PĂTRATE PERFECTE, ce sunt și cum le recunoști - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

1. $49=7\cdot 7=7^2$, deci $49$ este pătrat perfect.
2. $7^2=49$ și $8^2=64$, iar $49<60<64$. Între două pătrate perfecte consecutive nu mai există altul, deci $60$ nu este pătrat perfect.
3. $81=9^2$ și $144={12}^2$, deci ambele sunt pătrate perfecte.
4. ${12}^2=144$ și ${13}^2=169$, iar $144<150<169$, deci $150$ nu este pătrat perfect.

Răspuns: $49$, $81$ și $144$

1. Un pătrat perfect se termină doar în $0,1,4,5,6$ sau $9$.
2. Ultimele cifre ale numerelor date sunt $2$, $3$, $7$ și $8$.
3. Niciunul nu se termină într-o cifră permisă, deci niciunul nu este pătrat perfect.

Răspuns: Se termină în 2, 3, 7, 8, deci nu sunt pătrate perfecte.

1. $a=$ $2^{10}=$ $2^{5\cdot 2}=$ ${\left(2^5\right)}^2=$ ${32}^2$.
2. $b=$ $7^{2026}=$ $7^{1013\cdot 2}=$ ${\left(7^{1013}\right)}^2$.
3. $c=$ $3^6\cdot 5^4=$ ${\left(3^3\right)}^2\cdot {\left(5^2\right)}^2=$ ${(3^3\cdot 5^2)}^2=$ ${675}^2$.

Răspuns: $a={32}^2$, $b=$ ${\left(7^{1013}\right)}^2$, $c={675}^2$

1. $x=$ $2\cdot 2^{101}=$ $2^{102}$.
2. $102$ este par, deci $x=$ ${\left(2^{51}\right)}^2$.
3. $y=$ $3\cdot 3^{49}=$ $3^{50}=$ ${\left(3^{25}\right)}^2$.

Răspuns: $x=$ ${\left(2^{51}\right)}^2$, $y=$ ${\left(3^{25}\right)}^2$

1. Numărul de termeni: $(99-1):2+1=$ $50$.
2. Cu metoda lui Gauss: $S=$ $(1+99)\cdot 50:2=$ $2500$.
3. $2500=$ $50\cdot 50=$ ${50}^2$, deci $S$ este pătrat perfect.
4. Observă că rezultatul este chiar pătratul numărului de termeni.

Răspuns: $S=2500={50}^2$

1. Ultimele cifre ale puterilor lui 2 se repetă din 4 în 4: $2,4,8,6$.
2. $2026=$ $4\cdot 506+2$, deci $2^{2026}$ are aceeași ultimă cifră ca $2^2$, adică $4$.
3. Ultima cifră a lui $A$ este ultima cifră a lui $4+3=7$.
4. Un pătrat perfect nu se termină în 7, deci $A$ nu este pătrat perfect.

Răspuns: $A$ se termină în 7, deci nu este pătrat perfect.

1. Scriem $7^{2n+1}=$ $7^{2n}\cdot 7$.
2. Dăm factor comun: $B=$ $7^{2n}\cdot (7+9)=$ $7^{2n}\cdot 16$.
3. $7^{2n}=$ ${\left(7^n\right)}^2$ și $16=4^2$.
4. $B=$ ${\left(7^n\right)}^2\cdot 4^2=$ ${(4\cdot 7^n)}^2$, deci $B$ este pătrat perfect.

Răspuns: $B=$ ${(4\cdot 7^n)}^2$

1. Ultima cifră nu ajută: $4^{22}$ se termină în 6, $2^{23}$ se termină în 8, deci $N$ se termină în 4, o cifră permisă.
2. $4^{22}=$ ${\left(2^2\right)}^{22}=$ $2^{44}=$ ${\left(2^{22}\right)}^2$ și $2^{23}=$ $2\cdot 2^{22}$.
3. Notăm $a=2^{22}$. Atunci $N=$ $a\cdot a+2\cdot a$, deci $N>a^2$.
4. Calculăm pătratul următor: $(a+1)\cdot (a+1)=$ $a\cdot a+a+a+1=$ $a\cdot a+2\cdot a+1$.
5. Deci ${(a+1)}^2=N+1$, adică $N<{(a+1)}^2$.
6. Avem $a^2<N<{(a+1)}^2$: $N$ este între două pătrate perfecte consecutive, deci nu este pătrat perfect.

Răspuns: ${\left(2^{22}\right)}^2<N<{(2^{22}+1)}^2$, deci $N$ nu este pătrat perfect.