ASIMPTOTA OBLICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a XI-a)

1. Calculăm panta: $m=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x^2-2x}}=$ $1$, pentru că raportul termenilor de grad maxim este ${\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}=1$.
2. Calculăm termenul liber: $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{x^2+3x+2}{x-2}}-x]=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{x^2+3x+2-x(x-2)}{x-2}}=$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{5x+2}{x-2}}=$ $5$.

Răspuns: $y=x+5$

1. $m=$ ${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^2-5x+4}{x^2+2x}}=}$ $1$.
2. $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{x^2-5x+4}{x+2}}-x]=}$ ${\lim }_{x\to -\infty }{\displaystyle \frac{-7x+4}{x+2}}=$ $-7$.
3. Pentru funcțiile raționale ca aceasta, rezultatul e același indiferent dacă mergi spre $+\infty$ sau spre $-\infty$, pentru că la infinit ambele calcule dau aceeași dreaptă.

Răspuns: $y=x-7$

1. $m=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x^2+x}}=}$ $2$.
2. $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{2x^2+x-3}{x+1}}-2x]=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{2x^2+x-3-2x(x+1)}{x+1}}$.
3. Simplificăm numărătorul: $2x^2+x-3-2x^2-2x=$ $-x-3$, deci $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-x-3}{x+1}}=}$ $-1$.

Răspuns: $y=2x-1$

1. Observăm întâi că numărătorul se descompune: $x^2-x-6=$ $(x-3)(x+2)$, deci $f(x)=x+2$ pentru orice $x\ne 3$.
2. Aplicăm formula ca de obicei: $m=1$, iar $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[(x+2)-x]=}$ $2$.
3. Aici restul împărțirii este exact zero, deci graficul funcției COINCIDE cu asimptota $y=x+2$ peste tot, cu excepția punctului $x=3$, unde funcția nici măcar nu este definită. E un caz special, nu regula generală.

Răspuns: $y=x+2$

1. $m=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{3x^2+5x+2}{x^2+2x}}=}$ $3$.
2. $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{3x^2+5x+2}{x+2}}-3x]=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{3x^2+5x+2-3x(x+2)}{x+2}}$.
3. Simplificăm numărătorul: $3x^2+5x+2-3x^2-6x=$ $-x+2$, deci $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{-x+2}{x+2}}=}$ $-1$.

Răspuns: $y=3x-1$

1. Spre $+\infty$: $m=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-6x}}{x}}=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }\sqrt{1-{\displaystyle \frac{6}{x}}}=$ $1$.
2. Amplificăm cu conjugata pentru $n$: $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[\sqrt{x^2-6x}-x]=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{-6x}{\sqrt{x^2-6x}+x}}=$ $-3$.
3. Spre $-\infty$, $\sqrt{x^2}=$ $|x|=$ $-x$, deci panta devine $m=-1$, iar $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }[\sqrt{x^2-6x}+x]=}$ $3$.
4. Funcția are DOUĂ asimptote oblice diferite, una pentru fiecare direcție.

Răspuns: spre $+\infty$: $y=x-3$; spre $-\infty$: $y=-x+3$

1. Împărțim $2x^2-7x+5$ la $2x-3$: primul termen al câtului este $x$, pentru că $x\cdot (2x-3)=$ $2x^2-3x$.
2. Scădem: $(2x^2-7x+5)-(2x^2-3x)=$ $-4x+5$. Al doilea termen al câtului este $-2$, pentru că $-2\cdot (2x-3)=$ $-4x+6$.
3. Scădem din nou: $(-4x+5)-(-4x+6)=$ $-1$. Restul este $-1$, constant, deci tinde spre $0$ împărțit la $2x-3$ când $x\to \infty$.
4. Câtul obținut este chiar asimptota: $y=x-2$.

Răspuns: $y=x-2$

1. Panta funcției este mereu $1$ aici, pentru că gradul numărătorului e cu unu mai mare decât al numitorului și coeficienții dominanți sunt $1$ și $1$; asta se potrivește deja cu panta cerută, $1$.
2. Calculăm termenul liber în funcție de $m$: $n=$ ${\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\lim }[{\displaystyle \frac{x^2+mx+3}{x-1}}-x]=}$ ${\lim }_{x\to +\infty }{\displaystyle \frac{(m+1)x+3}{x-1}}=$ $m+1$.
3. Punem condiția din enunț: $n=$ $5\Rightarrow$ $m+1=$ $5\Rightarrow$ $m=$ $4$.

Răspuns: $m=4$