CILINDRUL CIRCULAR DREPT: arie laterală, arie totală și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 30 septembrie 2026

Pentru un cilindru circular drept cu raza $r$ și înălțimea $h$ : aria laterală este $2 π r h$ , aria totală este $2 π r (r + h)$ , iar volumul este $π r^{2} h$ . Toate calculele pornesc de la cele două mărimi, raza și înălțimea. Mai jos găsești elementele cilindrului, secțiunea axială, desfășurarea și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Elementele și formulele cilindrului circular drept

Cilindrul circular drept are două baze, două discuri egale situate în plane paralele, cu centrele $O$ și $O^{'}$ . Segmentul $O O^{'}$ este perpendicular pe baze și este înălțimea $h$ . O generatoare, de exemplu $A B$ , unește două puncte de pe cercurile bazelor și este paralelă cu $O O^{'}$ ; la cilindrul circular drept, generatoarea este egală cu înălțimea. $O A = r$ este raza bazei.

Înălțimea

O O^{'}

și generatoarea

A B

au aceeași lungime

h

;

O A = r

este raza bazei.

Aria bazei este aria unui disc: $A_{b} = π r^{2}$ .

Aria laterală. Dacă tai suprafața laterală de-a lungul unei generatoare și o întinzi, obții un dreptunghi cu o latură egală cu lungimea cercului bazei, $2 π r$ , și cealaltă egală cu $h$ :

$A_{l} = 2 π r h$

Aria totală adaugă cele două baze:

$A_{t} =$ $A_{l} + 2 A_{b} =$ $2 π r (r + h)$

Volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, ca la prismă:

$V = π r^{2} h$

Secțiunea axială este secțiunea făcută cu un plan care conține axa $O O^{'}$ . Ea este un dreptunghi cu laturile $2 r$ (diametrul bazei) și $h$ . Dacă secțiunea axială este un pătrat, atunci $h = 2 r$ , iar cilindrul se numește echilateral.

Rezultatele se lasă, de obicei, în funcție de $π$ (de exemplu $90 π$ cm³). Aproximezi cu $π \approx 3,14$ doar când enunțul cere un rezultat numeric, de exemplu în litri. Reține: $1 {dm}^{3} = 1$ litru $= 1000 {cm}^{3}$ .

Exerciții rezolvate : cilindrul circular drept

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Toate formulele pe un singur cilindruușor

Un cilindru circular drept are raza $O A = 3$ cm și generatoarea $A B = 10$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul.

Rezolvare pas cu pas

Generatoarea este egală cu înălțimea, deci $r = 3$ cm și $h = 10$ cm.
$A_{l} =$ $2 π r h =$ $2 π \cdot 3 \cdot 10 =$ $60 π$ cm².
$A_{b} = π r^{2} = 9 π$ cm², deci $A_{t} =$ $60 π + 2 \cdot 9 π =$ $78 π$ cm².
$V =$ $π r^{2} h =$ $9 π \cdot 10 =$ $90 π$ cm³.

Răspuns: $A_{l} = 60 π$ cm², $A_{t} = 78 π$ cm², $V = 90 π$ cm³

EXERCIȚIUL 2Enunțul dă diametrulușor

Un cilindru circular drept are diametrul bazei $A B = 8$ cm și generatoarea $B C = 5$ cm. Calculează aria laterală și volumul cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

În formule intră raza, nu diametrul: $r =$ $\frac{A B}{2} =$ $\frac{8}{2} =$ $4$ cm, iar $h = B C = 5$ cm.
$A_{l} =$ $2 π \cdot 4 \cdot 5 =$ $40 π$ cm².
$V =$ $π \cdot 4^{2} \cdot 5 =$ $16 π \cdot 5 =$ $80 π$ cm³.

Răspuns: $A_{l} = 40 π$ cm², $V = 80 π$ cm³

EXERCIȚIUL 3Înălțimea din volumușor

Un cilindru circular drept are volumul $144 π$ cm³ și raza bazei de $4$ cm. Calculează înălțimea și aria laterală.

Rezolvare pas cu pas

Din $V = π r^{2} h$ rezultă $144 π =$ $π \cdot 16 \cdot h$ .
Împarți ambele părți la $16 π$ : $h =$ $\frac{144}{16} =$ $9$ cm.
$A_{l} =$ $2 π \cdot 4 \cdot 9 =$ $72 π$ cm².

Răspuns: $h = 9$ cm, $A_{l} = 72 π$ cm²

EXERCIȚIUL 4Secțiunea axială este un pătratmediu

Secțiunea axială $A B C D$ a unui cilindru circular drept este un pătrat cu aria de $64$ cm². Calculează aria totală și volumul cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

Latura pătratului este $\sqrt{64} = 8$ cm.
Secțiunea axială are laturile $2 r$ și $h$ . Fiind pătrat, $2 r = h = 8$ cm, deci $r = 4$ cm.
$A_{t} =$ $2 π r (r + h) =$ $2 π \cdot 4 \cdot (4 + 8) =$ $2 π \cdot 4 \cdot 12 =$ $96 π$ cm².
$V =$ $π \cdot 16 \cdot 8 =$ $128 π$ cm³.

Răspuns: $A_{t} = 96 π$ cm², $V = 128 π$ cm³

EXERCIȚIUL 5Din desfășurarea suprafeței lateralemediu

Suprafața laterală a unui cilindru circular drept, desfășurată, este un dreptunghi cu lungimea de $10 π$ cm (lungimea cercului bazei) și lățimea de $6$ cm (înălțimea). Calculează raza, aria totală și volumul cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

Lungimea dreptunghiului este lungimea cercului bazei: $2 π r = 10 π$ , deci $r = 5$ cm.
Aria laterală este aria dreptunghiului: $A_{l} =$ $10 π \cdot 6 =$ $60 π$ cm².
$A_{t} =$ $60 π + 2 \cdot 25 π =$ $110 π$ cm².
$V =$ $π \cdot 25 \cdot 6 =$ $150 π$ cm³.

Răspuns: $r = 5$ cm, $A_{t} = 110 π$ cm², $V = 150 π$ cm³

EXERCIȚIUL 6Câți litri încap în vasmediu

Un vas cilindric are raza interioară de $10$ cm și înălțimea de $30$ cm. a) Câți litri de apă încap în vas? ( $π \approx 3,14$ ) b) Câte pahare de $250$ ml se pot umple complet cu apa din vasul plin?

Rezolvare pas cu pas

a) $V =$ $π \cdot 10^{2} \cdot 30 =$ $3000 π$ cm³.
Aproximativ: $3000 \cdot 3,14 =$ $9420$ cm³. Cum $1000$ cm³ $= 1$ litru, în vas încap $9,42$ litri.
b) $250$ ml $= 250$ cm³, iar $9420 : 250 = 37,68$ .
Se pot umple complet $37$ de pahare; apa rămasă nu ajunge pentru al 38-lea.

Răspuns: a) $3000 π \approx 9,42$ litri; b) $37$ de pahare

EXERCIȚIUL 7Raza din diagonala secțiunii axialegreu

Secțiunea axială $A B C D$ a unui cilindru circular drept are diagonala $A C = 10$ cm, iar generatoarea $B C = 8$ cm. Calculează volumul și aria totală a cilindrului.

Rezolvare pas cu pas

Secțiunea axială este un dreptunghi, deci triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $B$ .
Cu teorema lui Pitagora: $A B^{2} =$ $A C^{2} - B C^{2} =$ $100 - 64 =$ $36$ , deci $A B = 6$ cm.
$A B$ este diametrul bazei, deci $r = 3$ cm, iar $h = 8$ cm.
$V =$ $π \cdot 9 \cdot 8 =$ $72 π$ cm³ și $A_{t} =$ $2 π \cdot 3 \cdot (3 + 8) =$ $66 π$ cm².

Răspuns: $V = 72 π$ cm³, $A_{t} = 66 π$ cm²

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: apa mutată în alt vasgreu

Un vas cilindric închis are raza bazei $O A = 10$ cm și înălțimea $A B = 20$ cm. a) Arată că aria totală a vasului este $600 π$ cm². b) Vasul este plin cu apă. Arată că în el sunt aproximativ $6,28$ litri ( $π \approx 3,14$ ). c) Toată apa se toarnă într-un vas în formă de cub cu muchia interioară de $20$ cm. Până la ce înălțime se ridică apa?

Rezolvare pas cu pas

a) $A_{t} =$ $2 π r (r + h) =$ $2 π \cdot 10 \cdot (10 + 20) =$ $600 π$ cm².
b) $V =$ $π \cdot 100 \cdot 20 =$ $2000 π \approx 2000 \cdot 3,14 =$ $6280$ cm³, adică $6,28$ litri.
c) Cubul are volumul $20^{3} = 8000$ cm³, mai mare decât $6280$ cm³, deci apa încape.
Apa din cub formează un paralelipiped cu baza pătratul de latură $20$ cm, cu aria $400$ cm². Înălțimea apei: $6280 : 400 = 15,7$ cm.

Răspuns: a) $600 π$ cm²; b) $6280$ cm³ $= 6,28$ l; c) $15,7$ cm

Cum recunoști ce formulă îți trebuie la cilindru

Enunțul vorbește despre material, tablă, vopsea sau etichetă? Calculezi o arie: laterală (fără capace) sau totală (cu ambele baze).
Enunțul vorbește despre capacitate, apă, litri sau cât încape? Calculezi volumul.
Enunțul dă secțiunea axială sau desfășurarea? Transformi întâi datele în rază și înălțime: secțiunea axială are laturile $2 r$ și $h$ , desfășurarea are laturile $2 π r$ și $h$ .

Greșeli frecvente la cilindrul circular drept

Pui diametrul în locul razei. Dacă enunțul dă diametrul, îl împarți la 2 înainte de orice calcul. Altfel volumul iese de 4 ori mai mare, pentru că raza apare la pătrat.
Aduni o singură bază la aria totală. Cilindrul închis are două baze: $A_{t} = A_{l} + 2 π r^{2}$ . Doar un vas fără capac are o singură bază.
Ridici la pătrat înălțimea în loc de rază. În $V = π r^{2} h$ doar raza este la pătrat. Pentru $r = 4$ și $h = 5$ : $V =$ $π \cdot 16 \cdot 5 =$ $80 π$ , nu $π \cdot 4 \cdot 25$ .

Exersează : cilindrul circular drept

Fișă de lucru: Arii, volum cilindru circular drept, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Corpuri geometrice, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Cilindrul circular drept, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre cilindrul circular drept

Care este diferența dintre generatoare și înălțime la cilindru?

La cilindrul circular drept au aceeași lungime. Înălțimea este segmentul $O O^{'}$ care unește centrele bazelor, iar generatoarea este orice segment de pe suprafața laterală, paralel cu $O O^{'}$ , de exemplu $A B$ .

Las rezultatul cu π sau îl calculez?

Dacă enunțul nu cere altfel, lași rezultatul în funcție de $π$ , de exemplu $80 π$ cm³. Înlocuiești $π \approx 3,14$ doar când ți se cere o valoare aproximativă, de obicei în litri sau în probleme practice.

Ce este secțiunea axială a cilindrului?

Este dreptunghiul obținut când tai cilindrul cu un plan care trece prin axa $O O^{'}$ . Are o latură egală cu diametrul bazei, $2 r$ , și cealaltă egală cu înălțimea $h$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele elemente NU aparține cilindrului circular drept?
2. Un cilindru circular drept are raza bazei $r = 5$ cm și înălțimea $h = 10$ cm. Care este aria laterală a cilindrului?
3. Care este formula ariei totale a unui cilindru circular drept cu raza bazei $r$ și înălțimea $h$ ?
4. Un cilindru circular drept are raza bazei $r = 3$ cm și înălțimea $h = 7$ cm. Care este volumul cilindrului?
5. Desfășurarea laterală a unui cilindru circular drept este un dreptunghi cu dimensiunile egale cu circumferința bazei și cu înălțimea cilindrului. Dacă $r = 4$ cm și $h = 6$ cm, care este aria acestui dreptunghi?