RADICALUL (rădăcina pătrată) unui număr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. Cauți, pentru fiecare, numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă numărul de sub radical.
2. $7^2=49$, deci $\sqrt{49}=7$; ${11}^2=121$, deci $\sqrt{121}=11$.
3. $0^2=0$ și $1^2=1$, deci $\sqrt{0}=0$ și $\sqrt{1}=1$.
4. ${20}^2=400$, deci $\sqrt{400}=20$.

Răspuns: $7$, $11$, $0$, $1$, $20$

1. $64=8^2$, deci $\sqrt{64}=8$.
2. $90$ este între $9^2=81$ și ${10}^2=100$, deci nu este pătratul unui număr natural.
3. $169={13}^2$, deci $\sqrt{169}=13$.
4. $250$ este între ${15}^2=225$ și ${16}^2=256$, deci nu este pătrat perfect.
5. $324={18}^2$, deci $\sqrt{324}=18$.

Răspuns: $\sqrt{64}=8$, $\sqrt{169}=13$, $\sqrt{324}=18$; $90$ și $250$ nu au radical natural

1. a) $\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{25}}}=$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}}}=$ ${\displaystyle \frac{3}{5}}$.
2. b) $\sqrt{{\displaystyle \frac{49}{64}}}=$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}}=$ ${\displaystyle \frac{7}{8}}$.
3. c) Scrii întâi numărul mixt ca fracție: $1\frac{9}{16}=$ ${\displaystyle \frac{16+9}{16}}=$ ${\displaystyle \frac{25}{16}}$.
4. Apoi $\sqrt{{\displaystyle \frac{25}{16}}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{4}}$. Nu extragi radicalul separat din $1$ și din ${\displaystyle \frac{9}{16}}$.

Răspuns: a) ${\displaystyle \frac{3}{5}}$; b) ${\displaystyle \frac{7}{8}}$; c) ${\displaystyle \frac{5}{4}}$

1. a) $\mathrm{0,36}=$ ${\displaystyle \frac{36}{100}}$, deci $\sqrt{\mathrm{0,36}}=$ ${\displaystyle \frac{6}{10}}=$ $\mathrm{0,6}$.
2. b) $\mathrm{1,44}=$ ${\displaystyle \frac{144}{100}}$, deci $\sqrt{\mathrm{1,44}}=$ ${\displaystyle \frac{12}{10}}=$ $\mathrm{1,2}$.
3. c) $\mathrm{0,0025}=$ ${\displaystyle \frac{25}{10000}}$, deci $\sqrt{\mathrm{0,0025}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{100}}=$ $\mathrm{0,05}$.
4. Verificare: ${\mathrm{0,6}}^2=\mathrm{0,36}$, ${\mathrm{1,2}}^2=\mathrm{1,44}$, ${\mathrm{0,05}}^2=\mathrm{0,0025}$. Rezultatul are jumătate din numărul de zecimale de sub radical.

Răspuns: a) $\mathrm{0,6}$; b) $\mathrm{1,2}$; c) $\mathrm{0,05}$

1. $576=2^6\cdot 3^2$. Toți exponenții sunt pari, deci numărul este pătrat perfect: $576=$ ${(2^3\cdot 3)}^2$.
2. $\sqrt{576}=$ $2^3\cdot 3=$ $8\cdot 3=$ $24$.
3. $1764=$ $2^2\cdot 3^2\cdot 7^2=$ ${(2\cdot 3\cdot 7)}^2$.
4. $\sqrt{1764}=$ $2\cdot 3\cdot 7=$ $42$. Verificare: ${42}^2=1764$.

Răspuns: $\sqrt{576}=24$, $\sqrt{1764}=42$

1. a) $\sqrt{36+64}=$ $\sqrt{100}=$ $10$, dar $\sqrt{36}+\sqrt{64}=$ $6+8=$ $14$.
2. b) ${13}^2-{12}^2=$ $169-144=$ $25$, deci $\sqrt{{13}^2-{12}^2}=$ $\sqrt{25}=$ $5$.
3. În schimb, $\sqrt{{13}^2}-\sqrt{{12}^2}=$ $13-12=$ $1$.
4. Concluzie: radicalul unei sume (sau diferențe) nu este suma (diferența) radicalilor. Calculezi întâi tot ce este sub radical.

Răspuns: a) $10$ și $14$, diferite; b) $5$ și $1$, diferite

1. a) Aria pătratului este $l^2$, deci latura este radicalul ariei: $l_1=$ $\sqrt{\mathrm{2,25}}=$ $\sqrt{{\displaystyle \frac{225}{100}}}=$ ${\displaystyle \frac{15}{10}}=$ $\mathrm{1,5}$ m.
2. Perimetrul: $P_1=$ $4\cdot \mathrm{1,5}=$ $6$ m.
3. b) $l_2=$ $\sqrt{\mathrm{0,81}}=$ $\sqrt{{\displaystyle \frac{81}{100}}}=$ $\mathrm{0,9}$ m.
4. ${\displaystyle \frac{l_1}{l_2}}=$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}}{\mathrm{0,9}}}=$ ${\displaystyle \frac{15}{9}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{3}}$. Observă că ariile sunt în raportul ${\displaystyle \frac{225}{81}}=$ ${\displaystyle \frac{25}{9}}$, iar laturile în raportul radicalilor: ${\displaystyle \frac{5}{3}}$.

Răspuns: a) $\mathrm{1,5}$ m și $6$ m; b) de ${\displaystyle \frac{5}{3}}$ ori

1. a) Dai factor comun: $2^{10}+3\cdot 2^{10}=$ $2^{10}(1+3)=$ $2^{10}\cdot 2^2=$ $2^{12}$. Exponentul este par, deci $\sqrt{2^{12}}=$ $2^6=$ $64$.
2. $9^3={(3^2)}^3=3^6$, deci $\sqrt{9^3}=$ $3^3=$ $27$. Verificare: ${27}^2=729=9^3$.
3. b) $\overline{1x4}$ este între $100$ și $199$. Pătratele perfecte de aici sunt $100,$ $121,$ $144,$ $169,$ $196$.
4. Singurul care are forma $\overline{1x4}$ este $144$, deci $x=4$ și $\sqrt{144}=12$.

Răspuns: a) $64$ și $27$; b) $x=4$, $\sqrt{144}=12$