SUMA LUI GAUSS - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Suma numerelor naturale de la $1$ la $n$ se calculează rapid cu formula lui Gauss: $1 + 2 + \dots + n =$ $\frac{n (n + 1)}{2}$ . Mai jos găsești cele trei metode de calcul și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Formula și metodele sumei lui Gauss

Povestea. Se spune că matematicianul Carl Friedrich Gauss, pe când era elev, a găsit în câteva secunde suma numerelor de la $1$ la $100$ , în loc să le adune pe rând. Ideea lui a devenit o metodă generală, folosită azi pentru orice sumă de numere care cresc cu pas constant.

Metoda 1: gruparea în perechi (metoda lui Gauss). Scrii suma o dată în ordine normală și o dată în ordine inversă, apoi aduni cele două șiruri termen cu termen. Fiecare pereche dă aceeași sumă.

$1 + 2 + \dots + n =$ $\frac{n (n + 1)}{2}$

De exemplu, pentru $1 + 2 + \dots + 10$ : perechile $(1,10),$ $(2,9),$ $(3,8),$ $(4,7),$ $(5,6)$ dau fiecare suma $11$ , iar sunt $5$ perechi, deci suma totală este $5 \cdot 11 = 55$ .

Metoda 2: formula directă. Aplici direct formula $\frac{n (n + 1)}{2}$ , unde $n$ este ultimul termen (și numărul de termeni, dacă șirul pornește de la $1$ ).

Metoda 3: formula sumei unei progresii aritmetice. Când șirul nu pornește de la $1$ sau pasul nu este $1$ , folosești formula generală, unde $a_{1}$ este primul termen, $a_{n}$ este ultimul termen, iar $n$ este numărul de termeni.

$a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} =$ $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$

Cum afli numărul de termeni. Dacă șirul crește din pas în pas cu un număr constant, numărul de termeni se calculează astfel: $n =$ $\frac{a_{n} - a_{1}}{pas} + 1$ . De exemplu, pentru șirul $5, 6, 7, \dots, 15$ , pasul este $1$ , iar numărul de termeni este $\frac{15 - 5}{1} + 1 =$ $11$ . Această formulă e utilă mai ales când numerele nu sunt consecutive și nu poți doar „să numeri din cap”.

Cele trei metode dau întotdeauna același rezultat. Formula directă și formula progresiei sunt, de fapt, aceeași idee scrisă altfel: gruparea în perechi explică de ce funcționează formula, iar formulele sunt drumul rapid spre răspuns, odată ce ai înțeles principiul.

Exerciții rezolvate : suma lui Gauss

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Suma directă cu formulaușor

Calculează $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ .

Rezolvare pas cu pas

Aplicăm formula $\frac{n (n + 1)}{2}$ cu $n = 10$ .
Calculăm: $\frac{10 \cdot 11}{2} =$ $\frac{110}{2} =$ $55$ .

Răspuns: $55$

EXERCIȚIUL 2Suma cu un n mai mareușor

Calculează $1 + 2 + 3 + \dots + 20$ .

Rezolvare pas cu pas

Aplicăm formula cu $n = 20$ .
Calculăm: $\frac{20 \cdot 21}{2} =$ $\frac{420}{2} =$ $210$ .

Răspuns: $210$

EXERCIȚIUL 3Sumă care nu pornește de la 1mediu

Calculează $5 + 6 + 7 + \dots + 15$ .

Rezolvare pas cu pas

Numărăm termenii: de la $5$ la $15$ sunt $15 - 5 + 1 = 11$ termeni.
Folosim formula progresiei aritmetice: $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} =$ $\frac{(5 + 15) \cdot 11}{2}$ .
Calculăm: $\frac{20 \cdot 11}{2} =$ $\frac{220}{2} =$ $110$ .

Răspuns: $110$

EXERCIȚIUL 4Suma numerelor paremediu

Calculează $2 + 4 + 6 + \dots + 50$ .

Rezolvare pas cu pas

Numărul de termeni este $50 : 2 = 25$ (numerele pare de la $2$ la $50$ ).
Folosim formula progresiei: $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} =$ $\frac{(2 + 50) \cdot 25}{2}$ .
Calculăm: $\frac{52 \cdot 25}{2} =$ $\frac{1300}{2} =$ $650$ .

Răspuns: $650$

EXERCIȚIUL 5Suma numerelor imparemediu

Calculează $1 + 3 + 5 + \dots + 49$ .

Rezolvare pas cu pas

Numărul de termeni este $(49 - 1) : 2 + 1 =$ $25$ .
Folosim formula progresiei: $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} =$ $\frac{(1 + 49) \cdot 25}{2}$ .
Calculăm: $\frac{50 \cdot 25}{2} =$ $\frac{1250}{2} =$ $625$ .

Răspuns: $625$

EXERCIȚIUL 6Suma multiplilor lui 7greu

Calculează suma multiplilor lui $7$ de la $7$ la $140$ .

Rezolvare pas cu pas

Numărul de termeni este $140 : 7 = 20$ .
Folosim formula progresiei: $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} =$ $\frac{(7 + 140) \cdot 20}{2}$ .
Calculăm: $\frac{147 \cdot 20}{2} =$ $\frac{2940}{2} =$ $1470$ .

Răspuns: $1470$

EXERCIȚIUL 7Problemă cu rânduri de scaunegreu

Un amfiteatru are $30$ de rânduri de scaune. Pe primul rând sunt $12$ scaune, iar pe fiecare rând următor sunt cu $2$ scaune mai multe decât pe cel anterior. Câte scaune are amfiteatrul în total?

Rezolvare pas cu pas

Numărul de scaune de pe ultimul rând este $12 + 2 \cdot 29 =$ $12 + 58 =$ $70$ , pentru că de la primul la al treizecilea rând sunt $29$ de pași de câte $2$ scaune.
Numărul total de rânduri (termeni) este $30$ .
Aplicăm formula progresiei: $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2} =$ $\frac{(12 + 70) \cdot 30}{2}$ .
Calculăm: $\frac{82 \cdot 30}{2} =$ $\frac{2460}{2} =$ $1230$ .

Răspuns: Amfiteatrul are $1230$ de scaune.

EXERCIȚIUL 8Verificare prin metoda perechilorgreu

Calculează $1 + 2 + 3 + \dots + 16$ prin metoda perechilor, apoi verifică rezultatul cu formula.

Rezolvare pas cu pas

Scriem șirul o dată normal și o dată invers: $(1,16),$ $(2,15),$ $(3,14),$ $\dots,$ $(8,9)$ .
Fiecare pereche are suma $17$ , iar sunt $8$ perechi (jumătate din $16$ ).
Suma este $8 \cdot 17 = 136$ .
Verificăm cu formula: $\frac{16 \cdot 17}{2} =$ $\frac{272}{2} =$ $136$ . Rezultatele coincid.

Răspuns: $136$

Cum recunoști un exercițiu pe suma lui Gauss

Trebuie să aduni un șir lung de numere care cresc cu același pas (toate numerele naturale, doar cele pare, doar cele impare, doar multiplii unui număr).
Enunțul dă primul termen, ultimul termen și eventual pasul dintre termeni, fără să ceară adunarea lor pe rând.
E o problemă din viața reală în care o cantitate crește constant de la un rând/etapă la altul (scaune, cărămizi, trepte).

Greșeli frecvente la suma lui Gauss

Uiți să numeri corect câți termeni are suma. Când șirul nu pornește de la $1$ , numărul de termeni nu este ultimul termen, ci se calculează separat, ca la $5, 6, \dots, 15$ , unde sunt $11$ termeni, nu $15$ .
Aplici formula $\frac{n (n + 1)}{2}$ și la sume care nu pornesc de la 1. Formula simplă e valabilă doar pentru $1 + 2 + \dots + n$ . Pentru orice alt șir, folosești formula generală cu primul și ultimul termen.
Uiți să împarți la 2 la final. Formula sumei este $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ , nu $(a_{1} + a_{n}) \cdot n$ . Împărțirea la $2$ vine din faptul că fiecare pereche a fost numărată o singură dată, nu de două ori.

Exersează : suma lui Gauss

Fișă de lucru: Sume Gauss, cele trei metode, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Fișă de lucru: Ordinea efectuării operațiilor, clasa a V-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Numere naturale, clasa a V-acu barem (PDF)

Din același capitol

Întrebări frecvente despre suma lui Gauss

De unde vine formula lui Gauss?

Din gruparea termenilor în perechi care dau aceeași sumă: primul cu ultimul, al doilea cu penultimul și așa mai departe, apoi înmulțești suma unei perechi cu numărul de perechi.

Formula funcționează și dacă numărul de termeni este impar?

Da. Chiar dacă un termen rămâne fără pereche (cel din mijloc), formula $\frac{n (n + 1)}{2}$ sau $\frac{(a_{1} + a_{n}) \cdot n}{2}$ dă rezultatul corect oricum.

Se aplică metoda și la sume care nu cresc din 1 în 1?

Da, atât timp cât pasul dintre termeni este constant (de exemplu din 2 în 2, sau din 7 în 7), folosești formula generală cu primul și ultimul termen.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 16. Sume Gauss. Cele trei metode de calcul.

Exersează cu fișa de lucru: Sume Gauss — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Gauss a calculat rapid suma numerelor de la 1 la 100 observând că poate forma perechi cu aceeași sumă. Care este suma unei astfel de perechi, de exemplu 1 + 100?
2. Câte astfel de perechi cu suma 101 se pot forma din numerele de la 1 la 100?
3. Care este suma numerelor de la 1 la 100, calculată după metoda lui Gauss?
4. Care este formula pentru suma numerelor naturale consecutive de la 1 la $n$ , descoperită de Gauss?
5. Folosind metoda lui Gauss, calculează suma numerelor de la 1 la 10. Care este rezultatul corect?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 26 iunie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SCRIEREA ȘI CITIREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

COMPARAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ȘIRURI DE NUMERE NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

ADUNAREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

SCĂDEREA NUMERELOR NATURALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

MINUS ÎN FAȚA PARANTEZELOR - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Capitolul 1: Numere naturale

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună