COMPARAREA NUMERELOR REALE cu radicali, fracții și numere negative - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. a) $-\sqrt{6}$ este negativ, iar $\mathrm{0,1}$ este pozitiv. Orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv: $-\sqrt{6}<\mathrm{0,1}$.
2. b) $\pi$ este pozitiv, deci $-\pi$ este negativ și se află la stânga lui $0$: $-\pi <0$.
3. c) $\sqrt{5}$ este pozitiv, iar $-10$ este negativ: $\sqrt{5}>-10$. Nu contează că $10$ „pare” mai mare decât $5$; când semnele diferă, decide semnul.

Răspuns: a) $-\sqrt{6}<\mathrm{0,1}$; b) $-\pi <0$; c) $\sqrt{5}>-10$

1. Toate numerele de sub radical sunt pozitive, deci radicalul păstrează ordinea lor.
2. a) $13<31$, deci $\sqrt{13}<\sqrt{31}$.
3. b) $\mathrm{0,8}=$ $\mathrm{0,80}>\mathrm{0,08}$, deci $\sqrt{\mathrm{0,8}}>\sqrt{\mathrm{0,08}}$.
4. c) Aduci fracțiile la numitorul $12$: ${\displaystyle \frac{2}{3}}=$ ${\displaystyle \frac{8}{12}}$ și ${\displaystyle \frac{3}{4}}=$ ${\displaystyle \frac{9}{12}}$. Cum $8<9$, ${\displaystyle \frac{2}{3}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}$, deci $\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}<\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{4}}}$.

Răspuns: a) $<$; b) $>$; c) $<$

1. a) Scrii $5$ ca radical: $5=$ $\sqrt{5^2}=$ $\sqrt{25}$. Cum $25>24$, $5>\sqrt{24}$.
2. b) $7=\sqrt{49}$, iar $49<50$, deci $7<\sqrt{50}$.
3. c) ${\mathrm{1,5}}^2=\mathrm{2,25}$, deci $\mathrm{1,5}=$ $\sqrt{\mathrm{2,25}}$. Cum $\mathrm{2,25}>2$, $\mathrm{1,5}>\sqrt{2}$.

Răspuns: a) $5>\sqrt{24}$; b) $7<\sqrt{50}$; c) $\mathrm{1,5}>\sqrt{2}$

1. La numere negative compari întâi numerele fără semn, apoi întorci semnul de comparație.
2. a) Fără semn: $\sqrt{15}$ și $4=\sqrt{16}$. Cum $15<16$, $\sqrt{15}<4$. Cu semnul minus ordinea se întoarce: $-\sqrt{15}>-4$.
3. b) Fără semn: ${\mathrm{0,7}}^2=\mathrm{0,49}$, deci $\mathrm{0,7}=$ $\sqrt{\mathrm{0,49}}$. Cum $\mathrm{0,49}<\mathrm{0,5}$, $\mathrm{0,7}<\sqrt{\mathrm{0,5}}$. Întorci: $-\sqrt{\mathrm{0,5}}<-\mathrm{0,7}$.
4. c) $\sqrt{8}<\sqrt{12}$, pentru că $8<12$. Întorci: $-\sqrt{8}>-\sqrt{12}$.
5. Verificare cu sensul pe axă: la fiecare pereche, mai mare este numărul mai apropiat de $0$.

Răspuns: a) $-\sqrt{15}>-4$; b) $-\sqrt{\mathrm{0,5}}<-\mathrm{0,7}$; c) $-\sqrt{8}>-\sqrt{12}$

1. a) Ridici la pătrat cele două zecimi: ${\mathrm{3,3}}^2=\mathrm{10,89}$ și ${\mathrm{3,4}}^2=\mathrm{11,56}$.
2. Cum $\mathrm{10,89}<11<\mathrm{11,56}$, adică $\sqrt{\mathrm{10,89}}<\sqrt{11}<\sqrt{\mathrm{11,56}}$, rezultă $\mathrm{3,3}<\sqrt{11}<\mathrm{3,4}$.
3. b) Încadrarea la zecimi nu ajunge, pentru că $\mathrm{3,35}$ se află tot între $\mathrm{3,3}$ și $\mathrm{3,4}$. Ridici la pătrat: ${\mathrm{3,35}}^2=$ $\mathrm{11,2225}>11$, deci $\sqrt{11}<\mathrm{3,35}$.
4. c) ${\left({\displaystyle \frac{10}{3}}\right)}^2=$ ${\displaystyle \frac{100}{9}}$, iar ${\displaystyle \frac{100}{9}}=$ $11{\displaystyle \frac{1}{9}}>11$. Deci $\sqrt{11}<{\displaystyle \frac{10}{3}}$.

Răspuns: a) se verifică prin pătrate; b) $\sqrt{11}<\mathrm{3,35}$; c) $\sqrt{11}<{\displaystyle \frac{10}{3}}$

1. Grupezi după semn. Negative: $-\sqrt{2}$ și $-\mathrm{1,4}$. Pozitive: $\sqrt{6}$, $\mathrm{2,4}$ și ${\displaystyle \frac{5}{2}}$. Plus $0$.
2. Pozitivele, prin pătrate: ${\mathrm{2,4}}^2=\mathrm{5,76}<6$ și ${\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^2=$ ${\displaystyle \frac{25}{4}}=$ $\mathrm{6,25}>6$. Deci $\mathrm{2,4}<\sqrt{6}<{\displaystyle \frac{5}{2}}$.
3. Negativele: fără semn, ${\mathrm{1,4}}^2=\mathrm{1,96}<2$, deci $\mathrm{1,4}<\sqrt{2}$. Cu minus ordinea se întoarce: $-\sqrt{2}<-\mathrm{1,4}$.
4. Pui șirul cap la cap: negativele, apoi $0$, apoi pozitivele.

Răspuns: $-\sqrt{2}<-\mathrm{1,4}<0<\mathrm{2,4}<\sqrt{6}<{\displaystyle \frac{5}{2}}$

1. a) Încadrezi fiecare radical între pătrate perfecte: $16<20<25$, deci $4<\sqrt{20}<5$ și $-5<-\sqrt{20}<-4$.
2. $25<30<36$, deci $5<\sqrt{30}<6$.
3. Primul întreg mai mare decât $-\sqrt{20}$ este $-4$, iar ultimul întreg mai mic decât $\sqrt{30}$ este $5$. Numerele sunt $-4,$ $-3,$ $-2,$ $-1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$, adică $10$ numere.
4. b) $49<50<64$, deci $7<\sqrt{50}<8$ și $-8<-\sqrt{50}<-7$.
5. Întregii mai mici decât $-\sqrt{50}$ sunt $-8,-9,-10,\dots$. Cel mai mare dintre ei este $-8$. Atenție: $-7$ este mai mare decât $-\sqrt{50}$, deci nu convine.

Răspuns: a) $10$ numere întregi; b) $-8$

1. a) Cum $\pi <\mathrm{3,15}$, ai ${\pi }^2<{\mathrm{3,15}}^2=$ $\mathrm{9,9225}<10$. Două numere pozitive sunt în aceeași ordine ca pătratele lor, deci $\pi <\sqrt{10}$.
2. ${\mathrm{3,2}}^2=$ $\mathrm{10,24}>10$, deci $\sqrt{10}<\mathrm{3,2}$. Ai obținut $\pi <\sqrt{10}<\mathrm{3,2}$.
3. b) Pozitivele le ai deja în ordine din a): $\pi <\sqrt{10}<\mathrm{3,2}$.
4. Negativele sunt $-\sqrt{10}$, $-\pi$ și $-3$. Fără semn: $3<\mathrm{3,14}<\pi$ și, din a), $\pi <\sqrt{10}$, deci $3<\pi <\sqrt{10}$.
5. Cu semnul minus ordinea se întoarce: $-\sqrt{10}<-\pi <-3$.
6. Șirul complet: întâi negativele, de la cel mai departe de $0$ la cel mai apropiat, apoi pozitivele.

Răspuns: a) se verifică prin pătrate; b) $-\sqrt{10}<-\pi <-3<\pi <\sqrt{10}<\mathrm{3,2}$