PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 28 septembrie 2026

Produsul cartezian $A \times B$ este mulțimea tuturor perechilor ordonate $(a, b)$ , cu $a$ din $A$ și $b$ din $B$ . Mai jos găsești cum îl scrii, câte elemente are, legătura cu sistemul de axe $x O y$ și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Perechi ordonate, produs cartezian și sistemul de axe

Un punct din plan se descrie prin două numere puse într-o ordine anume: întâi abscisa (pe axa $O x$ ), apoi ordonata (pe axa $O y$ ). În figură, punctul $A (3, 2)$ se află la 3 unități la dreapta originii și la 2 unități în sus.

Liniile punctate duse din

A

pe axe arată abscisa

3

și ordonata

2

Perechea ordonată. Scrierea $(a, b)$ este o pereche în care ordinea contează: $(3, 2)$ și $(2, 3)$ sunt perechi diferite. Două perechi sunt egale doar dacă au egale primele componente și egale componentele a doua:

$(a, b) =$ $(c, d) ⟺$ $a =$ $c și b =$ $d$

Produsul cartezian. Pentru două mulțimi nevide $A$ și $B$ , produsul cartezian este mulțimea tuturor perechilor care au primul element din $A$ și al doilea din $B$ :

$A \times B =$ ${(a, b) | a \in A,$ $b \in B}$

De exemplu, pentru $A = {1, 2}$ și $B = {a, b, c}$ : $A \times B =$ ${(1, a),$ $(1, b),$ $(1, c),$ $(2, a),$ $(2, b),$ $(2, c)}$ .

Numărul de elemente. Fiecare element din $A$ se împerechează cu fiecare element din $B$ , așa că numerele de elemente se înmulțesc:

$card (A \times B) =$ $card A \cdot card B$

Tabel și diagramă. Poți scrie elementele lui $A$ pe rânduri și pe cele ale lui $B$ pe coloane: fiecare căsuță a tabelului este o pereche. Într-o diagramă cu săgeți, tragi câte o săgeată de la fiecare element al lui $A$ spre fiecare element al lui $B$ . Ambele metode te ajută să nu uiți nicio pereche.

În general $A \times B \neq B \times A$ , pentru că perechile sunt întoarse. Cele două mulțimi au însă același număr de elemente. Produsul $A \times A$ se notează și $A^{2}$ .

Sistemul de axe ortogonale xOy. Axele $O x$ și $O y$ sunt perpendiculare și se intersectează în originea $O (0, 0)$ . Fiecare punct din plan corespunde unei perechi de numere reale, adică unui element al lui $ℝ \times ℝ$ . Axele împart planul în patru cadrane, numerotate în sens invers acelor de ceasornic:

cadranul I: abscisa și ordonata pozitive; cadranul II: abscisa negativă, ordonata pozitivă;
cadranul III: amândouă negative; cadranul IV: abscisa pozitivă, ordonata negativă;
un punct de pe axa $O x$ are ordonata $0$ , de forma $(x, 0)$ , iar un punct de pe axa $O y$ are abscisa $0$ , de forma $(0, y)$ . Punctele de pe axe nu aparțin niciunui cadran.

Exerciții rezolvate : produsul cartezian

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Scrii toate perechileușor

Fie $A = {1, 2}$ și $B = {3, 5, 7}$ . Scrie elementele mulțimii $A \times B$ și spune câte sunt.

Rezolvare pas cu pas

Luăm pe rând fiecare element din $A$ și îl împerechem cu fiecare element din $B$ , păstrând elementul din $A$ pe primul loc.
Cu $1$ : $(1, 3)$ , $(1, 5)$ , $(1, 7)$ .
Cu $2$ : $(2, 3)$ , $(2, 5)$ , $(2, 7)$ .
Verificăm numărul de elemente: $card A \cdot card B =$ $2 \cdot 3 =$ $6$ .

Răspuns: $A \times B =$ ${(1, 3),$ $(1, 5),$ $(1, 7),$ $(2, 3),$ $(2, 5),$ $(2, 7)}$ , cu $6$ elemente

EXERCIȚIUL 2Numeri elementele fără să le scriiușor

Mulțimea $A$ are 4 elemente, iar mulțimea $B$ are 5 elemente. Câte elemente au $A \times B$ , $B \times A$ și $B \times B$ ?

Rezolvare pas cu pas

$card (A \times B) =$ $4 \cdot 5 =$ $20$ .
$B \times A$ are perechile întoarse, dar tot atâtea: $5 \cdot 4 = 20$ .
$card (B \times B) =$ $5 \cdot 5 =$ $25$ .

Răspuns: $20$ , $20$ și $25$ de elemente

EXERCIȚIUL 3Egalitatea a două perechiușor

Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $(x + 1, 7) =$ $(4, y - 2)$ .

Rezolvare pas cu pas

Două perechi sunt egale când au egale primele componente și egale componentele a doua.
Din primele componente: $x + 1 = 4$ , deci $x = 3$ .
Din componentele a doua: $7 = y - 2$ , deci $y = 9$ .

Răspuns: $x = 3$ și $y = 9$

EXERCIȚIUL 4Perechi care respectă o condițiemediu

Fie $A = {0, 1, 2, 3}$ și $B = {1, 2, 3}$ . Câte elemente are $A \times B$ ? Scrie perechile $(a, b) \in A \times B$ pentru care $a + b = 4$ .

Rezolvare pas cu pas

$card (A \times B) =$ $4 \cdot 3 =$ $12$ .
Pentru fiecare $a$ din $A$ căutăm $b = 4 - a$ și verificăm dacă este în $B$ .
$a = 0$ cere $b = 4$ , care nu este în $B$ . $a = 1$ dă $b = 3$ , $a = 2$ dă $b = 2$ , $a = 3$ dă $b = 1$ , toate din $B$ .
Rămân trei perechi: $(1, 3)$ , $(2, 2)$ și $(3, 1)$ .

Răspuns: $12$ elemente; perechile sunt $(1, 3)$ , $(2, 2)$ , $(3, 1)$

EXERCIȚIUL 5Citești coordonatele de pe graficmediu

Scrie coordonatele punctelor $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ și $R$ din figură și precizează în ce cadran sau pe ce axă se află fiecare.

Rezolvare pas cu pas

Pentru fiecare punct coborâm (sau urcăm) pe axa $O x$ ca să citim abscisa, apoi mergem orizontal pe axa $O y$ ca să citim ordonata.
$M (2, 3)$ : ambele coordonate pozitive, cadranul I.
$N (- 4, 1)$ : abscisa negativă, ordonata pozitivă, cadranul II.
$P (- 3, - 2)$ : ambele negative, cadranul III.
$Q (4, - 3)$ : abscisa pozitivă, ordonata negativă, cadranul IV.
$R (0, 2)$ : abscisa este $0$ , deci punctul este pe axa $O y$ , nu într-un cadran.

Răspuns: $M (2, 3)$ în cadranul I, $N (- 4, 1)$ în II, $P (- 3, - 2)$ în III, $Q (4, - 3)$ în IV, $R (0, 2)$ pe axa $O y$

EXERCIȚIUL 6Punctul se află pe o axămediu

Determină numărul real $a$ pentru care punctul $E (2 a - 6, 4)$ se află pe axa $O y$ și numărul real $b$ pentru care $F (5, 3 b + 6)$ se află pe axa $O x$ .

Rezolvare pas cu pas

Un punct de pe axa $O y$ are abscisa $0$ : $2 a - 6 = 0$ , deci $2 a = 6$ și $a = 3$ . Atunci $E (0, 4)$ .
Un punct de pe axa $O x$ are ordonata $0$ : $3 b + 6 = 0$ , deci $3 b = - 6$ și $b = - 2$ . Atunci $F (5, 0)$ .

Răspuns: $a = 3$ și $b = - 2$

EXERCIȚIUL 7Al patrulea vârf al unui dreptunghigreu

Punctele $A (- 2, - 1)$ , $B (4, - 1)$ și $C (4, 3)$ sunt trei vârfuri ale dreptunghiului $A B C D$ . Află coordonatele lui $D$ , apoi perimetrul și aria dreptunghiului (unitatea de măsură este 1 cm).

Rezolvare pas cu pas

$A$ și $B$ au aceeași ordonată, $- 1$ , deci $A B$ este paralelă cu $O x$ . $B$ și $C$ au aceeași abscisă, $4$ , deci $B C$ este paralelă cu $O y$ .
Latura $A D$ trebuie să fie paralelă cu $B C$ , deci $D$ are abscisa lui $A$ , $- 2$ . Latura $C D$ trebuie să fie paralelă cu $A B$ , deci $D$ are ordonata lui $C$ , $3$ . Rezultă $D (- 2, 3)$ .
Lungimea unui segment paralel cu $O x$ este modulul diferenței absciselor: $A B = | 4 - (- 2) | = 6$ cm.
Lungimea unui segment paralel cu $O y$ este modulul diferenței ordonatelor: $B C = | 3 - (- 1) | = 4$ cm.
Perimetrul: $2 \cdot (6 + 4) = 20$ cm. Aria: $6 \cdot 4 = 24$ cm².

Răspuns: $D (- 2, 3)$ , perimetrul $20$ cm, aria $24$ cm²

EXERCIȚIUL 8Produsul cartezian desenat ca punctegreu

Fie $A = {- 1, 0, 2}$ și $B = {1, 3}$ . Fiecare pereche din $A \times B$ se reprezintă ca punct în sistemul $x O y$ . Câte puncte se obțin? Câte dintre ele sunt în cadranul I, câte în cadranul II și câte pe axa $O y$ ?

Rezolvare pas cu pas

Numărul de puncte: $3 \cdot 2 = 6$ , adică $(- 1, 1)$ , $(- 1, 3)$ , $(0, 1)$ , $(0, 3)$ , $(2, 1)$ , $(2, 3)$ .
Toate ordonatele ( $1$ și $3$ ) sunt pozitive, deci niciun punct nu este sub axa $O x$ . Contează doar abscisa.
Abscisa $2$ este pozitivă: $(2, 1)$ și $(2, 3)$ sunt în cadranul I.
Abscisa $- 1$ este negativă: $(- 1, 1)$ și $(- 1, 3)$ sunt în cadranul II.
Abscisa $0$ : $(0, 1)$ și $(0, 3)$ sunt pe axa $O y$ .

Răspuns: $6$ puncte: $2$ în cadranul I, $2$ în cadranul II, $2$ pe axa $O y$

Cum recunoști un exercițiu pe produsul cartezian

Apare semnul $\times$ între două mulțimi sau ți se cere „mulțimea perechilor”: scrii perechile în ordine, cu primul element din prima mulțime.
Ți se cere doar câte elemente are $A \times B$ : înmulțești numerele de elemente, fără să scrii perechile.
Apar puncte cu două coordonate, cadrane sau axe: lucrezi în sistemul $x O y$ , unde prima coordonată este abscisa, iar a doua este ordonata.

Greșeli frecvente la produsul cartezian

Inversezi coordonatele. Primul număr este abscisa, citită pe axa orizontală. $M (2, 3)$ este la 2 unități la dreapta și 3 în sus, nu invers.
Aduni numerele de elemente. Mulțimile cu 4 și cu 5 elemente dau $4 \cdot 5 = 20$ de perechi, nu 9.
Pui un punct de pe axă într-un cadran. Un punct ca $(0, 2)$ sau $(5, 0)$ stă pe o axă. Cadranele conțin doar puncte cu ambele coordonate nenule.

Exersează : produsul cartezian

Fișă de lucru: Produsul cartezian a două mulțimi nevide, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții, cu rezolvări Test: Organizarea datelor, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Sistemul de axe ortogonale xOy, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții, cu rezolvări

Din același capitol

Întrebări frecvente despre produsul cartezian

Este A × B același lucru cu B × A?

Nu, în general. În $A \times B$ primul element vine din $A$ , iar în $B \times A$ vine din $B$ . Cele două mulțimi au însă același număr de elemente.

Cum știu în ce cadran este un punct?

Te uiți la semnele coordonatelor: $(+, +)$ cadranul I, $(-, +)$ cadranul II, $(-, -)$ cadranul III, $(+, -)$ cadranul IV. Dacă o coordonată este $0$ , punctul este pe o axă.

Ce legătură are produsul cartezian cu sistemul de axe?

Fiecare punct din plan este o pereche ordonată de numere reale, adică un element al lui $ℝ \times ℝ$ . Dacă desenezi toate perechile unui produs $A \times B$ cu mulțimi finite, obții o rețea de puncte, ca la exercițiul 8.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Fie mulțimile $A = {1, 2}$ și $B = {a, b}$ . Câte elemente are produsul cartezian $A \times B$ ?
2. Care dintre următoarele reprezintă corect produsul cartezian $A \times B$ , unde $A = {1, 2}$ și $B = {3, 4}$ ?
3. Într-un sistem de axe ortogonale XOY, punctul $P (3, - 2)$ se află în:
4. Care este diferența dintre perechea ordonată $(2, 5)$ și perechea ordonată $(5, 2)$ ?
5. Originea sistemului de axe ortogonale XOY are coordonatele:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 28 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

TEOREMA LUI THALES și reciproca ei - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA BISECTOAREI în triunghi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TRIUNGHIURI ASEMENEA - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună