Ultima cifră a unei puteri: metoda ciclurilor explicată

Știai că poți afla ultima cifră a lui  $7^{2025}$  fără să calculezi toată puterea? Fără calculator, fără să înmulțești de 2025 de ori. E unul dintre acele lucruri care par magie la prima vedere — și care, după ce le înțelegi, îți pare incredibil că nu ți le-a explicat nimeni mai devreme. Ultima cifră a unei puteri urmează un tipar fix, care se repetă. Mereu. Indiferent cât de mare e exponentul. Tot ce trebuie să faci e să găsești tiparul și să numeri corect. Asta-i tot secretul. Hai să vedem cum funcționează exact, pas cu pas, cu exemple reale — și îți arăt și greșelile clasice ca să le eviți din prima.

De ce ultima cifră se repetă — și ce înseamnă asta

Hai să facem un experiment simplu. Calculează primele puteri ale lui 2:

$$2^1=2$$ $$2^2=4$$ $$2^3=8$$ $$2^4=16$$ $$2^5=32$$ $$2^6=64$$

Uită-te doar la ultimele cifre: 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6... Se repetă! Din patru în patru. Asta se întâmplă pentru că, când înmulțești, ultima cifră a rezultatului depinde doar de ultima cifră a numărului pe care îl înmulțești — nu de celelalte cifre. Practic, e ca un ceas care se resetează. Ajunge la un punct și o ia de la capăt. Ciclul acesta e cheia întregii metode. Odată ce știi lungimea lui, poți afla ultima cifră a lui  $2^{100}$  sau  $2^{1000}$  la fel de ușor ca a lui  $2^4$ .

Ciclurile pentru fiecare cifră — tabelul pe care să-l știi

Fiecare cifră de la 0 la 9 are propriul ciclu. Unele sunt scurte — cifra 1 are ciclu de lungime 1 (ultima cifră e mereu 1). Altele sunt mai lungi. Uite ce se întâmplă cu fiecare:

Cifra 0:  $0,0,0,\mathrm{0...}$  — ciclu de lungime 1, ultima cifră e mereu 0.

Cifra 1:  $1,1,1,\mathrm{1...}$  — ciclu de lungime 1, ultima cifră e mereu 1.

Cifra 2:  $2,4,8,6,2,4,8,\mathrm{6...}$  — ciclu de lungime 4: {2, 4, 8, 6}.

Cifra 3:  $3,9,7,1,3,9,7,\mathrm{1...}$  — ciclu de lungime 4: {3, 9, 7, 1}.

Cifra 4:  $4,6,4,\mathrm{6...}$  — ciclu de lungime 2: {4, 6}.

Cifra 5:  $5,5,5,\mathrm{5...}$  — ciclu de lungime 1, ultima cifră e mereu 5.

Cifra 6:  $6,6,6,\mathrm{6...}$  — ciclu de lungime 1, ultima cifră e mereu 6.

Cifra 7:  $7,9,3,1,7,9,3,\mathrm{1...}$  — ciclu de lungime 4: {7, 9, 3, 1}.

Cifra 8:  $8,4,2,6,8,4,2,\mathrm{6...}$  — ciclu de lungime 4: {8, 4, 2, 6}.

Cifra 9:  $9,1,9,\mathrm{1...}$  — ciclu de lungime 2: {9, 1}.

De fapt, nu trebuie să memorezi totul pe de rost. E mai simplu să știi să construiești ciclul din cap, înmulțind pe rând și urmărind doar ultima cifră. Durează 20 de secunde.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Care este ultima cifră a lui  $3^{12}$ ? (Răspuns: 1 — ciclul lui 3 are lungimea 4;  $12÷4=3$  rest 0, deci ultima cifră din ciclu {3,9,7,1} → 1)
2. Care este ultima cifră a lui  $8^{47}$ ? (Răspuns: 2 — ciclul lui 8 este {8,4,2,6}, lungime 4;  $47÷4=11$  rest 3, poziția 3 → 2)
3. Care este ultima cifră a lui  ${123}^{2024}$ ? (Răspuns: 1 — ultima cifră a bazei este 3; ciclul lui 3 este {3,9,7,1}, lungime 4;  $2024÷4=506$  rest 0, ultima din ciclu → 1)

Întrebări frecvente