DETERMINAREA PLANULUI și pozițiile dreptei față de plan - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

1. a) F. Dacă cele trei puncte sunt coliniare, prin ele trec o infinitate de plane. Condiția este ca punctele să fie necoliniare.
2. b) A. Este al doilea mod de determinare a planului.
3. c) A. Două drepte concurente determină un plan, care le conține pe amândouă.
4. d) F. O axiomă spune chiar că există patru puncte care nu sunt în același plan. De exemplu, trei puncte de pe podeaua camerei, care nu sunt pe aceeași dreaptă, și un punct de pe tavan: planul podelei nu trece prin punctul de pe tavan.
5. e) A. Este prima axiomă.

Răspuns: a) F; b) A; c) A; d) F; e) A

1. a) Presupui că trei dintre ele, de exemplu $A$, $B$, $C$, ar fi coliniare. Atunci dreapta lor și punctul $D$ ar determina un plan care ar conține toate cele patru puncte. Dar punctele nu sunt coplanare, deci presupunerea e falsă.
2. b) Drepte: fiecare pereche de puncte dă o dreaptă: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$, adică $6$ drepte.
3. Plane: fiecare grup de trei puncte necoliniare dă un plan: $(ABC)$, $(ABD)$, $(ACD)$, $(BCD)$, adică $4$ plane.
4. Planele sunt distincte: dacă două ar coincide, planul comun ar conține toate cele patru puncte.

Răspuns: $6$ drepte și $4$ plane

1. a) $AB$ și $AD$ sunt concurente în $A$, deci determină un plan: planul bazei, $(ABC)$, care conține și punctul $D$.
2. b) $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt laturi opuse ale pătratului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, deci sunt paralele. Două drepte paralele determină un plan, iar pătratul, fiind o figură plană, este în el: planul feței din față, $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
3. c) $C^{\prime }\notin BC$, deci dreapta și punctul determină un plan. Punctele $B$, $C$, $C^{\prime }$ sunt vârfuri ale feței pătrate $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, iar prin trei puncte necoliniare trece un singur plan, deci acesta este planul feței: $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.
4. d) $B$, $D$, $D^{\prime }$ nu sunt coliniare, deci determină planul $(BD{D}^{\prime })$. Nu este planul unei fețe: $B$ și $D$ sunt vârfuri opuse ale bazei, iar planul trece prin interiorul cubului.

Răspuns: a) $(ABCD)$; b) $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$; c) $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$; d) $(BD{D}^{\prime })$

1. a) $B$ și $C$ sunt ambele în planul $(ABC)$. Două puncte ale dreptei sunt în plan, deci $BC\subset (ABC)$.
2. b) $A$ este în plan, dar $A^{\prime }$ nu (este pe fața de sus). Dreapta are un singur punct comun cu planul: $A{A}^{\prime }\cap (ABC)=$ $\{A\}$.
3. c) $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este o muchie a feței de sus $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Toate punctele ei sunt la înălțimea muchiei cubului deasupra bazei, deci nu are niciun punct comun cu planul bazei: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$.
4. d) Diagonala $A^{\prime }C$ pornește de pe fața de sus și ajunge în vârful $C$ al bazei. Dacă ar avea două puncte în plan, ar fi inclusă și $A^{\prime }$ ar fi în plan, ceea ce nu se întâmplă. Deci $A^{\prime }C\cap (ABC)=$ $\{C\}$.

Răspuns: a) inclusă; b) intersectează planul în $A$; c) paralelă; d) intersectează planul în $C$

1. Oricare trei puncte sunt necoliniare: altfel ele, împreună cu un al patrulea punct, ar fi coplanare. Deci fiecare pereche dă o dreaptă și fiecare grup de trei dă un plan.
2. Drepte: primul punct se alege în $6$ feluri, al doilea în $5$. Fiecare dreaptă a fost numărată de două ori ($AB$ și $BA$): ${\displaystyle \frac{6\cdot 5}{2}}=$ $15$ drepte.
3. Plane: $6\cdot 5\cdot 4=$ $120$ de alegeri ordonate a trei puncte. Același grup apare în $3\cdot 2\cdot 1=$ $6$ ordini ($ABC$, $ACB$, $BAC$, …), deci sunt ${\displaystyle \frac{120}{6}}=20$ de grupe.
4. Planele sunt distincte: dacă două grupe diferite ar da același plan, el ar conține cel puțin patru dintre puncte, ceea ce nu se poate.

Răspuns: $15$ drepte și $20$ de plane

1. Grupele de trei puncte alese doar dintre $A$, $B$, $C$, $D$ dau toate același plan, $\alpha$. Asta înseamnă un singur plan.
2. Grupele care conțin punctul $E$: alegi două puncte dintre $A$, $B$, $C$, $D$: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$, adică $6$ plane: $(EAB)$, $(EAC)$, $(EAD)$, $(EBC)$, $(EBD)$, $(ECD)$.
3. Ele sunt distincte între ele: dacă, de exemplu, $(EAB)$ ar fi același cu $(EAC)$, planul ar conține $A$, $B$, $C$, deci ar fi $\alpha$; dar $E\notin \alpha$. Din același motiv, niciunul nu coincide cu $\alpha$.
4. Total: $1+6=7$ plane.

Răspuns: $7$ plane

1. a) Două drepte paralele determină un plan. Perechile sunt $A{A}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$, $A{A}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$, deci planele $(A{A}^{\prime }{B}^{\prime }B)$, $(B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.
2. Ele sunt distincte: dacă două dintre ele ar coincide, acel plan ar conține toate cele trei drepte, contrar ipotezei. Deci sunt $3$ plane.
3. b) Două drepte concurente determină un plan, iar trei drepte concurente formează tot $3$ perechi.
4. Același raționament arată că cele $3$ plane sunt distincte: altfel cele trei drepte ar fi în același plan.

Răspuns: a) $3$ plane; b) $3$ plane

1. Plane cu patru vârfuri, prin fețe: cubul are $6$ fețe, deci $6$ plane.
2. Plane cu patru vârfuri care taie cubul „pe diagonală”, prin două muchii opuse (care nu sunt pe aceeași față), ca $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sau $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$: fiecare dintre cele $12$ muchii are o singură muchie „opusă” de felul acesta, deci sunt ${\displaystyle \frac{12}{2}}=6$ plane.
3. Plane cu exact trei vârfuri: cele trei vârfuri vecine unui vârf, ca $A^{\prime }$, $B$, $D$, vecinii lui $A$. Câte unul pentru fiecare dintre cele $8$ vârfuri: $8$ plane.
4. Verificare prin numărarea grupelor de câte trei vârfuri: în total sunt ${\displaystyle \frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}}=$ $56$. Un plan cu patru vârfuri conține $4$ grupe, deci cele $12$ plane de acest fel conțin $48$ de grupe; rămân $56-48=8$ grupe, exact cele $8$ plane cu trei vârfuri.
5. Total: $6+6+8=20$ de plane.

Răspuns: $20$ de plane