PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Piramida patrulateră regulată are baza un pătrat și vârful deasupra centrului bazei. Aria laterală este $A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2}$ , iar volumul este $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . Mai jos găsești elementele și formulele, cu figură, și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Piramida patrulateră regulată: elemente și formule

Piramida $V A B C D$ este patrulateră regulată dacă baza $A B C D$ este un pătrat, iar piciorul înălțimii din $V$ este centrul $O$ al pătratului (punctul în care se intersectează diagonalele). Atunci toate muchiile laterale sunt egale, iar fețele laterale sunt 4 triunghiuri isoscele congruente.

V O

este înălțimea,

O M

apotema bazei,

V M

apotema piramidei. Triunghiul

V O M

este dreptunghic în

O

Latura bazei: $l = A B$ . Diagonala bazei: $A C = l \sqrt{2}$ .
Înălțimea piramidei: $h = V O$ , perpendiculară pe planul bazei.
Apotema bazei: $a_{b} =$ $O M =$ $\frac{l}{2}$ , unde $M$ este mijlocul lui $B C$ .
Apotema piramidei: $a_{p} = V M$ , înălțimea feței laterale $V B C$ .
Muchia laterală: $m =$ $V A =$ $V B =$ $V C =$ $V D$ .

Triunghiurile dreptunghice importante (în fiecare aplici teorema lui Pitagora):

$△ V O M$ , drept în $O$ : $a_{p}^{2} = h^{2} + a_{b}^{2}$ .
$△ V O C$ , drept în $O$ : $m^{2} = h^{2} + O C^{2}$ , cu $O C =$ $\frac{l \sqrt{2}}{2}$ .
$△ V M C$ , drept în $M$ : $m^{2} =$ $a_{p}^{2} + {(\frac{l}{2})}^{2}$ .

Formule pentru arii și volum ( $P_{b} = 4 l$ este perimetrul bazei):

$A_{b} = l^{2}$

$A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2} =$ $2 l \cdot a_{p}$

$A_{t} = A_{l} + A_{b}$

$V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$

Aria se măsoară în ${cm}^{2}$ , volumul în ${cm}^{3}$ . Pentru piramida cu baza triunghi echilateral vezi piramida triunghiulară regulată.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aria laterală și aria totalăușor

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 10$ cm și apotema $V M = 13$ cm, unde $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează aria bazei, aria laterală și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei (pătrat): $A_{b} =$ $l^{2} =$ $10^{2} =$ $100$ cm².
Perimetrul bazei: $P_{b} =$ $4 \cdot 10 =$ $40$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $\frac{P_{b} \cdot a_{p}}{2} =$ $\frac{40 \cdot 13}{2} =$ $260$ cm².
Verificare: o față laterală are aria $\frac{B C \cdot V M}{2} =$ $\frac{10 \cdot 13}{2} =$ $65$ cm², iar $4 \cdot 65 = 260$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $A_{l} + A_{b} =$ $260 + 100 =$ $360$ cm².

Răspuns: $A_{b} = 100$ cm², $A_{l} = 260$ cm², $A_{t} = 360$ cm²

EXERCIȚIUL 2Volumul din latură și înălțimeușor

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 9$ cm și înălțimea $V O = 10$ cm. Calculează volumul piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} = 9^{2} = 81$ cm².
Volumul: $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3} =$ $\frac{81 \cdot 10}{3} =$ $27 \cdot 10 =$ $270$ cm³.

Răspuns: $V = 270$ cm³

EXERCIȚIUL 3Apotema piramidei cu Pitagoramediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 16$ cm și înălțimea $V O = 6$ cm, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează apotema piramidei $V M$ și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Apotema bazei: $O M =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{16}{2} =$ $8$ cm.
Triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ , deci $V M^{2} =$ $V O^{2} + O M^{2} =$ $36 + 64 =$ $100$ , adică $V M = 10$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $2 l \cdot a_{p} =$ $2 \cdot 16 \cdot 10 =$ $320$ cm².
Aria bazei: $A_{b} = 16^{2} = 256$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $320 + 256 =$ $576$ cm².

Răspuns: $V M = 10$ cm și $A_{t} = 576$ cm²

EXERCIȚIUL 4Muchia lateralămediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 8$ cm și înălțimea $V O = 7$ cm. Calculează lungimea muchiei laterale $V C$ și suma lungimilor tuturor muchiilor piramidei.

Rezolvare pas cu pas

Diagonala bazei: $A C =$ $l \sqrt{2} =$ $8 \sqrt{2}$ cm, deci $O C =$ $\frac{A C}{2} =$ $4 \sqrt{2}$ cm.
Triunghiul $V O C$ este dreptunghic în $O$ : $V C^{2} =$ $V O^{2} + O C^{2} =$ $49 + {(4 \sqrt{2})}^{2} =$ $49 + 32 =$ $81$ .
Deci $V C = 9$ cm.
Piramida are 4 muchii ale bazei și 4 muchii laterale: $4 \cdot 8 + 4 \cdot 9 =$ $32 + 36 =$ $68$ cm.

Răspuns: $V C = 9$ cm, suma muchiilor este 68 cm

EXERCIȚIUL 5Toate muchiile egalemediu

Toate muchiile piramidei patrulatere regulate $V A B C D$ au lungimea de 12 cm. Calculează înălțimea $V O$ , volumul și aria totală a piramidei.

Rezolvare pas cu pas

$A C = 12 \sqrt{2}$ cm, deci $O C = 6 \sqrt{2}$ cm.
În triunghiul $V O C$ , dreptunghic în $O$ : $V O^{2} =$ $V C^{2} - O C^{2} =$ $144 - 72 =$ $72$ , deci $V O =$ $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ cm.
Volumul: $V =$ $\frac{12^{2} \cdot 6 \sqrt{2}}{3} =$ $\frac{144 \cdot 6 \sqrt{2}}{3} =$ $288 \sqrt{2}$ cm³.
Fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale cu latura 12 cm, deci apotema este $a_{p} =$ $\frac{12 \sqrt{3}}{2} =$ $6 \sqrt{3}$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $2 \cdot 12 \cdot 6 \sqrt{3} =$ $144 \sqrt{3}$ cm², iar $A_{t} =$ $144 \sqrt{3} + 144 =$ $144 (\sqrt{3} + 1)$ cm².

Răspuns: $V O = 6 \sqrt{2}$ cm, $V = 288 \sqrt{2}$ cm³, $A_{t} =$ $144 (\sqrt{3} + 1)$ cm²

EXERCIȚIUL 6Înălțimea din volummediu

O piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 14$ cm și volumul $1568$ cm³. Calculează înălțimea $V O$ , apotema $V M$ ( $M$ mijlocul lui $B C$ ) și aria totală.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} = 14^{2} = 196$ cm².
Din $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ : $1568 =$ $\frac{196 \cdot h}{3}$ , deci $196 \cdot h = 4704$ și $h = 4704 : 196 = 24$ cm.
$O M =$ $\frac{14}{2} =$ $7$ cm. În triunghiul $V O M$ , dreptunghic în $O$ : $V M^{2} =$ $24^{2} + 7^{2} =$ $576 + 49 =$ $625$ , deci $V M = 25$ cm.
Aria laterală: $A_{l} =$ $2 \cdot 14 \cdot 25 =$ $700$ cm².
Aria totală: $A_{t} =$ $700 + 196 =$ $896$ cm².

Răspuns: $V O = 24$ cm, $V M = 25$ cm, $A_{t} = 896$ cm²

EXERCIȚIUL 7Pornind de la aria totalăgreu

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei de 18 cm și aria totală de 864 cm². Calculează apotema piramidei, înălțimea și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Aria bazei: $A_{b} = 18^{2} = 324$ cm², deci $A_{l} =$ $A_{t} - A_{b} =$ $864 - 324 =$ $540$ cm².
Din $A_{l} = 2 l \cdot a_{p}$ : $540 =$ $2 \cdot 18 \cdot a_{p} =$ $36 \cdot a_{p}$ , deci $a_{p} = 15$ cm.
Apotema bazei: $a_{b} = 9$ cm. Din triunghiul dreptunghic format de înălțime, apotema bazei și apotema piramidei: $h^{2} =$ $a_{p}^{2} - a_{b}^{2} =$ $225 - 81 =$ $144$ , deci $h = 12$ cm.
Volumul: $V =$ $\frac{324 \cdot 12}{3} =$ $324 \cdot 4 =$ $1296$ cm³.

Răspuns: $a_{p} = 15$ cm, $h = 12$ cm, $V = 1296$ cm³

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate $V A B C D$ , cu latura bazei $A B = 12$ dm și înălțimea $V O = 8$ dm, unde $O$ este centrul bazei. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $B C$ . a) Arată că pânza pentru cele 4 fețe laterale are aria de $2,4$ m². b) Calculează câți litri de aer încap în cort. c) Calculează distanța de la punctul $O$ la planul $(V B C)$ .

H

este piciorul perpendicularei duse din

O

V M

; îl construim la punctul c).

Rezolvare pas cu pas

a) $O M = 6$ dm și triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ : $V M^{2} = 64 + 36 = 100$ , deci $V M = 10$ dm.
$A_{l} =$ $2 \cdot 12 \cdot 10 =$ $240$ dm². Cum $1$ m² $= 100$ dm², $A_{l} = 2,4$ m².
b) $V =$ $\frac{12^{2} \cdot 8}{3} =$ $\frac{144 \cdot 8}{3} =$ $384$ dm³. Cum $1$ dm³ $= 1$ litru, în cort încap 384 de litri de aer.
c) Ducem $O H ⟂ V M$ , cu $H \in V M$ . Avem $B C ⟂ O M$ și $B C ⟂ V O$ (pentru că $V O$ este perpendiculară pe planul bazei). Cum $O M$ și $V O$ sunt concurente în $O$ , rezultă $B C ⟂ (V O M)$ și de aici $B C ⟂ O H$ .
Cum $O H ⟂ V M$ și $O H ⟂ B C$ , iar $V M$ și $B C$ sunt concurente în $M$ , rezultă $O H ⟂ (V B C)$ , deci distanța cerută este $O H$ .
În triunghiul dreptunghic $V O M$ , $O H$ este înălțimea din unghiul drept: $O H =$ $\frac{V O \cdot O M}{V M} =$ $\frac{8 \cdot 6}{10} =$ $4,8$ dm.

Răspuns: a) $A_{l} = 240$ dm² $= 2,4$ m²; b) 384 de litri; c) $d (O, (V B C)) = 4,8$ dm

Cum recunoști un exercițiu pe piramida patrulateră regulată

Enunțul spune „piramidă patrulateră regulată” sau descrie o piramidă cu baza pătrat și vârful deasupra centrului (acoperiș, cort, machetă).
Se dau două dintre mărimile $l$ , $h$ , $a_{p}$ , $m$ și se cere a treia: alegi triunghiul dreptunghic care le conține pe toate trei ( $V O M$ , $V O C$ sau $V M C$ ).
Se cere aria laterală: îți trebuie apotema piramidei. Se cere volumul: îți trebuie înălțimea.

Greșeli frecvente

Confunzi înălțimea cu apotema piramidei. $h = V O$ coboară în centrul bazei, $a_{p} = V M$ coboară pe fața laterală, la mijlocul unei laturi. Aria laterală se calculează cu $a_{p}$ , volumul cu $h$ .
Uiți împărțirea la 3 la volum. Volumul piramidei este o treime din produsul $A_{b} \cdot h$ : $V =$ $\frac{A_{b} \cdot h}{3}$ . Fără împărțire ai calcula volumul unei prisme.
Folosești toată latura în locul jumătății. Apotema bazei este $\frac{l}{2}$ , iar $O C$ este jumătate din diagonală, $\frac{l \sqrt{2}}{2}$ . Dacă pui $l$ sau $l \sqrt{2}$ , Pitagora dă un rezultat greșit.

Exersează

Fișă de lucru: Piramida patrulateră regulată, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Arii și volum, piramida regulatăPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Care este formula volumului piramidei patrulatere regulate?

$V =$ $\frac{l^{2} \cdot h}{3}$ , unde $l$ este latura bazei și $h$ înălțimea. Pentru $l = 6$ cm și $h = 4$ cm, $V = 48$ cm³.

Ce diferență este între apotema bazei și apotema piramidei?

Apotema bazei $O M$ stă în planul bazei și este $\frac{l}{2}$ . Apotema piramidei $V M$ stă pe o față laterală și este ipotenuza triunghiului $V O M$ , deci este mai lungă.

Câte fețe, muchii și vârfuri are piramida patrulateră?

Are 5 fețe (baza și 4 fețe laterale), 8 muchii (4 ale bazei și 4 laterale) și 5 vârfuri.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 4. Piramida patrulateră regulată..

Exersează cu fișa de lucru: Piramida patrulateră regulată — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații definește corect o piramidă patrulateră regulată?
2. Într-o piramidă patrulateră regulată cu latura bazei $a$ și înălțimea $h$ , apotema feței laterale $l$ se calculează cu formula:
3. Aria laterală a unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei $a$ și apotema feței $l$ este:
4. Aria totală a unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei $a$ și apotema feței $l$ este:
5. Volumul unei piramide patrulatere regulate cu latura bazei $a$ și înălțimea $h$ este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 10 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)