9. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Metoda substituției. Partea 1.

Știi momentul ăla când dai de o problemă cu două mărimi necunoscute și nu știi de unde să apuci? Exact pentru asta există sistemele de două ecuații liniare cu două necunoscute — și în lecția aceasta înveți prima metodă clasică de rezolvare: metoda substituției. Vei vedea pas cu pas cum poți „scoate” o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă, transformând tot sistemul într-o singură ecuație simplă pe care știi deja să o rezolvi. E mai logic decât sună, promit. Metoda asta apare la teze, la evaluare națională și în orice problemă care implică două condiții simultan — vârste, prețuri, distanțe. Odată ce prinzi ideea, o să fie greu să ți-o mai scoată cineva din cap.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă soluția unui sistem de două ecuații și de ce avem nevoie de două ecuații pentru două necunoscute.
Vei ști să exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-una dintre ecuații.
Vei ști să aplici metoda substituției complet, de la sistem până la perechea soluție $(x, y)$ .
Vei înțelege cum verifici dacă soluția găsită este corectă, înlocuind în ambele ecuații.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvați prin metoda substituției sistemul: $\begin{cases} x + 2y = 8 \\ 3x – y = 1 \end{cases}$

Rezolvare

Din ecuația (1) exprimi $x$ , apoi substitui în ecuația (2):

x = 8 – 2y

3(8 – 2y) – y = 1

24 – 6y – y = 1

24 – 7y = 1

7y = 23

y = \frac{23}{7}

x = 8 – 2 \cdot \frac{23}{7} = 8 – \frac{46}{7} =

\frac{56 – 46}{7} = \frac{10}{7}

\text{Soluția: } \left(\frac{10}{7},\ \frac{23}{7}\right)

Explicație

Cheia metodei substituției este că prima ecuație îți „oferă” pe $x$ exprimat prin $y$ . Înlocuind acea expresie în a doua ecuație, rămâi cu o singură necunoscută — $y$ — pe care o calculezi normal. Apoi mergi înapoi și afli $x$ . Verificarea în ambele ecuații confirmă că perechea găsită satisface simultan ambele condiții.

Idei cheie de reținut

Alege întotdeauna ecuația din care poți exprima cel mai ușor o necunoscută — de obicei cea cu coeficientul $1$ sau $-1$ .
Când substitui, înlocuiești întreaga expresie, nu doar litera — pune paranteze ca să nu greșești semnele.
Verificarea nu e opțională: înlocuiește soluția în ambele ecuații originale și confirmă că ambele devin adevărate.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă nicio necunoscută nu are coeficientul 1 — tot pot folosi metoda substituției?

Da, absolut. Exprimi oricum una dintre necunoscute, doar că vei lucra cu fracții. De exemplu, din $2x + 3y = 7$ obții $x = \frac{7 – 3y}{2}$ . E puțin mai lung, dar pașii sunt identici. De aceea, când ai de ales, merită să alegi ecuația cu coeficientul cel mai simplu — îți salvezi timp și greșeli de calcul.

Care este cea mai frecventă greșeală la metoda substituției?

Lipsa parantezelor la substituție. Dacă $x = 8 – 2y$ și înlocuiești în $3x – y$ , trebuie scris $3(8 – 2y) – y$ , nu $3 \cdot 8 – 2y – y$ . Fără paranteză, $-2y$ nu se înmulțește cu 3 și rezultatul e greșit. Pune mereu paranteză în jurul expresiei substituite — e cel mai simplu mod să eviți această capcană.

De ce nu e suficient să rezolv doar o ecuație — de ce am nevoie de sistem?

O singură ecuație liniară cu două necunoscute are o infinitate de soluții — orice pereche $(x, y)$ de pe dreapta respectivă funcționează. A doua ecuație adaugă o condiție suplimentară, iar împreună „prind” exact o singură pereche care le satisface pe amândouă simultan. Asta e puterea sistemului: două condiții = o soluție unică.

Matematică clasa a VII-a

9. Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Metoda substituției. Partea 1.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente