Capitolul 3 — Elemente fundamentale ale geometriei în spațiu

Test plane paralele și perpendiculare clasa a VIII-a, cu barem (PDF)

Test de evaluare pe capitol, la matematică: 18 exerciții, 90 de puncte plus 10 din oficiu, 50 de minute. Îl poți printa, iar baremul e mai jos, pe pagină. Rezolvarea completă, pas cu pas, ți-o trimitem gratuit pe email.

📝 Testul, în PDFDescarcă PDF

📝

Deschide testul (PDF)

📖 Rezolvare pas cu pasGratuită, pe email

După ce copilul termină testul, corectați-l împreună cu rezolvarea completă, pas cu pas:

✓Toate cele 18 exerciții rezolvate, nu doar răspunsul final
✓Punctajul pe fiecare pas, ca la corectarea din școală

Ce verifică testul și unde se învață

Dacă un exercițiu iese greșit, reluați lecția video a temei lui. Fiecare exercițiu de mai jos are tema scrisă lângă el.

1Pozițiile relative a două plane. Plane paraleleVezi lecția video →2Secțiuni paralele cu baza. Trunchiul de piramidăVezi lecția video →3Secțiuni diagonale și axialeVezi lecția video →4Plane perpendiculareVezi lecția video →5Unghi diedru. Unghiul a două planeVezi lecția video →

Exercițiile testului

Aceleași exerciții ca în PDF. La grile, se alege o singură variantă.

Subiectul I

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
Două plane distincte care nu au niciun punct comun se numesc:
- a) plane secante
- b) plane perpendiculare
- c) plane paralele
- d) plane confundate
Tema: Pozițiile relative a două plane. Plane paralele
2
În cubul ABCDA′B′C′D′, planul (ABC) este paralel cu planul:
- a) (ABB′)
- b) (A′B′C′)
- c) (BCC′)
- d) (ADD′)
Tema: Pozițiile relative a două plane. Plane paralele
3
O piramidă este secționată cu un plan paralel cu baza. Secțiunea obținută este:
- a) un poligon asemenea cu baza
- b) întotdeauna un triunghi
- c) un poligon congruent cu baza
- d) întotdeauna un dreptunghi
Tema: Secțiuni paralele cu baza. Trunchiul de piramidă
4
În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului diedru format de planele (ABC) și (BCC′) este:
- a) 45°
- b) 60°
- c) 30°
- d) 90°
Tema: Unghi diedru. Unghiul a două plane
5
Secțiunea axială a unui con circular drept este:
- a) un dreptunghi
- b) un triunghi isoscel
- c) un cerc
- d) un trapez isoscel
Tema: Secțiuni diagonale și axiale
6
Dreapta d este perpendiculară pe planul α și este inclusă în planul β. Planele α și β sunt:
- a) paralele
- b) confundate
- c) perpendiculare
- d) fără niciun punct comun
Tema: Plane perpendiculare

Subiectul al II-lea

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

1
Piramida triunghiulară VABC din figura alăturată este secționată cu un plan paralel cu baza, care intersectează muchiile VA, VB și VC în punctele A′, B′, respectiv C′. Dacă VA′ = 4 cm, VA = 12 cm și AB = 9 cm, atunci lungimea segmentului A′B′ este:
- a) 3 cm
- b) 6 cm
- c) 4 cm
- d) 27 cm
Tema: Secțiuni paralele cu baza. Trunchiul de piramidă
2
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor de 10 cm și 4 cm, iar înălțimea de 4 cm. Apotema trunchiului are lungimea:
- a) 7 cm
- b) $2 \sqrt{13}$ cm
- c) 5 cm
- d) $4 \sqrt{2}$ cm
Tema: Secțiuni paralele cu baza. Trunchiul de piramidă
3
În cubul ABCDA′B′C′D′, măsura unghiului dintre planele (A′BC) și (ABC) este:
- a) 30°
- b) 45°
- c) 60°
- d) 90°
Tema: Unghi diedru. Unghiul a două plane
4
Planele α și β sunt paralele, iar planul γ intersectează planul α după dreapta a și planul β după dreapta b. Dreptele a și b sunt:
- a) concurente
- b) necoplanare
- c) perpendiculare
- d) paralele
Tema: Pozițiile relative a două plane. Plane paralele
5
Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 5 cm. Aria secțiunii diagonale ACC′A′ este:
- a) 40 cm²
- b) 50 cm²
- c) 30 cm²
- d) 48 cm²
Tema: Secțiuni diagonale și axiale
6
În cubul ABCDA′B′C′D′, planul (BDD′) este perpendicular pe planul:
- a) (ABB′)
- b) (ADD′)
- c) (ACC′)
- d) (A′BD)
Tema: Plane perpendiculare

Subiectul al III-lea

30 puncte

Scrieți rezolvările complete, cu toate etapele. Fiecare problemă este notată cu 5 puncte.

1
Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 10 cm, iar punctele M, N și P sunt mijloacele muchiilor AA′, BB′, respectiv CC′. Arătați că planele (MNP) și (ABC) sunt paralele și calculați lungimea segmentului MP și distanța dintre cele două plane.
Tema: Pozițiile relative a două plane. Plane paralele
2
Trunchiul de piramidă patrulateră regulată ABCDA′B′C′D′ are laturile bazelor AB = 12 cm și A′B′ = 6 cm, iar apotema trunchiului are 5 cm. Aflați înălțimea trunchiului, lungimea muchiei laterale și înălțimea piramidei din care provine trunchiul.
Tema: Secțiuni paralele cu baza. Trunchiul de piramidă
3
Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = $6 \sqrt{2}$ cm și muchia laterală VA = 10 cm. Aflați perimetrul și aria secțiunii diagonale VAC.
Tema: Secțiuni diagonale și axiale
4
Triunghiurile echilaterale ABC și ABD, cu latura AB = 6 cm, sunt situate în plane perpendiculare, iar M este mijlocul segmentului AB. Arătați că dreapta CM este perpendiculară pe planul (ABD) și calculați lungimea segmentului CD.
Tema: Plane perpendiculare
5
Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 12 cm și înălțimea VO = $6 \sqrt{3}$ cm, unde O este centrul bazei. Aflați măsura unghiului diedru format de planele (VBC) și (ABC) și lungimea apotemei piramidei.
Tema: Unghi diedru. Unghiul a două plane
6
Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 4 cm. Arătați că planele (A′BD) și (ACC′) sunt perpendiculare și calculați distanța de la punctul A la planul (A′BD).
Tema: Plane perpendiculare

Barem de corectare: test plane paralele și perpendiculare clasa a VIII-a

Răspunsul corect la fiecare exercițiu. Pașii cu punctajul intermediar sunt în rezolvarea trimisă pe email.

Deschide baremul

Subiectul I · 30p

1. c) · 5p — Două plane distincte sunt fie secante (au în comun o dreaptă), fie paralele (nu au niciun punct comun). Planele perpendiculare sunt un caz particular de plane secante, iar planele confundate au toate punctele comune.
2. b) · 5p — Planul (ABC) conține fața ABCD, iar fața opusă, A′B′C′D′, se află în planul (A′B′C′). Fețele opuse ale cubului sunt situate în plane paralele. Celelalte trei plane conțin fețe laterale, care intersectează planul bazei.
3. a) · 5p — Un plan paralel cu baza intersectează fețele laterale după segmente paralele cu laturile bazei, deci secțiunea este un poligon asemenea cu baza, cu același număr de laturi. Secțiunea este mai mică decât baza, deci nu este congruentă cu ea.
4. d) · 5p — Muchia diedrului este BC. În planul (ABC), AB ⊥ BC, iar în planul (BCC′), BB′ ⊥ BC. Unghiul plan corespunzător diedrului este unghiul ABB′, care are 90°, deoarece ABB′A′ este pătrat.
5. b) · 5p — Secțiunea axială este determinată de un plan care conține axa conului. Ea are ca laturi două generatoare, care sunt congruente, și un diametru al bazei, deci este un triunghi isoscel. Trapezul isoscel este secțiunea axială a trunchiului de con.
6. c) · 5p — Dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe un alt plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare. Dreapta d intersectează planul α, deci planele au puncte comune și nu pot fi paralele.

Subiectul al II-lea · 30p

1. a) · 5p — Planul (VAB) intersectează planul secțiunii și planul bazei, care sunt paralele, după dreptele A′B′ și AB, deci A′B′ ∥ AB. Din teorema fundamentală a asemănării în triunghiul VAB, $\frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ = $\frac{V A^{'}}{V A}$ = $\frac{4}{12}$ = $\frac{1}{3}$ , deci A′B′ = 9 : 3 = 3 cm.
2. c) · 5p — Fie O și O′ centrele bazelor, M mijlocul unei laturi a bazei mari și M′ mijlocul laturii corespunzătoare a bazei mici. OM = 10 : 2 = 5 cm și O′M′ = 4 : 2 = 2 cm. În trapezul dreptunghic OO′M′M, apotema MM′ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de 4 cm și 5 − 2 = 3 cm, deci MM′ = 5 cm.
3. b) · 5p — Planele se intersectează după dreapta BC. În planul (ABC), AB ⊥ BC. BC ⊥ (ABB′), deci BC ⊥ A′B. Unghiul plan corespunzător este unghiul A′BA, iar triunghiul A′AB este dreptunghic isoscel, deci unghiul are 45°.
4. d) · 5p — Dreptele a și b sunt coplanare, fiind incluse amândouă în planul γ. Ele nu au puncte comune, deoarece planele α și β nu au puncte comune. Două drepte coplanare fără puncte comune sunt paralele.
5. b) · 5p — În triunghiul ABC, dreptunghic în B, AC² = 64 + 36 = 100, deci AC = 10 cm. Secțiunea diagonală ACC′A′ este un dreptunghi cu dimensiunile AC = 10 cm și AA′ = 5 cm, deci aria ei este 10 · 5 = 50 cm². Varianta 40 cm² este aria feței ABB′A′.
6. c) · 5p — AC ⊥ BD, deoarece diagonalele pătratului sunt perpendiculare, și AC ⊥ DD′, deoarece DD′ este perpendiculară pe planul bazei. BD și DD′ sunt concurente în planul (BDD′), deci AC ⊥ (BDD′). Planul (ACC′) conține dreapta AC, deci (ACC′) ⊥ (BDD′). Planele (ABB′) și (ADD′) formează cu (BDD′) unghiuri de 45°.

Subiectul al III-lea · 30p

1. Răspuns: AA′ ⊥ (ABC) și AA′ ⊥ (MNP), deci distanța dintre planele paralele (MNP) și (ABC) este AM = 5 cm · 5p
2. Răspuns: Planul bazei mici este paralel cu baza, deci $\frac{V O^{'}}{V O}$ = $\frac{A^{'} B^{'}}{A B}$ = $\frac{1}{2}$ , adică O′ este mijlocul lui VO; înălțimea piramidei este VO = 2 · 4 = 8 cm · 5p
3. Răspuns: Aria secțiunii este AC · VO : 2 = 12 · 8 : 2 = 48 cm² · 5p
4. Răspuns: În triunghiul CMD, dreptunghic în M: CD² = CM² + DM² = 27 + 27 = 54, deci CD = $\sqrt{54}$ = $3 \sqrt{6}$ cm · 5p
5. Răspuns: Apotema piramidei este VM; cos 60° = $\frac{O M}{V M}$ = $\frac{1}{2}$ , deci VM = 2 · 6 = 12 cm · 5p
6. Răspuns: AE = $\frac{A A^{'} \cdot A O}{A^{'} O}$ = $\frac{4 \cdot 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{6}}$ = $\frac{4}{\sqrt{3}}$ = $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ cm · 5p

Total: 90p + 10p din oficiu = 100 de puncte

Alte teste pe capitol, clasa a VIII-a

📝Test calcul algebric clasa a VIII-aCapitolul 2 — Calcul algebric în ℝ 📝Test corpuri geometrice clasa a VIII-aCapitolul 5 — Arii și volume ale unor corpuri geometrice 📝Test funcții clasa a VIII-aCapitolul 4 — Funcții 📝Test geometrie în spațiu clasa a VIII-aCapitolul 3 — Elemente fundamentale ale geometriei în spațiu 📝Test intervale clasa a VIII-aCapitolul 1 — Intervale de numere reale

Fișe de lucru matematică clasa a VIII-a: exerciții pe fiecare lecție, pentru antrenament înainte de test.Cursul complet: lecții video pentru toată materia de clasa a VIII-a.

Exercițiile greșite au fiecare lecția lor video

Lecții video cu profesori reali, fișe de lucru rezolvate și Profesor AI, pentru toată materia clasei a VIII-a.

Abonează-te!prima lună 5 lei