RADICAL DIN 72 descompus în factori - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 18 septembrie 2026

Ca să descompui radical din 72 cauți cel mai mare pătrat perfect care îl divide: $72 = 36 \cdot 2$ , deci $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ . Mai jos găsești metoda pas cu pas, numerele care se descompun la fel și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum descompui radical din 72

Numărul 72 nu este pătrat perfect, deci $\sqrt{72}$ nu este număr întreg. Îl scrii însă mai simplu, scoțând de sub radical pătratul perfect ascuns în el. Regula folosită este, pentru $a \geq 0$ și $b \geq 0$ :

$\sqrt{a^{2} \cdot b} =$ $a \sqrt{b}$

Cauți cel mai mare pătrat perfect care divide 72. Pătratele perfecte sunt 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, iar cel mai mare care divide 72 este 36:

$72 = 36 \cdot 2$

$\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$

Dacă nu vezi din prima pătratul perfect, descompune numărul în factori primi: $72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ . Grupezi exponenții pari și ai $72 =$ $2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 2$ , deci iese $2 \cdot 3 = 6$ de sub radical. Metoda cu factori primi este mai sigură, pentru că nu trebuie să ghicești nimic: orice factor care apare la putere pară iese, iar ce rămâne stă mai departe sub radical.

Rezultatul $6 \sqrt{2}$ este forma exactă și pe ea o scrii la teză. Aproximarea $8,49$ se folosește doar când problema cere explicit o valoare aproximativă, pentru că $\sqrt{2}$ este număr irațional și are o infinitate de zecimale care nu se repetă.

Numere care se descompun la fel (merită să le știi pe de rost):

$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ , pentru că $8 = 4 \cdot 2$
$\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ , pentru că $18 = 9 \cdot 2$
$\sqrt{32} =$ $4 \sqrt{2}$ , pentru că $32 = 16 \cdot 2$
$\sqrt{50} =$ $5 \sqrt{2}$ , pentru că $50 = 25 \cdot 2$
$\sqrt{75} =$ $5 \sqrt{3}$ , pentru că $75 = 25 \cdot 3$
$\sqrt{98} =$ $7 \sqrt{2}$ , pentru că $98 = 49 \cdot 2$
$\sqrt{128} =$ $8 \sqrt{2}$ , pentru că $128 = 64 \cdot 2$

Toate regulile de calcul cu radicali (produs, cât, putere) sunt adunate în reguli de calcul cu radicali, iar metoda generală, cu greșelile ei, în scoaterea factorilor de sub radical.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Descompunerea lui 72ușor

Scrie numărul $\sqrt{72}$ sub forma $a \sqrt{b}$ , unde $a$ și $b$ sunt numere naturale, iar $b$ este cât mai mic.

Rezolvare pas cu pas

Cauți cel mai mare pătrat perfect care divide 72. Pătratele perfecte până la 72 sunt 4, 9, 16, 25, 36, 49 și 64.
Dintre ele, 36 divide 72, pentru că $72 = 36 \cdot 2$ .
Desfaci radicalul în produs: $\sqrt{72} =$ $\sqrt{36} \cdot \sqrt{2}$ .
Cum $\sqrt{36} = 6$ , obții $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ .
Sub radical a rămas doar 2, care nu se mai poate descompune, deci aceasta este forma finală cerută.

Răspuns: $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 2Numerele care dau tot radical din 2ușor

Scrie sub forma $a \sqrt{b}$ numerele $\sqrt{8}$ , $\sqrt{18}$ și $\sqrt{50}$ .

Rezolvare pas cu pas

$8 = 4 \cdot 2$ , deci $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .
$18 = 9 \cdot 2$ , deci $\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ .
$50 = 25 \cdot 2$ , deci $\sqrt{50} =$ $5 \sqrt{2}$ .
Toate trei au sub radical tot 2, la fel ca $\sqrt{72}$ . De aceea se pot aduna între ele, exact cum aduni termeni asemenea la calculul cu litere.

Răspuns: $2 \sqrt{2}$ , $3 \sqrt{2}$ și $5 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 3Cu descompunerea în factori primimediu

Folosind descompunerea în factori primi, scrie mai simplu numerele $\sqrt{128}$ și $\sqrt{75}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui: $128 = 2^{7}$ .
Scrii exponentul ca număr par plus rest: $128 = 2^{6} \cdot 2$ , iar $2^{6} = 64$ este pătrat perfect.
Deci $\sqrt{128} =$ $8 \sqrt{2}$ , pentru că $\sqrt{64} = 8$ .
Descompui al doilea număr: $75 = 3 \cdot 5^{2}$ , adică $75 = 25 \cdot 3$ .
Deci $\sqrt{75} =$ $5 \sqrt{3}$ . Atenție, aici rămâne $\sqrt{3}$ , nu $\sqrt{2}$ .

Răspuns: $\sqrt{128} =$ $8 \sqrt{2}$ și $\sqrt{75} =$ $5 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 4Adunare și scăderemediu

Calculează $\sqrt{72} + \sqrt{8} - \sqrt{18}$ .

Rezolvare pas cu pas

Descompui fiecare radical: $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ .
$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ și $\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ .
Toți trei au același radical, $\sqrt{2}$ , deci aduni și scazi doar coeficienții: $6 + 2 - 3 = 5$ .
Rezultatul este $5 \sqrt{2}$ .

Răspuns: $5 \sqrt{2}$

EXERCIȚIUL 5Drumul invers și comparareamediu

Arată că $6 \sqrt{2} =$ $\sqrt{72}$ , apoi compară numerele $6 \sqrt{2}$ și $5 \sqrt{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

Introduci factorul sub radical: $6 = \sqrt{36}$ .
Deci $6 \sqrt{2} =$ $\sqrt{36 \cdot 2} =$ $\sqrt{72}$ .
La fel, $5 \sqrt{3} =$ $\sqrt{25 \cdot 3} =$ $\sqrt{75}$ .
Acum compari numerele de sub radical: $72 < 75$ .
Radicalul păstrează ordinea, deci $6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}$ .

Răspuns: $6 \sqrt{2} =$ $\sqrt{72}$ și $6 \sqrt{2} < 5 \sqrt{3}$

EXERCIȚIUL 6Înmulțire și împărțiremediu

Calculează $\sqrt{72} \cdot \sqrt{2}$ , apoi $\sqrt{72} : \sqrt{2}$ și $\sqrt{72} \cdot \sqrt{3}$ .

Rezolvare pas cu pas

La produs intri sub același radical: $\sqrt{72} \cdot \sqrt{2} =$ $\sqrt{144} =$ $12$ .
La cât procedezi la fel: $\sqrt{72} : \sqrt{2} =$ $\sqrt{36} =$ $6$ .
Pentru ultimul: $\sqrt{72} \cdot \sqrt{3} =$ $\sqrt{216}$ .
Descompui $216 = 36 \cdot 6$ , deci $\sqrt{216} =$ $6 \sqrt{6}$ .
Reține ideea: dacă înmulțești sau împarți $\sqrt{72}$ cu $\sqrt{2}$ , numărul iese complet de sub radical, pentru că sub radical rămăsese chiar 2.

Răspuns: 12, 6 și $6 \sqrt{6}$

EXERCIȚIUL 7Pătratul cu aria de 72 cm²greu

Pătratul $A B C D$ are aria de 72 cm². Calculează latura, perimetrul și diagonala $A C$ a pătratului.

Rezolvare pas cu pas

Aria pătratului este $l^{2}$ , deci $l^{2} = 72$ și $l = \sqrt{72}$ .
Descompui: $l = 6 \sqrt{2}$ cm.
Perimetrul: $P =$ $4 l =$ $4 \cdot 6 \sqrt{2} =$ $24 \sqrt{2}$ cm.
Diagonala pătratului este $d = l \sqrt{2}$ .
Deci $d =$ $6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =$ $6 \cdot 2 =$ $12$ cm, un număr natural.
Latura și perimetrul rămân scrise cu radical, pentru că nu sunt numere raționale, iar doar diagonala iese număr întreg.

Răspuns: latura $6 \sqrt{2}$ cm, perimetrul $24 \sqrt{2}$ cm, diagonala 12 cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Arată că numărul $n =$ $(\sqrt{72} + \sqrt{32} - \sqrt{18}) \cdot \sqrt{2}$ este număr natural.

Rezolvare pas cu pas

Descompui fiecare radical din paranteză: $\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ .
$\sqrt{32} =$ $4 \sqrt{2}$ , pentru că $32 = 16 \cdot 2$ .
$\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ , pentru că $18 = 9 \cdot 2$ .
Paranteza devine $(6 + 4 - 3) \sqrt{2} =$ $7 \sqrt{2}$ .
Înmulțești: $n =$ $7 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} =$ $7 \cdot 2 =$ $14$ .
Cum $14 \in ℕ$ , numărul $n$ este natural.

Răspuns: $n = 14$

Cum recunoști un exercițiu pe descompunerea radicalului

Ți se cere să scrii radicalul „sub forma $a \sqrt{b}$ ”, „cât mai simplu” sau „cu $b$ minim”.
Numărul de sub radical nu este pătrat perfect, dar se împarte exact la 4, 9, 16, 25, 36, 49 sau 64.
Apar sume de radicali care par diferiți, ca $\sqrt{72} + \sqrt{8}$ : după descompunere rămâne același radical și termenii se pot aduna.

Greșeli frecvente

Scoți pătratul perfect, nu rădăcina lui. Din $72 = 36 \cdot 2$ iese 6, nu 36, pentru că $\sqrt{36} = 6$ . Forma corectă este $6 \sqrt{2}$ .
Te oprești prea devreme. Dacă alegi $72 = 4 \cdot 18$ obții $2 \sqrt{18}$ , dar $\sqrt{18} =$ $3 \sqrt{2}$ , deci mai ai un pas: $2 \cdot 3 \sqrt{2} =$ $6 \sqrt{2}$ . Sub radical nu trebuie să mai rămână niciun pătrat perfect.
Aduni numerele de sub radical. $\sqrt{72} + \sqrt{8}$ nu este $\sqrt{80}$ . Întâi descompui, apoi aduni coeficienții: $6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} =$ $8 \sqrt{2}$ .

Exersează

Fișă de lucru: Scoaterea factorilor de sub radical, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții cu rezolvări Test: Radicali, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Reguli de calcul cu radicali, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente

Cât este radical din 72?

$\sqrt{72} =$ $6 \sqrt{2}$ . Nu este număr rațional, deci forma exactă este $6 \sqrt{2}$ , iar aproximativ $8,49$ .

De ce se ia 36 și nu 4 sau 9?

Poți lua și 4 sau 9, dar atunci rămâne un pătrat perfect sub radical și mai ai un pas de făcut. Cu cel mai mare pătrat perfect, 36, ajungi direct la forma finală $6 \sqrt{2}$ .

Cum verific dacă am descompus corect?

Introduci factorul la loc sub radical: $6 \sqrt{2} =$ $\sqrt{36 \cdot 2} =$ $\sqrt{72}$ . Dacă obții numărul de la care ai plecat, descompunerea este corectă.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul introducerii factorului $3$ sub radicalul $\sqrt{5}$ ?
2. Introducând factorul $2$ sub radical, $2 \sqrt{7}$ devine:
3. Care dintre expresiile de mai jos este egală cu $5 \sqrt{3}$ , după introducerea factorului sub radical?
4. Ce valoare are $a$ dacă $4 \sqrt{2} = \sqrt{a}$ ?
5. Introducând factorul $\frac{1}{2}$ sub radicalul $\sqrt{8}$ , obținem expresia:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 13 august 2026, actualizat 18 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

REGULI DE CALCUL CU RADICALI recapitulare completă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

SCOATEREA DE SUB RADICAL și introducerea factorilor sub radical - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ADUNAREA ȘI SCĂDEREA NUMERELOR REALE - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună