DISTANȚA DINTRE DOUĂ PUNCTE în sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 2 octombrie 2026

În sistemul de axe $x O y$ , distanța dintre două puncte se calculează cu teorema lui Pitagora: diferența absciselor și diferența ordonatelor sunt catetele, iar segmentul este ipotenuza. Mai jos găsești formula, cazurile particulare și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Formula distanței și de unde vine

Ia punctele $A (1, 1)$ și $B (5, 4)$ . Din $A$ mergi orizontal până în $C (5, 1)$ , apoi vertical până în $B$ . Ai făcut $5 - 1 = 4$ unități pe orizontală și $4 - 1 = 3$ unități pe verticală, iar unghiul din $C$ este drept, pentru că axele sunt perpendiculare. Din teorema lui Pitagora, $A B^{2} =$ $4^{2} + 3^{2} =$ $25$ , deci $A B = 5$ .

Segmentul

A B

este ipotenuza triunghiului dreptunghic

A C B

, cu catetele paralele cu axele:

A C = 4

C B = 3

, deci

A B = 5

La fel se procedează pentru orice două puncte $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ . Catetele au lungimile $| x_{B} - x_{A} |$ și $| y_{B} - y_{A} |$ , iar distanța este ipotenuza:

$A B =$ $\sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$

Câteva lucruri de știut când folosești formula:

Ordinea punctelor nu contează. Diferențele se ridică la pătrat, iar ${(- 3)}^{2} = 3^{2}$ , deci $A B = B A$ .
Atenție la semne. Dacă o coordonată este negativă, pune-o în paranteză: $4 - (- 3) = 4 + 3 = 7$ .
Puncte pe aceeași orizontală (aceeași ordonată): distanța este modulul diferenței absciselor, $A B = | x_{B} - x_{A} |$ . Puncte pe aceeași verticală (aceeași abscisă): $A B = | y_{B} - y_{A} |$ .
Distanța până la origine. Pentru $M (x, y)$ , distanța $O M$ este $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
Rezultatul nu iese mereu întreg. Dacă suma de sub radical nu este pătrat perfect, scoți factorii de sub radical: $\sqrt{40} =$ $2 \sqrt{10}$ .

În aceeași lecție se învață și mijlocul unui segment, ale cărui coordonate sunt mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor. Aici ne ocupăm doar de distanță, care îți folosește și la perimetre, la natura unui triunghi și la verificarea unghiurilor drepte.

Exerciții rezolvate : distanța dintre două puncte

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Aplicarea directă a formuleiușor

Calculează distanța dintre punctele $A (2, 1)$ și $B (5, 5)$ .

Rezolvare pas cu pas

Diferența absciselor: $x_{B} - x_{A} =$ $5 - 2 =$ $3$ . Diferența ordonatelor: $y_{B} - y_{A} =$ $5 - 1 =$ $4$ .
Aplici formula: $A B =$ $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} =$ $\sqrt{9 + 16} =$ $\sqrt{25}$ .
$A B = 5$ unități.

Răspuns: $A B = 5$

EXERCIȚIUL 2Segmente paralele cu axeleușor

Se dau punctele $A (- 3, 2)$ , $B (4, 2)$ , $C (1, - 4)$ și $D (1, 5)$ . Calculează lungimile segmentelor $A B$ și $C D$ .

Rezolvare pas cu pas

$A$ și $B$ au aceeași ordonată, $2$ , deci segmentul $A B$ este paralel cu axa $O x$ , iar lungimea lui este diferența absciselor, în modul.
$A B =$ $| 4 - (- 3) | =$ $| 4 + 3 | =$ $7$ .
$C$ și $D$ au aceeași abscisă, $1$ , deci $C D$ este paralel cu axa $O y$ : $C D = | 5 - (- 4) | = 9$ .
Formula generală dă același rezultat: $A B =$ $\sqrt{7^{2} + 0^{2}} =$ $7$ .

Răspuns: $A B = 7$ , $C D = 9$

EXERCIȚIUL 3Distanța până la originea axelorușor

Calculează distanța de la originea $O (0, 0)$ la punctul $M (- 6, 8)$ .

Rezolvare pas cu pas

Diferențele de coordonate față de origine sunt chiar coordonatele lui $M$ : $- 6$ și $8$ .
$O M =$ $\sqrt{{(- 6)}^{2} + 8^{2}} =$ $\sqrt{36 + 64} =$ $\sqrt{100}$ .
$O M = 10$ unități. Semnul minus nu contează, pentru că ${(- 6)}^{2} = 36$ .

Răspuns: $O M = 10$

EXERCIȚIUL 4Coordonate negative în formulămediu

Calculează lungimea segmentului $P Q$ , unde $P (- 1, - 3)$ și $Q (4, 9)$ .

Rezolvare pas cu pas

Diferența absciselor: $4 - (- 1) = 4 + 1 = 5$ .
Diferența ordonatelor: $9 - (- 3) =$ $9 + 3 =$ $12$ .
$P Q =$ $\sqrt{5^{2} + 12^{2}} =$ $\sqrt{25 + 144} =$ $\sqrt{169} =$ $13$ .

Răspuns: $P Q = 13$

EXERCIȚIUL 5Când rezultatul are radicalmediu

Calculează distanța dintre punctele $A (1, - 2)$ și $B (3, 4)$ . Scrie rezultatul cu factorii scoși de sub radical.

Rezolvare pas cu pas

Diferențele: $3 - 1 = 2$ și $4 - (- 2) = 6$ .
$A B =$ $\sqrt{2^{2} + 6^{2}} =$ $\sqrt{4 + 36} =$ $\sqrt{40}$ .
$40$ nu este pătrat perfect, dar $40 = 4 \cdot 10$ , deci $\sqrt{40} =$ $2 \sqrt{10}$ .

Răspuns: $A B = 2 \sqrt{10}$

EXERCIȚIUL 6Natura triunghiului și perimetrulmediu

Triunghiul $A B C$ are vârfurile $A (1, 1)$ , $B (5, 1)$ și $C (3, 5)$ . Stabilește ce fel de triunghi este, după laturi, și calculează perimetrul lui.

Rezolvare pas cu pas

$A$ și $B$ au aceeași ordonată: $A B = 5 - 1 = 4$ .
$A C =$ $\sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} =$ $\sqrt{4 + 16} =$ $\sqrt{20} =$ $2 \sqrt{5}$ .
$B C =$ $\sqrt{{(3 - 5)}^{2} + {(5 - 1)}^{2}} =$ $\sqrt{4 + 16} =$ $\sqrt{20} =$ $2 \sqrt{5}$ .
$A C = B C$ , iar $A B$ este diferită, deci triunghiul este isoscel, cu baza $A B$ .
Perimetrul: $4 + 2 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} =$ $4 + 4 \sqrt{5}$ unități.

Răspuns: triunghi isoscel cu baza $A B$ ; perimetrul $= 4 + 4 \sqrt{5}$

EXERCIȚIUL 7Arată că triunghiul este dreptunghicgreu

Se dau punctele $A (- 2, 1)$ , $B (2, - 1)$ și $C (4, 3)$ . Arată că triunghiul $A B C$ este dreptunghic isoscel și calculează aria lui.

Pe figură nu este marcat niciun unghi drept: faptul că unghiul din

B

este drept se demonstrează din lungimi, nu se citește din desen.

Rezolvare pas cu pas

Calculezi pătratele laturilor, ca să nu lucrezi cu radicali: $A B^{2} =$ ${(2 + 2)}^{2} + {(- 1 - 1)}^{2} =$ $16 + 4 =$ $20$ .
$B C^{2} =$ ${(4 - 2)}^{2} + {(3 + 1)}^{2} =$ $4 + 16 =$ $20$ și $A C^{2} =$ ${(4 + 2)}^{2} + {(3 - 1)}^{2} =$ $36 + 4 =$ $40$ .
$A B^{2} + B C^{2} =$ $20 + 20 =$ $40 =$ $A C^{2}$ . Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic în $B$ .
$A B^{2} = B C^{2}$ , deci $A B =$ $B C =$ $\sqrt{20} =$ $2 \sqrt{5}$ : catetele sunt egale, triunghiul este dreptunghic isoscel.
Aria: $\frac{A B \cdot B C}{2} =$ $\frac{2 \sqrt{5} \cdot 2 \sqrt{5}}{2} =$ $\frac{20}{2} =$ $10$ unități de arie.

Răspuns: triunghiul este dreptunghic isoscel în $B$ ; aria $= 10$

EXERCIȚIUL 8Coordonata necunoscută dintr-o distanță datăgreu

Punctele $A (2, 3)$ și $B (x, 7)$ se află la distanța $A B = 5$ . Află valorile posibile ale lui $x$ .

Rezolvare pas cu pas

Scrii formula distanței: $\sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(7 - 3)}^{2}} =$ $5$ .
Ridici la pătrat ambele părți: ${(x - 2)}^{2} + 16 = 25$ , deci ${(x - 2)}^{2} = 9$ .
Un număr la pătrat dă $9$ dacă numărul este $3$ sau $- 3$ : $x - 2 = 3$ sau $x - 2 = - 3$ .
Rezultă $x = 5$ sau $x = - 1$ .
Verificare: pentru $B (5, 7)$ și pentru $B (- 1, 7)$ , catetele sunt $3$ și $4$ , deci $A B = 5$ în ambele cazuri.

Răspuns: $x = 5$ sau $x = - 1$

Cum recunoști un exercițiu cu distanța dintre două puncte

Enunțul dă puncte prin coordonate, de forma $A (x, y)$ , și cere lungimea unui segment, perimetrul unei figuri sau distanța față de origine.
Ți se cere natura unui triunghi cu vârfurile date prin coordonate: calculezi toate trei laturile și le compari (isoscel, echilateral) sau verifici reciproca teoremei lui Pitagora (dreptunghic).
Distanța este dată și lipsește o coordonată: scrii formula cu necunoscuta și ajungi la o ecuație de forma $x^{2} = a$ , cu două soluții.

Greșeli frecvente la distanța dintre două puncte

Greșești semnul la scădere. Diferența dintre $4$ și $- 3$ este $4 - (- 3) = 7$ , nu $1$ . Pune coordonatele negative în paranteză înainte să scazi.
Uiți radicalul de la final. ${(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}$ este pătratul distanței. Distanța este radicalul acestei sume, nu suma însăși.
Aduni diferențele în loc să aduni pătratele lor. Pentru $A (2, 1)$ și $B (5, 5)$ , $3 + 4 = 7$ este drumul pe grilă, nu distanța. Distanța în linie dreaptă este $\sqrt{9 + 16} = 5$ .

Exersează : distanța dintre două puncte

Fișă de lucru: Sistemul de axe ortogonale xOy, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Elemente de organizare a datelor, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Distanța dintre două puncte, partea a II-aclasa a VII-a, exerciții

Din același capitol

Întrebări frecvente despre distanța dintre două puncte

Care este formula distanței dintre două puncte?

Pentru $A (x_{A}, y_{A})$ și $B (x_{B}, y_{B})$ : $A B =$ $\sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2}}$ . Scazi coordonatele, ridici diferențele la pătrat, le aduni și extragi radicalul.

Contează ce punct scriu primul în formulă?

Nu. Dacă inversezi punctele, diferențele își schimbă semnul, dar pătratele lor rămân aceleași, deci și distanța.

Distanța poate ieși negativă?

Nu. Radicalul unui număr este mereu pozitiv sau zero, iar distanța este zero doar când cele două puncte coincid.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. În sistemul de axe ortogonale XOY, punctul A are coordonatele A(3, -2). Ce reprezintă numărul -2?
2. Care este distanța dintre punctele A(1, 2) și B(4, 6)?
3. Care este formula distanței dintre două puncte $A (x_{1}, y_{1})$ și $B (x_{2}, y_{2})$ ?
4. Coordonatele mijlocului segmentului AB, cu A(2, 6) și B(8, 4), sunt:
5. Punctul M(0, -4) se află:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

SISTEME DE ECUAȚII cu text, din viața de zi cu zi - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 4: Ecuații și sisteme de ecuații liniare

PRODUSUL CARTEZIAN și sistemul de axe xOy - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

POLIGONUL FRECVENȚELOR și tabelul de frecvențe - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 5: Elemente de organizare a datelor

TEOREMA PARALELELOR ECHIDISTANTE și segmente proporționale - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

TEOREMA LUI THALES și reciproca ei - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

RECIPROCA TEOREMEI LUI THALES - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 6: Asemănarea triunghiurilor

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună