UNGHI DIEDRU în cub, paralelipiped și piramidă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 1 octombrie 2026

Măsura unui unghi diedru este măsura unghiului plan corespunzător: din același punct al muchiei duci câte o perpendiculară pe muchie în fiecare semiplan, iar unghiul dintre ele îl calculezi într-un triunghi. Mai jos găsești metoda în trei pași și 8 exerciții rezolvate pas cu pas în cub, paralelipiped și piramidă, de la ușor la greu.

Unghiul diedru și unghiul plan corespunzător

Două semiplane care au aceeași dreaptă ca frontieră formează un unghi diedru. Semiplanele sunt fețele diedrului, iar dreapta comună este muchia lui. Diedrul se măsoară printr-un unghi obișnuit, desenat într-un plan:

Muchia este

A B

B C

și

B C^{'}

sunt perpendiculare pe

A B

, fiecare în câte o față, deci

∠ C B C^{'}

este unghiul plan corespunzător.

$m (∠ (α, β)) =$ $m (∠ P O Q),$ $P O ⟂ d,$ $Q O ⟂ d$

Aici $d$ este muchia, $O$ un punct oarecare de pe ea, $O P$ o semidreaptă din prima față și $O Q$ o semidreaptă din a doua față, ambele perpendiculare pe $d$ . Unghiul $P O Q$ este unghiul plan corespunzător diedrului; măsura lui nu depinde de punctul $O$ ales. Unghiul a două plane secante este cel mai mic dintre unghiurile diedre pe care le formează, deci are cel mult $90^{\circ}$ .

Metoda în trei pași, folosită în toate exercițiile de mai jos:

găsești muchia, adică dreapta comună a celor două plane;
alegi pe muchie un punct convenabil (de obicei mijlocul unei laturi sau un vârf) și duci în fiecare plan perpendiculara pe muchie; justifici perpendicularitatea (triunghi isoscel, pătrat, dreaptă perpendiculară pe plan);
calculezi unghiul dintre cele două perpendiculare într-un triunghi, de cele mai multe ori dreptunghic, cu tangenta sau cu valorile pentru $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ , $60^{\circ}$ .

La piramida regulată, unghiul dintre o față laterală și bază este unghiul dintre apotema piramidei și apotema bazei: $∠ V M O$ , unde $M$ este mijlocul unei muchii a bazei și $O$ centrul bazei.

Exerciții rezolvate : unghiul diedru

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Un plan diagonal și baza cubuluiușor

În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , calculează măsura unghiului dintre planele $(A B C)$ și $(A B C^{'} D^{'})$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două plane au în comun dreapta $A B$ : ea este muchia diedrului.
În planul $(A B C)$ , $B C ⟂ A B$ (fețele cubului sunt pătrate).
În planul $(A B C^{'} D^{'})$ , $B C^{'} ⟂ A B$ , pentru că $A B ⟂ (B C C^{'} B^{'})$ și $B C^{'}$ este cuprinsă în acest plan.
Unghiul plan corespunzător este $∠ C B C^{'}$ . Triunghiul $B C C^{'}$ este dreptunghic isoscel ( $B C = C C^{'}$ ), deci $m (∠ C B C^{'}) =$ $45^{\circ}$ .

Răspuns: $45^{\circ}$

EXERCIȚIUL 2Același plan, în paralelipipedușor

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $B C = 6$ cm și $C C^{'} = 6 \sqrt{3}$ cm. Calculează măsura unghiului dintre planele $(A B C^{'} D^{'})$ și $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Muchia comună este $A B$ . Ca la cub, $B C ⟂ A B$ și $B C^{'} ⟂ A B$ , deci unghiul plan este $∠ C B C^{'}$ .
Triunghiul $B C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ , pentru că $C C^{'} ⟂ (A B C)$ .
$tg (∠ C B C^{'}) =$ $\frac{C C^{'}}{B C} =$ $\frac{6 \sqrt{3}}{6} =$ $\sqrt{3}$ .
Unghiul ascuțit cu tangenta $\sqrt{3}$ are $60^{\circ}$ .

Răspuns: $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Fața laterală și baza piramidei patrulateremediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $10$ cm și înălțimea $V O = 5$ cm. Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează măsura unghiului dintre planele $(V B C)$ și $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Muchia comună este $B C$ . Triunghiul $V B C$ este isoscel ( $V B = V C$ ), deci mediana $V M$ este și înălțime: $V M ⟂ B C$ .
În pătrat, $O M$ unește centrul cu mijlocul laturii, deci $O M ⟂ B C$ și $O M =$ $\frac{10}{2} =$ $5$ cm.
Unghiul plan este $∠ V M O$ , iar triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ .
$tg (∠ V M O) =$ $\frac{V O}{O M} =$ $\frac{5}{5} =$ $1$ , deci $m (∠ V M O) =$ $45^{\circ}$ .

Răspuns: $45^{\circ}$

EXERCIȚIUL 4Fața laterală și baza piramidei triunghiularemediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei de $12$ cm și înălțimea $V O = 6$ cm. Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează măsura unghiului dintre o față laterală și planul bazei.

Rezolvare pas cu pas

Alegi fața $(V B C)$ ; muchia comună cu baza este $B C$ . $V M ⟂ B C$ (triunghiul $V B C$ este isoscel) și $A M ⟂ B C$ (mediană în triunghiul echilateral). $O$ se află pe $A M$ .
Unghiul plan este $∠ V M O$ . $O M$ este apotema bazei: $O M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{6} =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{6} =$ $2 \sqrt{3}$ cm.
În triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ : $tg (∠ V M O) =$ $\frac{6}{2 \sqrt{3}} =$ $\frac{3}{\sqrt{3}} =$ $\sqrt{3}$ .
Deci $m (∠ V M O) =$ $60^{\circ}$ . Toate fețele laterale fac același unghi cu baza, pentru că piramida este regulată.

Răspuns: $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 5Drumul invers: din unghi afli înălțimeamediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei de $6$ cm, iar fețele laterale formează cu planul bazei un unghi de $60^{\circ}$ . Calculează înălțimea, apotema și aria laterală a piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Cu $M$ mijlocul lui $B C$ , unghiul dintre $(V B C)$ și bază este $∠ V M O$ , deci $m (∠ V M O) =$ $60^{\circ}$ . $O M =$ $\frac{6}{2} =$ $3$ cm.
Înălțimea: $V O =$ $O M \cdot tg 60^{\circ} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
Apotema: $\cos 60^{\circ} =$ $\frac{O M}{V M}$ , deci $V M =$ $\frac{3}{\frac{1}{2}} =$ $6$ cm.
Aria laterală: patru triunghiuri cu baza $6$ și înălțimea $6$ : $A_{l} =$ $4 \cdot \frac{6 \cdot 6}{2} =$ $72$ cm².

Răspuns: $V O = 3 \sqrt{3}$ cm, $V M = 6$ cm, $A_{l} = 72$ cm²

EXERCIȚIUL 6O dreaptă perpendiculară pe planul unui triunghimediu

Triunghiul echilateral $A B C$ are latura de $6$ cm. Dreapta $D A$ este perpendiculară pe planul $(A B C)$ și $D A = 9$ cm. Punctul $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează măsura unghiului dintre planele $(D B C)$ și $(A B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Muchia comună este $B C$ . În triunghiul echilateral, $A M ⟂ B C$ și $A M =$ $\frac{l \sqrt{3}}{2} =$ $3 \sqrt{3}$ cm.
Triunghiurile $D A B$ și $D A C$ sunt dreptunghice în $A$ , cu $A B = A C$ și $D A$ comună, deci $D B = D C$ . Triunghiul $D B C$ este isoscel, deci $D M ⟂ B C$ .
Unghiul plan este $∠ D M A$ . Triunghiul $D A M$ este dreptunghic în $A$ , pentru că $D A ⟂ (A B C)$ .
$tg (∠ D M A) =$ $\frac{D A}{A M} =$ $\frac{9}{3 \sqrt{3}} =$ $\frac{3}{\sqrt{3}} =$ $\sqrt{3}$ , deci unghiul are $60^{\circ}$ .

Răspuns: $60^{\circ}$

EXERCIȚIUL 7Un unghi care nu este din tabelgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $6$ cm, iar $O$ este punctul de intersecție al diagonalelor bazei $A B C D$ . Calculează tangenta unghiului dintre planele $(A^{'} B D)$ și $(A B D)$ .

Rezolvare pas cu pas

Muchia comună este $B D$ , iar $O$ este mijlocul ei.
În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare: $A O ⟂ B D$ . Triunghiul $A^{'} B D$ are $A^{'} B = A^{'} D$ (diagonale ale unor fețe), deci mediana $A^{'} O$ este și înălțime: $A^{'} O ⟂ B D$ .
Unghiul plan este $∠ A^{'} O A$ . Triunghiul $A^{'} A O$ este dreptunghic în $A$ , cu $A A^{'} = 6$ cm și $A O =$ $\frac{6 \sqrt{2}}{2} =$ $3 \sqrt{2}$ cm.
$tg (∠ A^{'} O A) =$ $\frac{A A^{'}}{A O} =$ $\frac{6}{3 \sqrt{2}} =$ $\frac{2}{\sqrt{2}} =$ $\sqrt{2}$ . Unghiul nu este de $30^{\circ}$ , $45^{\circ}$ sau $60^{\circ}$ , de aceea se cere tangenta lui.

Răspuns: $tg =$ $\sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: două fețe laterale opusegreu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 12$ cm și muchia laterală $V A = 6 \sqrt{3}$ cm. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $B C$ , respectiv $A D$ . a) Arată că înălțimea piramidei este $V O = 6$ cm. b) Calculează măsura unghiului dintre planele $(V B C)$ și $(A B C)$ . c) Arată că planele $(V B C)$ și $(V A D)$ sunt perpendiculare.

Rezolvare pas cu pas

a) $O A$ este jumătate din diagonala pătratului: $O A =$ $\frac{12 \sqrt{2}}{2} =$ $6 \sqrt{2}$ cm. În triunghiul $V O A$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} = 108 - 72 = 36$ , deci $V O = 6$ cm.
b) $V M ⟂ B C$ și $O M ⟂ B C$ , cu $O M = 6$ cm. În triunghiul $V O M$ : $tg (∠ V M O) =$ $\frac{6}{6} =$ $1$ , deci unghiul are $45^{\circ}$ .
c) $B C ∥ A D$ , deci planele $(V B C)$ și $(V A D)$ se intersectează după dreapta $d$ dusă prin $V$ paralel cu $B C$ . Cum $V M ⟂ B C$ și $V N ⟂ A D$ , rezultă $V M ⟂ d$ și $V N ⟂ d$ , deci unghiul plan este $∠ M V N$ .
Ca la punctul b), $m (∠ V M O) =$ $m (∠ V N O) =$ $45^{\circ}$ , iar $M$ , $O$ , $N$ sunt coliniare. În triunghiul $V M N$ : $m (∠ M V N) =$ $180^{\circ} - 45^{\circ} - 45^{\circ} =$ $90^{\circ}$ , deci planele sunt perpendiculare.

Răspuns: a) $V O = 6$ cm; b) $45^{\circ}$ ; c) $m (∠ M V N) =$ $90^{\circ}$ , deci $(V B C) ⟂ (V A D)$

Cum recunoști unghiul plan corespunzător

Cauți întâi muchia: dreapta pe care o au în comun cele două plane. Dacă planele au doar un punct comun vizibil și două drepte paralele, muchia trece prin acel punct, paralel cu ele.
Pentru fiecare plan, cauți un segment perpendicular pe muchie: mediana unui triunghi isoscel, o latură a unui pătrat sau a unui dreptunghi, o dreaptă dintr-un plan perpendicular pe muchie.
Cele două perpendiculare trebuie să plece din același punct al muchiei. Unghiul dintre ele se calculează aproape mereu într-un triunghi dreptunghic.

Greșeli frecvente la unghiul diedru

Iei unghiul dintre două drepte oarecare din cele două plane. Doar perpendicularele pe muchie, duse din același punct, dau unghiul plan. La piramidă, unghiul $∠ V B O$ (cu muchia laterală) nu este unghiul dintre fața laterală și bază; unghiul corect este $∠ V M O$ , cu apotema.
Nu justifici perpendicularitatea pe muchie. La un exercițiu de tip Evaluare Națională, trebuie să spui de ce $V M ⟂ B C$ (triunghi isoscel) și de ce $O M ⟂ B C$ . Fără justificare, unghiul ales poate fi greșit.
Confunzi unghiul diedru cu unghiul dintre o dreaptă și un plan. Unghiul dintre muchia $V A$ și planul bazei este $∠ V A O$ , unghiul unei drepte cu proiecția ei. Unghiul dintre fața $(V B C)$ și bază este diedru și are nevoie de perpendiculare pe muchia $B C$ .

Exersează : unghiul diedru

Fișă de lucru: Unghi diedru, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Plane paralele și perpendiculare, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Unghi diedru, partea a II-aclasa a VIII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre unghiul diedru

Care este diferența dintre unghiul diedru și unghiul a două plane?

Două plane secante formează patru unghiuri diedre, două câte două egale. Unghiul a două plane este cel mai mic dintre ele, deci are cel mult $90^{\circ}$ . Un unghi diedru poate avea și mai mult de $90^{\circ}$ .

Contează din ce punct al muchiei duc perpendicularele?

Nu, măsura unghiului plan este aceeași pentru orice punct al muchiei. Alege punctul care îți ușurează calculul, de obicei mijlocul unei laturi sau un vârf.

Cum aflu unghiul dintre o față laterală și bază la piramida regulată?

Duci apotema piramidei $V M$ și apotema bazei $O M$ , unde $M$ este mijlocul unei muchii a bazei. Unghiul căutat este $∠ V M O$ și îl calculezi în triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ , de obicei cu tangenta: $tg (∠ V M O) =$ $\frac{V O}{O M}$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Cum se numește figura geometrică formată din două semipiane cu aceeași origine (muchie comună)?
2. Care este muchia unui unghi diedru format de planele $α$ și $β$ ?
3. Cum se construiește unghiul plan corespunzător unui unghi diedru cu muchia $d$ ?
4. Dacă unghiul plan corespunzător unui unghi diedru este de $90^{\circ}$ , atunci cele două plane sunt:
5. Unghiul a două plane este egal cu:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 1 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PLANE PERPENDICULARE: unghi diedru drept și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

UNGHIUL DINTRE O DREAPTĂ ȘI UN PLAN: proiecție și calcul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE: enunț, demonstrații și aplicații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

FUNCȚIA MATEMATICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună