B D ⟂ A C^{'}$ , deși cele două drepte nu se intersectează.
c) $C^{'} O$ este tot în planul $(A C C^{'})$ , deci $C^{'} O ⟂ B D$ . $O C =$ $\frac{4 \sqrt{2}}{2} =$ $2 \sqrt{2}$ cm, iar triunghiul $C^{'} C O$ este dreptunghic în $C$ : $C^{'} O^{2} = 16 + 8 = 24$ , deci $C^{'} O = 2 \sqrt{6}$ cm.
Aria triunghiului $B D C^{'}$ , cu baza $B D = 4 \sqrt{2}$ cm și înălțimea $C^{'} O$ : $\frac{4 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{6}}{2} =$ $4 \sqrt{12} =$ $8 \sqrt{3}$ cm².
Verificare: $B D$ , $B C^{'}$ și $D C^{'}$ sunt diagonale ale unor pătrate cu latura $4$ cm, deci triunghiul este echilateral cu latura $4 \sqrt{2}$ cm și aria $\frac{32 \sqrt{3}}{4} =$ $8 \sqrt{3}$ cm².

Răspuns: a) $B D ⟂ (A C C^{'})$ ; b) $B D ⟂ A C^{'}$ ; c) $C^{'} O = 2 \sqrt{6}$ cm, aria $B D C^{'} = 8 \sqrt{3}$ cm²

Cum recunoști un exercițiu cu dreaptă perpendiculară pe plan

Enunțul cere „arată că dreapta … este perpendiculară pe planul …”: cauți în plan două drepte concurente pe care dreapta e perpendiculară (laturi de pătrat sau dreptunghi, mediana unui triunghi isoscel, o muchie despre care știi deja că e perpendiculară pe un plan).
Enunțul spune că o dreaptă este perpendiculară pe un plan și cere o lungime: unești piciorul perpendicularei cu punctele din plan și obții triunghiuri dreptunghice cu unghiul drept chiar în picior.
Enunțul cere să arăți că două drepte care nu se intersectează sunt perpendiculare: cauți un plan care o conține pe una dintre ele și pe care cealaltă este perpendiculară.

Greșeli frecvente la dreapta perpendiculară pe plan

Folosești două drepte paralele în locul a două drepte concurente. Criteriul cere drepte concurente din plan. Muchia $A A^{'}$ a cubului este perpendiculară pe $A B$ și pe $D C$ , dar asta singur nu arată nimic, pentru că $A B ∥ D C$ . Ai nevoie de $A B$ și $A D$ , care se taie în $A$ .
Pui unghiul drept în alt vârf decât piciorul perpendicularei. Dacă $P A ⟂ α$ și $B \in α$ , unghiul drept al triunghiului $P A B$ este în $A$ , piciorul perpendicularei. Segmentul $P B$ este ipotenuza, deci este cel mai lung.
Crezi că o dreaptă perpendiculară pe o singură dreaptă din plan este perpendiculară pe plan. În cub, diagonala $A^{'} B$ a unei fețe laterale este perpendiculară pe $B C$ , o dreaptă din planul bazei, dar nu este perpendiculară pe bază. Ai nevoie de a doua dreaptă din plan, concurentă cu prima.

Exersează : dreapta perpendiculară pe plan

Fișă de lucru: Perpendicularitate, dreaptă perpendiculară pe plan, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Dreaptă perpendiculară pe plan, partea a II-aclasa a VIII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre dreapta perpendiculară pe plan

Câte drepte din plan trebuie să verific ca să arăt că o dreaptă este perpendiculară pe plan?

Două, cu condiția să fie concurente. Criteriul de perpendicularitate spune că dreapta este atunci perpendiculară pe întregul plan, deci și pe toate celelalte drepte din el.

Ce este distanța de la un punct la un plan?

Este lungimea segmentului perpendicular dus din punct pe plan, de la punct până la piciorul perpendicularei. Orice alt segment de la punct la plan este mai lung, pentru că este ipotenuză într-un triunghi dreptunghic.

Pot fi perpendiculare două drepte care nu se intersectează?

Da. În spațiu, două drepte sunt perpendiculare dacă unghiul dintre ele este de $90^{\circ}$ , chiar dacă nu au puncte comune. De exemplu, în cub, $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei, deci și pe diagonala $B D$ , deși $A A^{'}$ și $B D$ nu se taie.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. O dreaptă d este perpendiculară pe un plan α dacă și numai dacă:
2. Care este teorema care permite să concluzionăm că o dreaptă este perpendiculară pe un plan?
3. Dreapta d este perpendiculară pe planul α în punctul O. Ce putem afirma despre distanța de la un punct A din α la un punct P de pe d?
4. Dacă dreapta d este perpendiculară pe planul α, atunci orice plan β care conține dreapta d este:
5. Fie dreapta d perpendiculară pe planul α în punctul O, și fie dreapta e cuprinsă în α. Unghiul dintre d și e este: