ECUAȚII DE GRADUL 2 INCOMPLETE fără discriminant - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 8 octombrie 2026

O ecuație de gradul al doilea $a x^{2} + b x + c = 0$ (cu $a \neq 0$ ) este incompletă când $b = 0$ sau $c = 0$ . Dacă lipsește termenul în $x$ , izolezi $x^{2}$ și extragi radicalul; dacă lipsește termenul liber, dai factor comun pe $x$ . Nu ai nevoie de discriminant. Mai jos găsești cele trei tipuri și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele trei tipuri de ecuații incomplete și metoda pentru fiecare

Forma generală a ecuației de gradul al doilea este $a x^{2} + b x + c = 0$ , cu $a \neq 0$ . Termenul $a x^{2}$ nu lipsește niciodată (altfel ecuația n-ar mai fi de gradul al doilea). Ecuația este incompletă când lipsește termenul în $x$ ( $b = 0$ ), termenul liber ( $c = 0$ ) sau amândoi.

Tipul 1: $a x^{2} = 0$ ( $b = 0$ și $c = 0$ ). Împarți la $a$ și obții $x^{2} = 0$ , deci singura soluție este $x = 0$ .

Tipul 2: $a x^{2} + c = 0$ (lipsește termenul în $x$ ). Izolezi $x^{2}$ și ajungi la forma de bază din clasa a VII-a, $x^{2} = număr$ . Numim acest număr $k$ , ca să nu-l confunzi cu coeficientul $a$ :

$x^{2} =$ $k ⟹$ $x =$ $\pm \sqrt{k},$ $dacă k > 0$

dacă $k$ este pozitiv, ecuația are două soluții opuse, $\sqrt{k}$ și $- \sqrt{k}$ ;
dacă $k = 0$ , are o singură soluție, $x = 0$ ;
dacă $k$ este negativ, ecuația nu are soluții reale, pentru că pătratul unui număr real nu e niciodată negativ: $S = ⌀$ .

Tipul 3: $a x^{2} + b x = 0$ (lipsește termenul liber). Dai factor comun pe $x$ și folosești faptul că un produs este zero numai dacă unul dintre factori este zero:

$x (a x + b) =$ $0 ⟹$ $x =$ $0 sau x =$ $- \frac{b}{a}$

Acest tip are mereu două soluții, iar una dintre ele este $0$ . Atenție: nu împarți ecuația la $x$ , pentru că pierzi soluția $x = 0$ .

Dacă ecuația nu este scrisă direct în forma $a x^{2} + b x + c = 0$ (are paranteze, termeni în ambii membri), desfaci parantezele, treci totul într-un membru, reduci termenii asemenea și abia apoi vezi ce tip ai. Singura excepție este pătratul unei paranteze egal cu un număr, ca ${(x - 3)}^{2} = 25$ : acolo nu desfaci, ci tratezi paranteza ca pe $x$ din $x^{2} = k$ .

Exerciții rezolvate : ecuațiile de gradul 2 incomplete

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ecuația x² = a: trei cazuriușor

Rezolvă în $ℝ$ : a) $x^{2} = 81$ ; b) $x^{2} = 0$ ; c) $x^{2} = - 16$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $81 > 0$ , deci ecuația are două soluții: $x =$ $\pm \sqrt{81} =$ $\pm 9$ . Verificare: $9^{2} = 81$ și ${(- 9)}^{2} = 81$ .
b) Singurul număr al cărui pătrat este $0$ este $0$ , deci $x = 0$ .
c) Pătratul oricărui număr real este pozitiv sau zero, deci nu poate fi $- 16$ . Ecuația nu are soluții reale.

Răspuns: a) $S = {- 9, 9}$ ; b) $S = {0}$ ; c) $S = ⌀$

EXERCIȚIUL 2Soluții cu radicali, fracții și zecimaleușor

Rezolvă în $ℝ$ : a) $x^{2} = 20$ ; b) $x^{2} = \frac{4}{9}$ ; c) $x^{2} = 0,25$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $x = \pm \sqrt{20}$ . Scoți factorul de sub radical: $\sqrt{20} =$ $\sqrt{4 \cdot 5} =$ $2 \sqrt{5}$ , deci $x = \pm 2 \sqrt{5}$ .
b) $x =$ $\pm \sqrt{\frac{4}{9}} =$ $\pm \frac{2}{3}$ .
c) $0,25 =$ $\frac{25}{100}$ , deci $x =$ $\pm \frac{5}{10} =$ $\pm 0,5$ .

Răspuns: a) $\pm 2 \sqrt{5}$ ; b) $\pm \frac{2}{3}$ ; c) $\pm 0,5$

EXERCIȚIUL 3Lipsește termenul în xușor

Rezolvă în $ℝ$ : a) $3 x^{2} - 48 = 0$ ; b) $5 x^{2} + 20 = 0$ ; c) $2 x^{2} - 14 = 0$ ; d) $- 7 x^{2} = 0$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Treci termenul liber în dreapta: $3 x^{2} = 48$ , apoi împarți la $3$ : $x^{2} = 16$ , deci $x = \pm 4$ .
b) $5 x^{2} = - 20$ , deci $x^{2} = - 4$ . Un pătrat nu poate fi negativ, deci ecuația nu are soluții reale.
c) $2 x^{2} = 14$ , $x^{2} = 7$ . Cum $7$ nu este pătrat perfect, lași soluțiile cu radical: $x = \pm \sqrt{7}$ .
d) Împarți la $- 7$ : $x^{2} = 0$ , deci $x = 0$ .

Răspuns: a) ${- 4, 4}$ ; b) $⌀$ ; c) ${- \sqrt{7},$ $\sqrt{7}}$ ; d) ${0}$

EXERCIȚIUL 4Lipsește termenul liber: factor comun pe xmediu

Rezolvă în $ℝ$ : a) $x^{2} - 7 x = 0$ ; b) $4 x^{2} + 10 x = 0$ ; c) $\sqrt{3} x^{2} - 6 x = 0$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $x (x - 7) = 0$ . Un produs este zero dacă un factor este zero: $x = 0$ sau $x - 7 = 0$ , adică $x = 7$ .
b) $x (4 x + 10) = 0$ , deci $x = 0$ sau $4 x + 10 = 0$ , adică $x =$ $- \frac{10}{4} =$ $- \frac{5}{2}$ .
c) $x (\sqrt{3} x - 6) = 0$ , deci $x = 0$ sau $\sqrt{3} x = 6$ , adică $x =$ $\frac{6}{\sqrt{3}}$ .
Raționalizezi: $\frac{6}{\sqrt{3}} =$ $\frac{6 \sqrt{3}}{3} =$ $2 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) ${0, 7}$ ; b) ${- \frac{5}{2}, 0}$ ; c) ${0, 2 \sqrt{3}}$

EXERCIȚIUL 5Pătratul unei paranteze egal cu un numărmediu

Rezolvă în $ℝ$ : a) ${(x - 3)}^{2} = 25$ ; b) ${(2 x + 1)}^{2} = 49$ .

Rezolvare pas cu pas

Aici nu desfaci paranteza: ai obține $x^{2} - 6 x - 16 = 0$ , o ecuație completă. O tratezi ca pe o singură necunoscută: dacă $y^{2} = 25$ , atunci $y = \pm 5$ .
a) $x - 3 = 5$ sau $x - 3 = - 5$ , deci $x = 8$ sau $x = - 2$ .
b) $2 x + 1 = 7$ sau $2 x + 1 = - 7$ . Din prima: $2 x = 6$ , $x = 3$ ; din a doua: $2 x = - 8$ , $x = - 4$ .
Verificare: ${(8 - 3)}^{2} = 25$ , ${(- 2 - 3)}^{2} = 25$ , ${(2 \cdot 3 + 1)}^{2} =$ $49$ , ${(2 \cdot (- 4) + 1)}^{2} =$ ${(- 7)}^{2} =$ $49$ .

Răspuns: a) ${- 2, 8}$ ; b) ${- 4, 3}$

EXERCIȚIUL 6Ecuația ascunsă: aduci întâi la forma generalămediu

Rezolvă în $ℝ$ : a) ${(x + 3)}^{2} = 6 x + 25$ ; b) $(x - 2) (x + 2) =$ $3 x - 4$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Desfaci pătratul: $x^{2} + 6 x + 9 =$ $6 x + 25$ . Treci totul în stânga: $x^{2} + 6 x - 6 x + 9 - 25 =$ $0$ , adică $x^{2} - 16 = 0$ .
Termenul în $x$ s-a redus, deci e tipul 2: $x^{2} = 16$ , $x = \pm 4$ .
b) Folosești formula diferenței de pătrate: $x^{2} - 4 = 3 x - 4$ . Treci totul în stânga: $x^{2} - 3 x = 0$ .
Acum lipsește termenul liber, deci e tipul 3: $x (x - 3) = 0$ , $x = 0$ sau $x = 3$ .

Răspuns: a) ${- 4, 4}$ ; b) ${0, 3}$

EXERCIȚIUL 7Probleme: păstrezi doar soluțiile care au sensgreu

a) Pătratul unui număr real este egal cu triplul numărului. Care pot fi numerele? b) Un triunghi dreptunghic isoscel are ipotenuza de $10$ cm. Află lungimea catetelor.

Rezolvare pas cu pas

a) Notezi numărul cu $x$ : $x^{2} = 3 x$ . Treci totul în stânga: $x^{2} - 3 x = 0$ , $x (x - 3) = 0$ . Deci $x = 0$ sau $x = 3$ ; ambele verifică: $0^{2} = 3 \cdot 0$ , $3^{2} = 9 = 3 \cdot 3$ .
b) Notezi cateta cu $c$ . Din teorema lui Pitagora: $c^{2} + c^{2} = 10^{2}$ , adică $2 c^{2} = 100$ , $c^{2} = 50$ .
Ecuația are soluțiile $c =$ $\pm \sqrt{50} =$ $\pm 5 \sqrt{2}$ .
O lungime este pozitivă, deci păstrezi doar $c = 5 \sqrt{2}$ cm.

Răspuns: a) $0$ sau $3$ ; b) catetele au $5 \sqrt{2}$ cm

EXERCIȚIUL 8Ecuații cu parametrugreu

a) Află numărul real $m$ pentru care $x = 3$ este soluție a ecuației $(m - 1) x^{2} - 18 = 0$ , apoi află cealaltă soluție. b) Pentru ce valori ale lui $m$ ecuația $x^{2} + m - 5 = 0$ nu are soluții reale?

Rezolvare pas cu pas

a) Înlocuiești $x = 3$ : $(m - 1) \cdot 9 - 18 =$ $0$ , deci $9 (m - 1) = 18$ , $m - 1 = 2$ , $m = 3$ .
Ecuația devine $2 x^{2} - 18 = 0$ , $x^{2} = 9$ , deci $x = \pm 3$ . Cealaltă soluție este $- 3$ .
b) Izolezi $x^{2}$ : $x^{2} = 5 - m$ . Ecuația nu are soluții reale exact când numărul din dreapta este negativ.
$5 - m < 0$ înseamnă $m > 5$ . Pentru $m = 5$ ar avea soluția $0$ , iar pentru $m < 5$ ar avea două soluții.

Răspuns: a) $m = 3$ , cealaltă soluție $- 3$ ; b) $m > 5$

Cum recunoști ce tip de ecuație incompletă ai

Ecuația are $x^{2}$ și un număr, dar niciun termen cu $x$ la puterea întâi? E tipul $a x^{2} + c = 0$ : izolezi $x^{2}$ și te uiți la semnul numărului din dreapta.
Toți termenii conțin $x$ ? E tipul $a x^{2} + b x = 0$ : dai factor comun pe $x$ și obții două soluții, una fiind $0$ .
Ecuația are paranteze sau termeni în ambii membri? O aduci întâi la forma $a x^{2} + b x + c = 0$ ; abia după reducere vezi ce termen lipsește. Excepție: pătratul unei paranteze egal cu un număr îl rezolvi direct, ca pe $x^{2} = k$ .

Greșeli frecvente la ecuațiile de gradul 2 incomplete

Uiți soluția negativă. Din $x^{2} = 16$ rezultă $x = 4$ sau $x = - 4$ , pentru că și ${(- 4)}^{2} = 16$ . Doar la probleme cu lungimi sau vârste o respingi, și spui de ce.
Împarți ecuația la x. Din $x^{2} = 7 x$ nu treci direct la $x = 7$ . Împărțind la $x$ pierzi soluția $x = 0$ . Treci totul într-un membru și dai factor comun.
Scrii radical dintr-un număr negativ. La $x^{2} = - 9$ nu scrii $x = \pm \sqrt{- 9}$ și nici $x = \pm 3$ . Ecuația nu are soluții reale: $S = ⌀$ .

Exersează : ecuațiile de gradul 2 incomplete

Fișă de lucru: Ecuații incomplete de gradul al doilea, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Ecuația x² = a, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre ecuațiile de gradul 2 incomplete

Când este incompletă o ecuație de gradul al doilea?

Când în forma $a x^{2} + b x + c = 0$ lipsește termenul în $x$ , termenul liber sau amândoi. Termenul cu $x^{2}$ este mereu prezent.

Pot rezolva o ecuație incompletă cu discriminantul?

Da, formula cu $Δ$ (clasa a VIII-a) dă aceleași soluții, dar e mai lungă. Pentru ecuațiile incomplete, izolarea lui $x^{2}$ sau factorul comun ajung în două-trei rânduri.

De ce ecuația x² = −4 nu are soluții?

Pentru că orice număr real ridicat la pătrat dă un rezultat pozitiv sau zero. Nu există niciun număr real al cărui pătrat să fie $- 4$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^{2} = 9$ ?
2. Câte soluții reale are ecuația $x^{2} = 0$ ?
3. Câte soluții reale are ecuația $x^{2} = - 4$ ?
4. Care este soluția ecuației $x^{2} = 25$ dacă știm că $x > 0$ ?
5. Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^{2} = 7$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

PATRULATERUL CONVEX suma unghiurilor și diagonalele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIA PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI, definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună