SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 6 octombrie 2026

O problemă cu sisteme de ecuații are două mărimi necunoscute și două informații despre ele. Notezi mărimile cu $x$ și $y$ , scrii câte o ecuație pentru fiecare informație, rezolvi sistemul și verifici rezultatul în enunț, nu doar în ecuații. Mai jos găsești pașii, un mic dicționar de traducere din cuvinte în ecuații și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum transformi un enunț într-un sistem de ecuații

Partea grea a unei probleme cu sisteme nu este calculul. Calculul îl știi deja: metoda substituției sau metoda reducerii. Partea grea este să scrii corect cele două ecuații. De aceea lucrezi mereu în aceeași ordine, în patru pași.

Alegi necunoscutele. Scrii explicit ce înseamnă fiecare literă și în ce unitate: „ $x$ = prețul unui caiet, în lei”, „ $y$ = vârsta fiului acum, în ani”. De obicei, necunoscutele sunt chiar mărimile cerute în întrebare.
Traduci fiecare informație într-o ecuație. Două necunoscute cer două informații independente. Dacă găsești o singură informație, mai citește enunțul: a doua e ascunsă într-o frază de tipul „în total”, „împreună” sau „peste 6 ani”.
Rezolvi sistemul. Alegi substituția când o necunoscută apare singură, fără coeficient, și reducerea când coeficienții se potrivesc ușor.
Verifici în enunț și scrii răspunsul cu unități. Rezultatul trebuie să aibă sens: un număr de bancnote nu poate fi negativ sau cu virgulă, o vârstă nu poate fi negativă.

Forma generală la care ajungi este un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute:

${\begin{matrix} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{matrix}$

Mic dicționar de traducere. Expresiile de mai jos apar în aproape orice enunț. Le scrii direct ca ecuații:

„suma lor este 30”, „împreună au 30” devine $x + y = 30$ ;
„ $x$ este cu 5 mai mare decât $y$ ” devine $x = y + 5$ (sau $x - y = 5$ );
„ $x$ este de 3 ori mai mare decât $y$ ” devine $x = 3 y$ ;
„3 caiete și 2 pixuri costă 19 lei” devine $3 x + 2 y = 19$ , unde $x$ și $y$ sunt prețurile pe bucată;
„peste 6 ani” înseamnă că adaugi 6 la FIECARE vârstă: $x + 6$ și $y + 6$ .

Dacă vrei să revezi pe larg metodele de rezolvare a unui sistem gata scris, le găsești în articolul despre sistemele de ecuații din secțiunea „Din același capitol”. Aici ne ocupăm de enunțuri.

Exerciții rezolvate : sistemele de ecuații cu text

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Două numere: sumă și „de câte ori”ușor

Suma a două numere este $64$ . Primul număr este de $3$ ori mai mare decât al doilea. Află cele două numere.

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $x$ = primul număr, $y$ = al doilea număr.
Prima informație: $x + y = 64$ . A doua informație: $x = 3 y$ .
Substituție: înlocuiești $x$ cu $3 y$ în prima ecuație și obții $3 y + y = 64$ , adică $4 y = 64$ , deci $y = 16$ .
Apoi $x = 3 \cdot 16 = 48$ . Verificare în enunț: $48 + 16 = 64$ , iar $48$ este de $3$ ori $16$ .

Răspuns: numerele sunt $48$ și $16$

EXERCIȚIUL 2Caiete și pixuriușor

$3$ caiete și $2$ pixuri costă împreună $19$ lei. Un caiet costă cu $3$ lei mai mult decât un pix. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $c$ = prețul unui caiet, $p$ = prețul unui pix, în lei.
Scrii sistemul: ${\begin{matrix} 3 c + 2 p = 19 \\ c = p + 3 \end{matrix}$ .
A doua ecuație îți dă direct $c$ , deci înlocuiești în prima: $3 (p + 3) + 2 p = 19$ , adică $5 p + 9 = 19$ , deci $5 p = 10$ și $p = 2$ .
Apoi $c = 2 + 3 = 5$ . Verificare: $3 \cdot 5 + 2 \cdot 2 =$ $15 + 4 =$ $19$ lei.

Răspuns: un caiet costă $5$ lei, un pix costă $2$ lei

EXERCIȚIUL 3Vârstele tatălui și ale fiuluimediu

Acum, tatăl are de $4$ ori vârsta fiului. Peste $6$ ani, tatăl va avea de $3$ ori vârsta pe care o va avea atunci fiul. Ce vârste au acum?

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $t$ = vârsta tatălui acum, $f$ = vârsta fiului acum, în ani.
Informația despre prezent: $t = 4 f$ . Peste $6$ ani vârstele devin $t + 6$ și $f + 6$ , deci $t + 6 = 3 (f + 6)$ .
Înlocuiești $t = 4 f$ în a doua ecuație: $4 f + 6 = 3 f + 18$ , deci $f = 12$ .
Apoi $t = 4 \cdot 12 = 48$ . Verificare: peste $6$ ani au $54$ și $18$ ani, iar $54 = 3 \cdot 18$ .

Răspuns: tatăl are $48$ de ani, fiul are $12$ ani

EXERCIȚIUL 4Bancnote de 5 lei și de 10 leimediu

Andrei are $14$ bancnote, unele de $5$ lei și altele de $10$ lei, în valoare totală de $100$ de lei. Câte bancnote are de fiecare fel?

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $x$ = numărul bancnotelor de $5$ lei, $y$ = numărul bancnotelor de $10$ lei.
O ecuație numără bancnotele, cealaltă numără banii: ${\begin{matrix} x + y = 14 \\ 5 x + 10 y = 100 \end{matrix}$ .
Împarți a doua ecuație la $5$ : $x + 2 y = 20$ . Scazi din ea prima ecuație și obții $y = 6$ .
Apoi $x = 14 - 6 = 8$ . Verificare: $8 \cdot 5 + 6 \cdot 10 =$ $40 + 60 =$ $100$ de lei.

Răspuns: $8$ bancnote de $5$ lei și $6$ bancnote de $10$ lei

EXERCIȚIUL 5Laturile unui dreptunghimediu

Perimetrul unui dreptunghi este $50$ cm. Dublul lățimii este cu $5$ cm mai mare decât lungimea. Află dimensiunile dreptunghiului și aria lui.

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $L$ = lungimea, $l$ = lățimea, în centimetri.
Perimetrul: $2 (L + l) = 50$ , deci $L + l = 25$ . A doua informație: $2 l - L = 5$ .
Aduni cele două ecuații ( $L$ dispare): $3 l = 30$ , deci $l = 10$ cm.
Apoi $L = 25 - 10 = 15$ cm. Verificare: $2 \cdot 10 =$ $20 =$ $15 + 5$ . Aria: $15 \cdot 10 = 150$ cm².

Răspuns: $L = 15$ cm, $l = 10$ cm, aria $150$ cm²

EXERCIȚIUL 6Test cu puncte scăzute la greșelimediu

Un test are $20$ de întrebări. Pentru un răspuns corect primești $5$ puncte, iar pentru un răspuns greșit ți se scad $2$ puncte. Maria a răspuns la toate întrebările și a obținut $72$ de puncte. La câte întrebări a răspuns corect?

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $c$ = numărul răspunsurilor corecte, $g$ = numărul răspunsurilor greșite.
Sistemul: ${\begin{matrix} c + g = 20 \\ 5 c - 2 g = 72 \end{matrix}$ . Punctele scăzute apar cu minus în a doua ecuație.
Din prima ecuație, $g = 20 - c$ . Înlocuiești: $5 c - 2 (20 - c) = 72$ , adică $7 c - 40 = 72$ , deci $7 c = 112$ și $c = 16$ .
Apoi $g = 4$ . Verificare: $16 \cdot 5 - 4 \cdot 2 =$ $80 - 8 =$ $72$ de puncte.

Răspuns: $16$ răspunsuri corecte (și $4$ greșite)

EXERCIȚIUL 7Cifrele unui număr de două cifregreu

Suma cifrelor unui număr de două cifre este $11$ . Dacă inversezi ordinea cifrelor, obții un număr cu $27$ mai mare. Care este numărul?

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $a$ = cifra zecilor, $b$ = cifra unităților. Numărul este $a b =$ $10 a + b$ , iar cel inversat este $b a =$ $10 b + a$ .
Prima informație: $a + b = 11$ . A doua: $10 b + a =$ $10 a + b + 27$ , adică $9 b - 9 a = 27$ , deci $b - a = 3$ .
Aduni $a + b = 11$ cu $b - a = 3$ : $2 b = 14$ , deci $b = 7$ și $a = 4$ .
Numărul este $47$ . Verificare: $4 + 7 = 11$ și $74 - 47 = 27$ . Ambele valori sunt cifre, deci soluția este acceptabilă.

Răspuns: numărul este $47$

EXERCIȚIUL 8Vaporul pe râu, cu și contra curentuluigreu

Un vapor parcurge $48$ km în sensul curentului râului în $2$ ore, iar aceeași distanță, înapoi, contra curentului, în $3$ ore. Află viteza vaporului în apă stătătoare și viteza curentului.

Rezolvare pas cu pas

Notezi: $v$ = viteza vaporului în apă stătătoare, $c$ = viteza curentului, în km/h.
În sensul curentului, vitezele se adună: $v + c = 48 : 2 = 24$ . Contra curentului, se scad: $v - c = 48 : 3 = 16$ .
Aduni ecuațiile: $2 v = 40$ , deci $v = 20$ km/h. Apoi $c = 24 - 20 = 4$ km/h.
Verificare: $2 \cdot (20 + 4) =$ $48$ km și $3 \cdot (20 - 4) =$ $48$ km.

Răspuns: vaporul: $20$ km/h, curentul: $4$ km/h

Cum recunoști o problemă care se rezolvă cu un sistem

Întrebarea cere două mărimi deodată („câte bancnote de fiecare fel”, „ce vârste au”), iar enunțul dă două informații diferite despre ele.
Apar două feluri de „total”: unul numără obiectele (bancnote, întrebări), celălalt le măsoară valoarea (lei, puncte).
Enunțul descrie aceeași situație în două momente (acum și peste câțiva ani) sau în două condiții (cu curentul și contra curentului).

Greșeli frecvente la sistemele de ecuații cu text

Scrii ecuațiile înainte să spui ce înseamnă $x$ și $y$ . Fără o notare clară, amesteci mărimile: la bancnote, scrii $x + y = 100$ în loc de $x + y = 14$ . Notează întâi, în cuvinte, ce reprezintă fiecare literă.
Adaugi anii doar unei singure persoane. „Peste 6 ani” schimbă ambele vârste. Ecuația corectă este $t + 6 = 3 (f + 6)$ , nu $t + 6 = 3 f$ .
Te oprești la soluția sistemului. Verifică dacă rezultatul are sens în enunț: un număr de obiecte trebuie să fie natural, o cifră trebuie să fie între $0$ și $9$ . Apoi scrie răspunsul cu unitatea de măsură.

Exersează : sistemele de ecuații cu text

Test: Ecuații și sisteme de ecuații, clasa a VII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Ecuații de forma ax + b = 0, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Lecția video: Probleme rezolvate cu ecuații sau sisteme, partea a 2-aclasa a VII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre sistemele de ecuații cu text

Pot rezolva aceste probleme cu o singură necunoscută?

De multe ori, da: la caiete și pixuri poți nota direct prețul pixului cu $x$ și pe al caietului cu $x + 3$ . Sistemul are avantajul că scrii fiecare informație separat, așa că greșești mai rar la traducere. Ambele căi dau același rezultat.

Ce fac dacă îmi iese un număr cu virgulă la o problemă cu bancnote sau persoane?

Recitește enunțul și verifică ecuațiile. De cele mai multe ori ai tradus greșit o informație. Dacă ecuațiile sunt corecte, iar rezultatul tot nu este natural, înseamnă că situația descrisă nu este posibilă, iar răspunsul trebuie să spună asta.

De unde știu care informație devine prima ecuație?

Nu contează ordinea. Contează să ai două ecuații diferite, fiecare scrisă dintr-o singură propoziție a enunțului. Un sfat: începe cu informația cea mai simplă, cum ar fi suma, pentru că din ea scot ușor o necunoscută.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Suma a două numere este 48, iar unul dintre ele este de 3 ori mai mare decât celălalt. Dacă notăm numărul mai mic cu $x$ , ecuația care modelează problema este:
2. Un elev rezolvă problema: Gândesc un număr, îl înmulțesc cu 5 și adun 7, obținând 32. Ecuația corectă este:
3. Rezolvând ecuația $x + 3 x = 48$ , valoarea numărului mai mic este:
4. Vârsta tatălui este de 4 ori mai mare decât vârsta fiului. Peste 6 ani, suma vârstelor lor va fi 62. Sistemul care modelează problema este:
5. Două trenuri pornesc simultan din orașe diferite, distanța dintre orașe fiind 360 km. Primul merge cu 80 km/h, al doilea cu 100 km/h, în sens opus. Ecuația care exprimă momentul întâlnirii după $t$ ore este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 6 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

ECUAȚII DE GRADUL 1 de forma ax + b = 0 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

SISTEME DE ECUAȚII - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

DISTANȚA DINTRE DOUĂ PUNCTE în sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

TEOREMA PARALELELOR ECHIDISTANTE și segmente proporționale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună