VOLUMUL PIRAMIDEI cu orice bază, regulată sau nu - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 28 septembrie 2026

Volumul oricărei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . Formula nu se schimbă de la o bază la alta; se schimbă doar felul în care calculezi aria bazei. Mai jos găsești formula, legătura cu prisma și cubul și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Formula volumului piramidei

Orice piramidă are o bază (un poligon) și un vârf $V$ care nu se află în planul bazei. Înălțimea piramidei este distanța de la vârf la planul bazei: perpendiculara $V O$ coborâtă din $V$ pe planul bazei. Cu aceste două mărimi calculezi volumul, oricare ar fi forma bazei.

Baza poate fi orice poligon. Înălțimea

V O

este distanța de la vârful

V

la planul bazei.

$V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$

Aici $A_{b}$ este aria bazei, iar $h$ este înălțimea. Volumul se măsoară în unități cubice: ${cm}^{3}$ , ${dm}^{3}$ , $m^{3}$ . Pentru capacitate, reții că $1 {dm}^{3} = 1$ litru.

De ce se împarte la 3. O prismă și o piramidă care au aceeași bază și aceeași înălțime nu au același volum: prisma are volumul $A_{b} \cdot h$ , iar piramida doar a treia parte din el. Poți vedea asta într-un cub: cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ se împarte în trei piramide la fel de mari, toate cu vârful în $D^{'}$ , cu bazele $A B C D$ , $A B B^{'} A^{'}$ și $B C C^{'} B^{'}$ .

Aria bazei, pentru bazele des întâlnite ( $l$ este latura):

triunghi echilateral: $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4}$ ;
triunghi dreptunghic cu catetele $c_{1}$ și $c_{2}$ : $A_{b} =$ $\frac{c_{1} \cdot c_{2}}{2}$ ;
pătrat: $A_{b} = l^{2}$ ; dreptunghi cu laturile $L$ și $l$ : $A_{b} = L \cdot l$ ;
hexagon regulat: $A_{b} =$ $\frac{3 l^{2} \sqrt{3}}{2}$ (șase triunghiuri echilaterale).

Unde cade înălțimea. La piramida regulată, piciorul înălțimii este centrul bazei, iar $h$ se află de obicei cu teorema lui Pitagora, din apotema piramidei sau din muchia laterală. Dacă o muchie laterală este perpendiculară pe planul bazei, chiar acea muchie este înălțimea. În toate cazurile, înălțimea nu este o muchie oblică și nici apotema.

Exerciții rezolvate : volumul piramidei

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Baza este un dreptunghiușor

Piramida $V A B C D$ are baza dreptunghiul $A B C D$ , cu $A B = 8$ cm și $B C = 6$ cm. Înălțimea $V O$ , unde $O$ este punctul de intersecție al diagonalelor bazei, are $9$ cm. Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Piramida nu este regulată (baza nu este pătrat), dar formula volumului rămâne aceeași.
Aria bazei: $A_{b} =$ $A B \cdot B C =$ $8 \cdot 6 =$ $48$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3} =$ $\frac{48 \cdot 9}{3} =$ $48 \cdot 3 =$ $144$ cm³.

Răspuns: $V = 144$ cm³

EXERCIȚIUL 2Muchia perpendiculară pe bază este înălțimeaușor

Piramida $V A B C$ are baza triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu catetele $A B = 6$ cm și $A C = 8$ cm. Muchia $V A$ este perpendiculară pe planul bazei și are $10$ cm. Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Cum $V A ⟂ (A B C)$ , distanța de la $V$ la planul bazei este chiar $V A$ , deci $h = 10$ cm.
Baza este un triunghi dreptunghic, deci aria ei este semiprodusul catetelor: $A_{b} =$ $\frac{6 \cdot 8}{2} =$ $24$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{24 \cdot 10}{3} =$ $\frac{240}{3} =$ $80$ cm³.

Răspuns: $V = 80$ cm³

EXERCIȚIUL 3Înălțimea când știi volumulușor

O piramidă are aria bazei de $45$ cm² și volumul de $120$ cm³. a) Calculează înălțimea piramidei. b) O altă piramidă are aceeași bază, dar volumul de două ori mai mare. Ce înălțime are?

Rezolvare pas cu pas

a) Din $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ rezultă $h = \frac{3 V}{A_{b}}$ .
$h =$ $\frac{3 \cdot 120}{45} =$ $\frac{360}{45} =$ $8$ cm.
b) Volumul nou este $2 \cdot 120 = 240$ cm³, deci $h =$ $\frac{3 \cdot 240}{45} =$ $\frac{720}{45} =$ $16$ cm.
Observă: la aceeași bază, volumul crește de atâtea ori de câte ori crește înălțimea.

Răspuns: a) $h = 8$ cm; b) $h = 16$ cm

EXERCIȚIUL 4Vasul-piramidă și vasul-prismămediu

Un vas are forma prismei patrulatere regulate $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu latura bazei de $3$ dm și înălțimea de $4$ dm. Un alt vas are forma piramidei patrulatere regulate $V M N P Q$ , cu baza un pătrat cu latura tot de $3$ dm și aceeași înălțime, $V O = 4$ dm. a) Câți litri încap în fiecare vas? b) De câte ori trebuie golit vasul-piramidă plin în vasul-prismă, ca să-l umple?

Rezolvare pas cu pas

Ambele vase au baza un pătrat cu latura de $3$ dm: $A_{b} = 3^{2} = 9$ dm².
Prisma: $V =$ $A_{b} \cdot h =$ $9 \cdot 4 =$ $36$ dm³, adică $36$ de litri.
Piramida: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3} =$ $\frac{9 \cdot 4}{3} =$ $12$ dm³, adică $12$ litri.
b) $36 : 12 = 3$ , deci vasul-piramidă se golește de $3$ ori. Așa se vede concret de ce în formula piramidei apare împărțirea la 3.

Răspuns: a) $36$ l în prismă, $12$ l în piramidă; b) de $3$ ori

EXERCIȚIUL 5O piramidă ascunsă într-un cubmediu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $9$ cm. Calculează volumul piramidei $D^{'} A B C D$ (vârful $D^{'}$ , baza $A B C D$ ) și arată că este a treia parte din volumul cubului.

Rezolvare pas cu pas

Baza piramidei este fața $A B C D$ a cubului: $A_{b} = 9^{2} = 81$ cm².
Muchia $D D^{'}$ este perpendiculară pe planul $(A B C D)$ , deci înălțimea piramidei este $D D^{'} = 9$ cm.
Volumul piramidei: $V =$ $\frac{81 \cdot 9}{3} =$ $81 \cdot 3 =$ $243$ cm³.
Volumul cubului: $9^{3} = 729$ cm³, iar $729 : 243 = 3$ . Deci piramida ocupă exact a treia parte din cub.

Răspuns: $V = 243$ cm³, iar cubul are $729$ cm³ $= 3 \cdot 243$ cm³

EXERCIȚIUL 6Înălțimea din muchia lateralămediu

Piramida triunghiulară regulată $V A B C$ are latura bazei $A B = 6 \sqrt{3}$ cm și muchia laterală $V A = 10$ cm. Notăm cu $O$ centrul bazei. Calculează înălțimea $V O$ și volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

$O A$ este raza cercului circumscris bazei: $O A =$ $\frac{l \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{6 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} =$ $\frac{18}{3} =$ $6$ cm.
Triunghiul $V O A$ este dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $V A^{2} - O A^{2} =$ $100 - 36 =$ $64$ , deci $V O = 8$ cm.
Aria bazei: $A_{b} =$ $\frac{l^{2} \sqrt{3}}{4} =$ $\frac{108 \sqrt{3}}{4} =$ $27 \sqrt{3}$ cm², pentru că ${(6 \sqrt{3})}^{2} =$ $36 \cdot 3 =$ $108$ .
Volumul: $V =$ $\frac{27 \sqrt{3} \cdot 8}{3} =$ $9 \sqrt{3} \cdot 8 =$ $72 \sqrt{3}$ cm³.

Răspuns: $V O = 8$ cm, $V = 72 \sqrt{3}$ cm³

EXERCIȚIUL 7Latura bazei nu se dăgreu

O piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ are înălțimea $V O = 15$ cm și apotema $V M = 17$ cm, unde $M$ este mijlocul muchiei $B C$ . Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Pentru volum îți trebuie aria bazei, deci latura pătratului. O afli din triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ .
$O M^{2} =$ $V M^{2} - V O^{2} =$ $289 - 225 =$ $64$ , deci $O M = 8$ cm.
$O M$ este apotema bazei, adică jumătate din latură: $A B = 2 \cdot 8 = 16$ cm.
Aria bazei: $A_{b} = 16^{2} = 256$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{256 \cdot 15}{3} =$ $256 \cdot 5 =$ $1280$ cm³.

Răspuns: $V = 1280$ cm³

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: tetraedrul din cubgreu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia de $6$ cm. a) Arată că volumul piramidei $B^{'} A B C$ este de $36$ cm³. b) Arată că toate muchiile tetraedrului $A C B^{'} D^{'}$ au aceeași lungime și calculeaz-o. c) Calculează volumul tetraedrului $A C B^{'} D^{'}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Baza $A B C$ este jumătate din fața $A B C D$ : $A_{b} =$ $\frac{6 \cdot 6}{2} =$ $18$ cm². Înălțimea este $B B^{'} = 6$ cm, pentru că $B B^{'} ⟂ (A B C)$ .
$V_{B^{'} A B C} =$ $\frac{18 \cdot 6}{3} =$ $36$ cm³.
b) Fiecare muchie a tetraedrului ( $A C$ , $A B^{'}$ , $A D^{'}$ , $C B^{'}$ , $C D^{'}$ , $B^{'} D^{'}$ ) este diagonala unei fețe a cubului, adică diagonala unui pătrat cu latura de $6$ cm: $6 \sqrt{2}$ cm.
c) Tetraedrul se obține din cub tăind patru colțuri: piramidele $B^{'} A B C$ , $D^{'} A C D$ , $A A^{'} B^{'} D^{'}$ și $C B^{'} C^{'} D^{'}$ . Fiecare are o bază triunghi dreptunghic cu catetele de $6$ cm și înălțimea de $6$ cm, deci fiecare are $36$ cm³, ca la punctul a).
Volumul cubului este $6^{3} = 216$ cm³, deci $V_{A C B^{'} D^{'}} =$ $216 - 4 \cdot 36 =$ $216 - 144 =$ $72$ cm³, adică a treia parte din cub.

Răspuns: a) $36$ cm³; b) toate muchiile au $6 \sqrt{2}$ cm; c) $72$ cm³

Cum recunoști ce îți trebuie pentru volumul piramidei

Dacă ai aria bazei și înălțimea, aplici direct formula. Dacă ai doar laturile bazei, calculezi întâi aria cu formula potrivită formei ei.
Dacă enunțul dă apotema piramidei sau muchia laterală în loc de înălțime, cauți triunghiul dreptunghic care conține înălțimea și aplici teorema lui Pitagora.
Dacă piramida este desenată într-un cub sau într-o prismă, o muchie a corpului mare este, de obicei, înălțimea piramidei.

Greșeli frecvente la volumul piramidei

Folosești apotema sau muchia laterală ca înălțime. Înălțimea este perpendiculara din vârf pe planul bazei. Apotema $V M$ și muchia $V A$ sunt oblice și sunt mai lungi decât $V O$ .
Uiți împărțirea la 3. Produsul $A_{b} \cdot h$ este volumul prismei cu aceeași bază și înălțime. Piramida are doar o treime din el.
Pui latura bazei în loc de aria bazei. În formulă intră aria: la baza pătrat cu latura de $5$ cm pui $25$ cm², nu $5$ cm. Unitatea finală trebuie să fie cubică.

Exersează : volumul piramidei

Fișă de lucru: Arii și volum, piramida regulată, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Arii și volum, piramida regulatăclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre volumul piramidei

Care este formula volumului piramidei?

$V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ : aria bazei înmulțită cu înălțimea, împărțit la 3. Formula este aceeași pentru piramida triunghiulară, patrulateră, hexagonală sau cu o bază oarecare.

Formula merge și dacă piramida nu este regulată?

Da. Îți trebuie doar aria bazei și distanța de la vârf la planul bazei. Regularitatea te ajută doar să afli mai ușor înălțimea, pentru că piciorul ei este centrul bazei.

Cum transform volumul în litri?

Folosești $1 {dm}^{3} = 1$ litru. Dacă volumul iese în ${cm}^{3}$ , împarți la $1000$ : de exemplu, $3000 {cm}^{3} =$ $3 {dm}^{3} =$ $3$ litri.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este formula ariei laterale a unei piramide regulate cu baza pătrată, unde p este semiperimetrul bazei și a este apotema piramidei?
2. Care este formula volumului unei piramide regulate, unde $A_{b}$ este aria bazei și $h$ este înălțimea piramidei?
3. O piramidă regulată cu baza pătrată are latura bazei $a = 6$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculați volumul piramidei.
4. Care este formula ariei totale a unei piramide regulate?
5. O piramidă regulată triunghiulară are latura bazei $a = 6$ cm și apotema piramidei $a_{p} = 5$ cm. Care este aria laterală?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 28 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

PLANE PERPENDICULARE: unghi diedru drept și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

UNGHIUL DINTRE O DREAPTĂ ȘI UN PLAN: proiecție și calcul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE: enunț, demonstrații și aplicații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

FUNCȚIA MATEMATICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

ARIA LATERALĂ, ARIA TOTALĂ ȘI VOLUMUL CONULUI circular drept - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

VOLUMUL ȘI ARIA SFEREI: formule, emisfera și raza - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 5: Arii și volume ale unor corpuri geometrice

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună