Școala Virtuală
Capitolul 3 — Elemente fundamentale ale geometriei în spațiu

Test geometrie în spațiu clasa a VIII-a, cu barem (PDF)

Test de evaluare pe capitol, la matematică: 18 exerciții, 90 de puncte plus 10 din oficiu, 50 de minute. Îl poți printa, iar baremul e mai jos, pe pagină. Rezolvarea completă, pas cu pas, ți-o trimitem gratuit pe email.

📝 Testul, în PDFDescarcă PDF
📝
Deschide testul (PDF)
📖 Rezolvare pas cu pasGratuită, pe email

După ce copilul termină testul, corectați-l împreună cu rezolvarea completă, pas cu pas:

  • ✓Toate cele 18 exerciții rezolvate, nu doar răspunsul final
  • ✓Punctajul pe fiecare pas, ca la corectarea din școală

Ce verifică testul și unde se învață

Dacă un exercițiu iese greșit, reluați lecția video a temei lui. Fiecare exercițiu de mai jos are tema scrisă lângă el.

1Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelorVezi lecția video →2Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiuVezi lecția video →3Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un planVezi lecția video →4Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un planVezi lecția video →5Teorema celor trei perpendiculareVezi lecția video →

Exercițiile testului

Aceleași exerciții ca în PDF. La grile, se alege o singură variantă.

Subiectul I

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

  1. 1

    Un plan este determinat de:

    • a) două puncte distincte
    • b) trei puncte necoliniare
    • c) o dreaptă
    • d) trei puncte coliniare
    Tema: Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelor
  2. 2

    Două drepte distincte care nu sunt conținute în același plan se numesc:

    • a) drepte paralele
    • b) drepte concurente
    • c) drepte confundate
    • d) drepte necoplanare
    Tema: Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelor
  3. 3

    O dreaptă și un plan care nu au niciun punct comun sunt:

    • a) dreapta inclusă în plan
    • b) dreapta paralelă cu planul
    • c) dreapta secantă planului
    • d) dreapta perpendiculară pe plan
    Tema: Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelor
  4. 4

    În cubul ABCDA'B'C'D', dreapta A'D' este paralelă cu dreapta:

    • a) AB
    • b) BC
    • c) CC'
    • d) DC
    Tema: Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiu
  5. 5

    Dacă dreapta d este perpendiculară pe planul α, atunci dreapta d este perpendiculară pe:

    • a) o singură dreaptă din planul α
    • b) exact două drepte din planul α
    • c) orice dreaptă din planul α
    • d) nicio dreaptă din planul α
    Tema: Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un plan
  6. 6

    Segmentul AB este perpendicular pe planul α. Proiecția segmentului AB pe planul α este:

    • a) un segment congruent cu AB
    • b) un punct
    • c) o dreaptă
    • d) un segment mai lung decât AB
    Tema: Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Subiectul al II-lea

30 puncte

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. Fiecare item este notat cu 5 puncte.

  1. 1

    În cubul ABCDA'B'C'D', măsura unghiului dreptelor A'B și B'C este:

    Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala A'B a feței din față și diagonala B'C a feței lateraleABCDA′B′C′D′
    • a) 30°
    • b) 45°
    • c) 60°
    • d) 90°
    Tema: Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiu
  2. 2

    Punctul M nu aparține planului α, iar A este un punct din α astfel încât MA ⊥ α. Dacă B este un alt punct din α, MA = 6 cm și AB = 8 cm, atunci lungimea segmentului MB este:

    • a) 10 cm
    • b) 14 cm
    • c) 27 cm
    • d) 12 cm
    Tema: Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un plan
  3. 3

    Segmentul AB are lungimea de 12 cm, iar punctul B aparține planului α. Dreapta AB formează cu planul α un unghi de 60°. Lungimea proiecției segmentului AB pe planul α este:

    • a) 6 cm
    • b) 63 cm
    • c) 12 cm
    • d) 43 cm
    Tema: Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan
  4. 4

    Pe planul pătratului ABCD, cu latura de 6 cm, se ridică perpendiculara MA, cu MA = 8 cm. Distanța de la punctul M la dreapta BC este:

    Pătratul ABCD cu perpendiculara MA ridicată în vârful A pe planul pătratuluiABCDM
    • a) 10 cm
    • b) 8 cm
    • c) 62 cm
    • d) 234 cm
    Tema: Teorema celor trei perpendiculare
  5. 5

    Cubul ABCDA'B'C'D' are muchia de 6 cm. Distanța de la punctul D la planul (ACC') este:

    • a) 6 cm
    • b) 62 cm
    • c) 32 cm
    • d) 3 cm
    Tema: Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un plan
  6. 6

    În cubul ABCDA'B'C'D', dreptele AB și CC' sunt:

    • a) paralele
    • b) concurente
    • c) necoplanare
    • d) confundate
    Tema: Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelor

Subiectul al III-lea

30 puncte

Scrieți rezolvările complete, cu toate etapele. Fiecare problemă este notată cu 5 puncte.

  1. 1

    În cubul ABCDA'B'C'D', aflați măsura unghiului dreptelor A'C' și BC, apoi măsura unghiului dreptelor A'C' și B'C.

    Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala A'C' a bazei de sus și diagonala B'C a feței lateraleABCDA′B′C′D′
    Tema: Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiu
  2. 2

    Segmentul MA este perpendicular pe planul dreptunghiului ABCD, cu AB = 12 cm, BC = 9 cm și MA = 8 cm. Calculați lungimea segmentului MC și distanța de la punctul C la planul (MAB).

    Dreptunghiul ABCD cu segmentul MA perpendicular pe planul săuABCDM
    Tema: Dreapta perpendiculară pe plan. Distanța de la un punct la un plan
  3. 3

    Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' are AB = 16 cm, BC = 12 cm și AA' = 20 cm. Aflați lungimea proiecției segmentului A'C pe planul (ABC) și măsura unghiului dintre dreapta A'C și planul (ABC).

    Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu diagonala A'CABCDA′B′C′D′
    Tema: Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan
  4. 4

    Pe planul triunghiului echilateral ABC, cu latura de 12 cm, se ridică perpendiculara AM, cu AM = 6 cm. Calculați distanța de la punctul M la dreapta BC.

    Triunghiul echilateral ABC cu perpendiculara AM pe planul săuABCM
    Tema: Teorema celor trei perpendiculare
  5. 5

    În cubul ABCDA'B'C'D', arătați că planele (A'BD) și (CB'D') sunt paralele.

    Cubul ABCDA'B'C'D' cu triunghiurile A'BD și CB'D'ABCDA′B′C′D′
    Tema: Punctul, dreapta, planul. Pozițiile relative ale dreptelor și planelor
  6. 6

    Punctele A și B se află de aceeași parte a planului α, iar A' și B' sunt proiecțiile lor pe plan. Știind că AA' = 7 cm, BB' = 3 cm și A'B' = 3 cm, calculați lungimea segmentului AB și distanța de la mijlocul M al segmentului AB la planul α.

    Punctele A și B de aceeași parte a planului α, proiecțiile lor A' și B' și mijlocul M al segmentului ABA′B′ABMα
    Tema: Proiecții pe un plan. Unghiul dintre o dreaptă și un plan

Barem de corectare: test geometrie în spațiu clasa a VIII-a

Răspunsul corect la fiecare exercițiu. Pașii cu punctajul intermediar sunt în rezolvarea trimisă pe email.

Deschide baremul

Subiectul I · 30p

  1. 1. b) · 5p — Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan. Prin două puncte, printr-o dreaptă sau prin trei puncte coliniare trec o infinitate de plane.
  2. 2. d) · 5p — Dreptele paralele și dreptele concurente sunt coplanare. Două drepte care nu se află în același plan sunt necoplanare.
  3. 3. b) · 5p — O dreaptă este paralelă cu un plan atunci când nu are niciun punct comun cu acesta. Dreapta secantă și dreapta perpendiculară au un punct comun cu planul, iar dreapta inclusă are toate punctele în plan.
  4. 4. b) · 5p — A'D' ∥ AD, deoarece ADD'A' este pătrat, iar AD ∥ BC, deoarece ABCD este pătrat. Două drepte paralele cu a treia sunt paralele între ele, deci A'D' ∥ BC.
  5. 5. c) · 5p — Prin definiție, o dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe toate dreptele conținute în acel plan.
  6. 6. b) · 5p — Perpendicularele din A și din B pe planul α sunt chiar dreapta AB, care intersectează planul într-un singur punct. Deci A și B au aceeași proiecție, iar proiecția segmentului este un punct.

Subiectul al II-lea · 30p

  1. 1. c) · 5p — A'BCD' este dreptunghi, deci A'B ∥ D'C. Unghiul dreptelor A'B și B'C este unghiul D'CB'. Segmentele CD', D'B' și B'C sunt diagonale ale unor pătrate congruente, deci triunghiul CB'D' este echilateral și unghiul are 60°.
  2. 2. a) · 5p — MA ⊥ α și AB este inclusă în α, deci MA ⊥ AB. În triunghiul MAB, dreptunghic în A: MB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, deci MB = 10 cm.
  3. 3. a) · 5p — Fie A' proiecția lui A pe α; proiecția segmentului este A'B. Triunghiul AA'B este dreptunghic în A', cu m(∠ABA') = 60°, deci m(∠BAA') = 30°. Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză: A'B = 12 : 2 = 6 cm.
  4. 4. a) · 5p — MA ⊥ (ABC) și AB ⊥ BC, cu AB și BC în planul pătratului. Din teorema celor trei perpendiculare, MB ⊥ BC, deci distanța cerută este MB. În triunghiul MAB, dreptunghic în A: MB² = 64 + 36 = 100, deci MB = 10 cm.
  5. 5. c) · 5p — Fie O centrul pătratului ABCD. DO ⊥ AC (diagonalele pătratului sunt perpendiculare) și DO ⊥ AA' (AA' ⊥ (ABC)), iar AC și AA' sunt concurente în planul (ACC'). Deci DO ⊥ (ACC') și distanța este DO = BD : 2 = 62 : 2 = 32 cm.
  6. 6. c) · 5p — Dreapta CC' intersectează planul (ABC) doar în punctul C, care nu aparține dreptei AB. Dacă AB și CC' ar fi coplanare, planul lor ar coincide cu (ABC) și ar conține pe C', fals. Deci dreptele sunt necoplanare.

Subiectul al III-lea · 30p

  1. 1. Răspuns: m(∠ACB') = 60°, deci unghiul dreptelor A'C' și B'C are 60° · 5p
  2. 2. Răspuns: B aparține planului (MAB), deci distanța de la C la planul (MAB) este CB = 9 cm · 5p
  3. 3. Răspuns: m(∠A'CA) = 45° · 5p
  4. 4. Răspuns: În triunghiul MAD, dreptunghic în A: MD² = MA² + AD² = 36 + 108 = 144, deci MD = 12 cm · 5p
  5. 5. Răspuns: Un plan care conține două drepte concurente paralele cu un alt plan este paralel cu acel plan, deci (A'BD) ∥ (CB'D') · 5p
  6. 6. Răspuns: MM' = (7 + 3) : 2 = 5 cm, deci distanța de la M la planul α este 5 cm · 5p

Total: 90p + 10p din oficiu = 100 de puncte

Alte teste pe capitol, clasa a VIII-a

📝Test calcul algebric clasa a VIII-aCapitolul 2 — Calcul algebric în ℝ📝Test corpuri geometrice clasa a VIII-aCapitolul 5 — Arii și volume ale unor corpuri geometrice📝Test intervale clasa a VIII-aCapitolul 1 — Intervale de numere reale
Fișe de lucru matematică clasa a VIII-a: exerciții pe fiecare lecție, pentru antrenament înainte de test.Cursul complet: lecții video pentru toată materia de clasa a VIII-a.

Exercițiile greșite au fiecare lecția lor video

Lecții video cu profesori reali, fișe de lucru rezolvate și Profesor AI, pentru toată materia clasei a VIII-a.

Abonează-te!prima lună 5 lei