EGALITĂȚI ECHIVALENTE ȘI IDENTITĂȚI transformarea unei egalități - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 11 octombrie 2026

O egalitate rămâne echivalentă dacă aduni sau scazi același număr în ambii membri, sau dacă înmulțești ori împarți ambii membri cu același număr diferit de zero. O identitate este o egalitate adevărată pentru orice valori ale literelor, de exemplu $2 (x + 3) = 2 x + 6$ . Mai jos găsești proprietățile, cum verifici o identitate și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Egalități echivalente și identități: ce trebuie să știi

O egalitate are doi membri despărțiți de semnul $=$ : în $x + 5 = 12$ , membrul stâng este $x + 5$ , iar membrul drept este $12$ . Două egalități sunt echivalente dacă sunt adevărate exact pentru aceleași valori ale literelor. Se scrie cu semnul $\Leftrightarrow$ .

Transformările care păstrează echivalența. Pentru orice numere reale $a$ , $b$ , $c$ :

$a =$ $b ⟺$ $a + c =$ $b + c$

poți aduna sau scădea același număr în ambii membri: $x + 5 =$ $12 \Leftrightarrow$ $x =$ $12 - 5$ . De aici vine regula „treci termenul în celălalt membru cu semn schimbat”;
poți înmulți sau împărți ambii membri cu același număr diferit de zero: $4 x =$ $20 \Leftrightarrow$ $x =$ $5$ , pentru $c \neq 0$ avem $a =$ $b \Leftrightarrow$ $a \cdot c =$ $b \cdot c$ ;
poți schimba membrii între ei: $a =$ $b \Leftrightarrow$ $b =$ $a$ .

De ce contează „diferit de zero”. Dacă înmulțești cu $0$ , orice egalitate devine $0 = 0$ , adevărată mereu, și pierzi informația. Din $x = 2$ obții $0 \cdot x =$ $0 \cdot 2$ , care este adevărată pentru orice $x$ . Cele două egalități nu mai sunt echivalente. Tot așa, ridicarea la pătrat nu păstrează echivalența: $x = 3$ are o singură soluție, dar $x^{2} = 9$ este adevărată și pentru $x = - 3$ .

Identitatea. O egalitate cu litere care este adevărată pentru orice valori reale ale literelor se numește identitate. Exemple: $a + b = b + a$ , $2 (x + 3) = 2 x + 6$ , $\sqrt{a \cdot b} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ pentru $a, b \geq 0$ . Ca să arăți că o egalitate este identitate, transformi un membru (de obicei pe cel mai complicat) până obții exact celălalt membru.

Cum arăți că o egalitate NU este identitate. E suficient un singur contraexemplu: o valoare pentru care egalitatea este falsă. Faptul că merge pentru câteva valori nu dovedește că merge pentru toate.

O egalitate cu litere care este pentru care cauți valorile ce o fac adevărată este o ecuație, iar valorile acelea sunt soluțiile ei. O ecuație poate să nu aibă nicio soluție. Pe asta se bazează toate lecțiile următoare din capitol.

Exerciții rezolvate : egalitățile echivalente și identitățile

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Ce s-a făcut în ambii membri?ușor

Spune ce transformare s-a aplicat ambilor membri: a) $x + 5 =$ $12 \Leftrightarrow$ $x =$ $7$ ; b) $4 x =$ $20 \Leftrightarrow$ $x =$ $5$ ; c) $\frac{x}{3} =$ $2 \Leftrightarrow$ $x =$ $6$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din membrul stâng a dispărut $+ 5$ . S-a scăzut $5$ din ambii membri: $x + 5 - 5 = 12 - 5$ , adică $x = 7$ .
b) Coeficientul $4$ a dispărut. Ambii membri s-au împărțit la $4$ , care este diferit de $0$ : $4 x : 4 = 20 : 4$ , adică $x = 5$ .
c) Numitorul $3$ a dispărut. Ambii membri s-au înmulțit cu $3$ : $\frac{x}{3} \cdot 3 =$ $2 \cdot 3$ , adică $x = 6$ .

Răspuns: a) s-a scăzut $5$ ; b) s-a împărțit la $4$ ; c) s-a înmulțit cu $3$

EXERCIȚIUL 2Lași necunoscuta singură într-un membruușor

Transformă fiecare egalitate într-o egalitate echivalentă în care $x$ să rămână singur în membrul stâng: a) $x - 2,5 = 4$ ; b) $- 3 x = 12$ ; c) $x \cdot \sqrt{3} =$ $\sqrt{12}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Aduni $2,5$ în ambii membri: $x - 2,5 + 2,5 =$ $4 + 2,5$ , deci $x = 6,5$ .
b) Împarți ambii membri la $- 3$ , care este nenul: $x = 12 : (- 3) = - 4$ .
c) Împarți ambii membri la $\sqrt{3}$ , care este nenul: $x =$ $\sqrt{12} : \sqrt{3} =$ $\sqrt{4} =$ $2$ .
Verificare la c): $2 \cdot \sqrt{3} =$ $\sqrt{12}$ , adevărat, pentru că $\sqrt{12} =$ $2 \sqrt{3}$ .

Răspuns: a) $x = 6,5$ ; b) $x = - 4$ ; c) $x = 2$

EXERCIȚIUL 3Echivalente sau nu?ușor

Stabilește dacă egalitățile din fiecare pereche sunt echivalente: a) $2 x = 6$ și $x = 3$ ; b) $x = 2$ și $0 \cdot x =$ $0 \cdot 2$ ; c) $x = - 3$ și $x^{2} = 9$ .

Rezolvare pas cu pas

a) A doua se obține din prima împărțind la $2 \neq 0$ , deci sunt echivalente. Ambele sunt adevărate doar pentru $x = 3$ .
b) Prima este adevărată doar pentru $x = 2$ . A doua înseamnă $0 = 0$ , adevărată pentru orice $x$ , de exemplu și pentru $x = 5$ . Nu sunt echivalente: înmulțirea cu $0$ nu e permisă.
c) Prima este adevărată doar pentru $x = - 3$ . A doua este adevărată și pentru $x = 3$ , pentru că $3^{2} = 9$ . Nu sunt echivalente: ridicarea la pătrat a adăugat o valoare nouă.

Răspuns: a) echivalente; b) nu; c) nu

EXERCIȚIUL 4Verifici dacă e identitatemediu

Stabilește care dintre egalități sunt identități: a) $5 (x + 2) - 2 x =$ $3 x + 10$ ; b) $2 (x - 1) + x =$ $3 x - 1$ ; c) $x (x + 4) = x^{2} + 4 x$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Transformi membrul stâng cu distributivitatea: $5 x + 10 - 2 x =$ $3 x + 10$ . Ai obținut exact membrul drept, deci este identitate.
b) Membrul stâng: $2 x - 2 + x = 3 x - 2$ . Membrul drept este $3 x - 1$ . Cum $3 x - 2$ diferă mereu de $3 x - 1$ cu $1$ , egalitatea nu este adevărată pentru nicio valoare a lui $x$ . Nu este identitate.
Contraexemplu la b), pentru $x = 0$ : stânga dă $- 2$ , dreapta dă $- 1$ .
c) Distributivitatea: $x \cdot x + x \cdot 4 =$ $x^{2} + 4 x$ . Este identitate.

Răspuns: identități: a) și c); b) nu este identitate

EXERCIȚIUL 5Un singur contraexemplu ajungemediu

Stabilește dacă egalitățile sunt adevărate pentru orice numere reale $a, b \geq 0$ : a) $\sqrt{a + b} =$ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ ; b) $\sqrt{a \cdot b} =$ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ ; c) $a - b = b - a$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Încerci $a = 25$ și $b = 144$ : $\sqrt{25 + 144} =$ $\sqrt{169} =$ $13$ , dar $\sqrt{25} + \sqrt{144} =$ $5 + 12 =$ $17$ . Cum $13 \neq 17$ , egalitatea nu este identitate.
b) Este regula de calcul cu radicali, adevărată pentru orice $a, b \geq 0$ . Este identitate.
c) Pentru $a = 5$ , $b = 2$ : stânga $3$ , dreapta $- 3$ . Nu este identitate. Egalitatea este adevărată doar când $a = b$ .
Observă că la a) există și valori pentru care merge, de exemplu $a = 0$ . Asta nu o face identitate: trebuie să meargă pentru toate valorile.

Răspuns: a) nu (contraexemplu $a = 25$ , $b = 144$ ); b) da; c) nu

EXERCIȚIUL 6O expresie care nu depinde de xmediu

Se consideră $E (x) =$ $4 (x - 3) - 2 (2 x - 7)$ , unde $x$ este un număr real. a) Arată că $E (x) = 2$ pentru orice $x$ . b) Calculează $E (\sqrt{5} - 1)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Desfaci parantezele cu distributivitatea: $4 x - 12 - 4 x + 14$ . Atenție la minusul din fața lui $2$ : $- 2 \cdot (- 7) = + 14$ .
Reduci termenii asemenea: $4 x - 4 x = 0$ și $- 12 + 14 = 2$ . Deci $E (x) = 2$ este o identitate.
b) Pentru că $E (x) = 2$ pentru orice număr real, și pentru $x = \sqrt{5} - 1$ rezultatul este $2$ . Nu mai e nevoie să înlocuiești.

Răspuns: a) $E (x) = 2$ ; b) $E (\sqrt{5} - 1) = 2$

EXERCIȚIUL 7Identitate, ecuație cu o soluție sau ecuație fără soluții?greu

Pentru fiecare egalitate, spune dacă este adevărată pentru orice $x$ real, pentru o singură valoare sau pentru nicio valoare: a) $4 (x - 1) = 4 x - 4$ ; b) $4 (x - 1) = 4 x - 1$ ; c) $4 (x - 1) = 2 x$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Membrul stâng este $4 x - 4$ , exact membrul drept. Adevărată pentru orice $x$ : identitate.
b) Membrul stâng este $4 x - 4$ . Scazi $4 x$ din ambii membri și obții egalitatea echivalentă $- 4 = - 1$ , falsă. Nu este adevărată pentru nicio valoare a lui $x$ : este o ecuație fără soluții.
c) $4 x - 4 = 2 x$ . Scazi $2 x$ din ambii membri: $2 x - 4 = 0$ . Aduni $4$ : $2 x = 4$ . Împarți la $2$ : $x = 2$ .
Verificare la c): $4 (2 - 1) = 4$ și $2 \cdot 2 = 4$ . Este o ecuație cu o singură soluție, $x = 2$ .

Răspuns: a) orice $x$ (identitate); b) nicio valoare (ecuație fără soluții); c) doar $x = 2$

EXERCIȚIUL 8Afli coeficienții ca să obții o identitategreu

Determină numerele reale $a$ și $b$ astfel încât egalitatea $2 (x + a) - 3 =$ $b x + 5$ să fie adevărată pentru orice număr real $x$ .

Rezolvare pas cu pas

Dacă egalitatea este identitate, este adevărată și pentru valori alese de tine. Pentru $x = 0$ : $2 a - 3 = 5$ . Aduni $3$ : $2 a = 8$ , deci $a = 4$ .
Pentru $x = 1$ , cu $a = 4$ : $2 \cdot 5 - 3 =$ $b + 5$ , adică $7 = b + 5$ , deci $b = 2$ .
Verifici că, pentru $a = 4$ și $b = 2$ , egalitatea merge pentru orice $x$ : $2 (x + 4) - 3 =$ $2 x + 8 - 3 =$ $2 x + 5$ , exact membrul drept.
Verificarea de la final este obligatorie: valorile particulare ți-au dat doar candidații, iar transformarea membrului stâng arată că egalitatea este identitate.

Răspuns: $a = 4$ , $b = 2$

Cum recunoști ce ți se cere

Enunțul spune „arată că, pentru orice $x$ …” sau „verifică dacă este identitate”? Transformi membrul mai complicat până obții celălalt membru.
Enunțul te întreabă dacă o regulă „merge mereu”? Cauți un contraexemplu; dacă nu găsești și poți transforma un membru în celălalt, este identitate.
Trebuie să lași $x$ singur într-un membru? Aplici, pe rând, operația inversă celei care îl încurcă: scădere pentru adunare, împărțire pentru înmulțire.

Greșeli frecvente la egalități echivalente și identități

Faci transformarea doar într-un membru. Din $x + 5 = 12$ nu poți scrie $x = 12$ . Dacă scazi $5$ din stânga, scazi $5$ și din dreapta: $x = 7$ .
Împarți ambii membri la o expresie care poate fi zero. Din $x \cdot (x - 2) =$ $3 (x - 2)$ nu ai voie să împarți direct la $x - 2$ : pentru $x = 2$ ai împărți la $0$ și ai pierde soluția $x = 2$ .
Crezi că o egalitate e identitate pentru că merge la câteva valori. $\sqrt{a + b} =$ $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ este adevărată pentru $a = 0$ , dar falsă pentru $a = 25$ , $b = 144$ . O identitate trebuie să meargă pentru toate valorile.

Exersează : egalitățile echivalente și identitățile

Fișă de lucru: Transformarea unei egalități într-o egalitate echivalentă, identități, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Ecuații și sisteme de ecuații, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Ecuații de forma ax + b = 0, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre egalități echivalente și identități

Care este diferența dintre o identitate și o ecuație?

O identitate este adevărată pentru orice valori ale literelor, ca $2 (x + 3) = 2 x + 6$ . O ecuație este adevărată doar pentru anumite valori, numite soluții (sau pentru niciuna), ca $2 x = 6$ , adevărată doar pentru $x = 3$ .

De ce nu am voie să înmulțesc ambii membri cu

0

Pentru că orice egalitate devine $0 = 0$ . Noua egalitate este adevărată și pentru valori care nu verificau egalitatea inițială, deci cele două nu mai sunt echivalente.

Pot ridica la pătrat ambii membri ai unei egalități?

Poți, dar egalitatea nouă nu mai este neapărat echivalentă cu prima: poate avea soluții în plus. Din $x = - 3$ obții $x^{2} = 9$ , adevărată și pentru $x = 3$ . Dacă folosești totuși ridicarea la pătrat, verifici la final fiecare valoare în egalitatea inițială.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele operații transformă o egalitate într-o egalitate echivalentă?
2. Dacă avem egalitatea $3 x = 12$ , ce egalitate echivalentă obținem împărțind ambii membri la 3?
3. Care dintre următoarele egalități este o identitate?
4. Ce se întâmplă cu o egalitate dacă înmulțim ambii membri cu 0?
5. Egalitatea $5 (x - 2) = 5 x - 10$ este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 11 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

POLIGOANE REGULATE ÎNSCRISE ÎN CERC latura, apotema și aria - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

LUNGIMEA CERCULUI formula L = 2πr - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 3: Cercul

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună