OPERAȚII CU INTERVALE pe axa numerelor - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 28 septembrie 2026

Ca să faci o operație cu intervale, le desenezi pe aceeași axă și citești rezultatul, apoi verifici separat fiecare capăt. Mai jos găsești reuniunea, intersecția, diferența și complementara unui interval, cu 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Reuniunea, intersecția și diferența intervalelor

Un interval este o mulțime de numere reale, deci cu intervalele faci aceleași operații ca cu orice mulțimi. Diferența este că nu le poți enumera elementele, așa că le desenezi: fiecare interval pe rândul lui, deasupra aceleiași axe, ca în figură.

Fiecare interval pe rândul lui: bulina plină înseamnă capăt inclus, bulina goală înseamnă capăt exclus.

Pe desen, un capăt închis (paranteză dreaptă, $[$ sau $]$ ) are bulina plină: numărul face parte din interval. Un capăt deschis (paranteză rotundă) are bulina goală: numărul nu face parte din interval. La $- \infty$ și $+ \infty$ paranteza este mereu rotundă.

Reuniunea $A \cup B$ conține numerele care sunt în cel puțin unul dintre intervale. Pe axă, e tot ce este acoperit de măcar o linie:

$A \cup B =$ ${x | x \in A sau x \in B}$

Intersecția $A \cap B$ conține numerele care sunt în ambele intervale. Pe axă, e porțiunea în care liniile se suprapun:

$A \cap B =$ ${x | x \in A și x \in B}$

Diferența $A ∖ B$ conține numerele din $A$ care nu sunt în $B$ . Pe axă, pornești de la linia lui $A$ și ștergi tot ce acoperă $B$ :

$A ∖ B =$ ${x | x \in A și x \notin B}$

Pentru figura de mai sus, cu $A = [- 1, 4)$ și $B = (2, 6]$ : $A \cup B = [- 1, 6]$ , $A \cap B = (2, 4)$ și $A ∖ B =$ $[- 1, 2]$ . Capătul $2$ intră în diferență, pentru că este în $A$ , dar nu este în $B$ .

Complementara unui interval, $ℝ ∖ A$ (notată și $∁_{ℝ} A$ ), conține toate numerele reale care nu sunt în $A$ .

Regula capetelor. Desenul îți arată forma rezultatului, dar pentru fiecare capăt pui o întrebare separată: la reuniune, „este numărul în măcar un interval?”; la intersecție, „este în amândouă?”; la diferență, „este în $A$ și lipsește din $B$ ?”. Dacă răspunsul e da, capătul este închis. Dacă intersecția nu conține niciun număr, scrii $\emptyset$ .

Exerciții rezolvate : operațiile cu intervale

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Reuniune și intersecție, capete închiseușor

Fie $A = [- 2, 3]$ și $B = [1, 6]$ . Determină $A \cup B$ și $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Pe axă, $A$ acoperă de la $- 2$ la $3$ , iar $B$ de la $1$ la $6$ . Liniile se suprapun între $1$ și $3$ .
Reuniunea începe la cel mai mic capăt, $- 2$ , și se termină la cel mai mare, $6$ . Ambele capete sunt închise: $A \cup B = [- 2, 6]$ .
Intersecția este porțiunea comună, de la $1$ la $3$ . Numărul $1$ este în ambele intervale, la fel și $3$ : $A \cap B = [1, 3]$ .

Răspuns: $A \cup B = [- 2, 6]$ , $A \cap B = [1, 3]$

EXERCIȚIUL 2Intervale care se ating într-un punctușor

Fie $A = (- 1, 4)$ și $B = [4, 8]$ . Determină $A \cup B$ și $A \cap B$ .

Rezolvare pas cu pas

Cele două intervale se întâlnesc la $4$ . Numărul $4$ nu este în $A$ (capăt deschis), dar este în $B$ (capăt închis).
Reuniunea: $4$ este în măcar un interval, deci nu apare nicio „gaură”. $A \cup B = (- 1, 8]$ .
Intersecția: un număr ar trebui să fie și mai mic decât $4$ , și cel puțin $4$ . Nu există așa ceva, deci $A \cap B = \emptyset$ .

Răspuns: $A \cup B = (- 1, 8]$ , $A \cap B = \emptyset$

EXERCIȚIUL 3Diferența în ambele sensurimediu

Fie $A = [0, 6)$ și $B = (2, 9]$ . Determină $A ∖ B$ și $B ∖ A$ .

Rezolvare pas cu pas

$A ∖ B$ : pornim de la $A$ și ștergem partea acoperită de $B$ , adică tot ce este mai mare decât $2$ .
Rămâne porțiunea de la $0$ la $2$ . Capătul $0$ este în $A$ . Capătul $2$ este în $A$ și nu este în $B$ (acolo e deschis), deci rămâne: $A ∖ B =$ $[0, 2]$ .
$B ∖ A$ : pornim de la $B$ și ștergem ce acoperă $A$ , adică tot ce este mai mic decât $6$ .
Rămâne de la $6$ la $9$ . Numărul $6$ nu este în $A$ , dar este în $B$ , deci intră; $9$ intră și el: $B ∖ A =$ $[6, 9]$ .

Răspuns: $A ∖ B =$ $[0, 2]$ , $B ∖ A =$ $[6, 9]$

EXERCIȚIUL 4Intervale nemărginitemediu

Fie $A = (- \infty, 3]$ și $B = (- 1, + \infty)$ . Determină $A \cap B$ și $A \cup B$ .

Rândul de sus este

A

, rândul de jos este

B

. O linie care ajunge până la marginea desenului continuă la infinit în acea direcție.

Rezolvare pas cu pas

$A$ conține toate numerele cel mult egale cu $3$ , iar $B$ toate numerele mai mari decât $- 1$ .
Intersecția: numerele mai mari decât $- 1$ și cel mult egale cu $3$ . Capătul $- 1$ lipsește din $B$ , capătul $3$ este în ambele: $A \cap B = (- 1, 3]$ .
Reuniunea: orice număr real este fie cel mult $3$ , fie mai mare decât $3$ , iar numerele mai mari decât $3$ sunt toate în $B$ . Deci $A \cup B =$ $ℝ$ .

Răspuns: $A \cap B = (- 1, 3]$ , $A \cup B =$ $ℝ$

EXERCIȚIUL 5Complementara unui intervalmediu

Determină $ℝ ∖ A$ pentru $A = [- 2, 5)$ .

Rezolvare pas cu pas

Căutăm numerele reale care nu sunt în $A$ . Pe axă, ele stau la stânga lui $- 2$ și la dreapta lui $5$ .
Numărul $- 2$ este în $A$ , deci nu intră în complementară: prima parte este $(- \infty, - 2)$ .
Numărul $5$ nu este în $A$ , deci intră în complementară: a doua parte este $[5, + \infty)$ .
Complementara are două bucăți, pe care le scriem ca reuniune.

Răspuns: $ℝ ∖ A =$ $(- \infty, - 2) \cup [5, + \infty)$

EXERCIȚIUL 6Mulțimi date prin inegalitățimediu

Fie $A =$ ${x \in ℝ | - 1 \leq x < 4}$ și $B =$ ${x \in ℝ | x \geq 2}$ . Scrie $A$ și $B$ ca intervale, apoi determină $A \cap B$ și $A ∖ B$ .

Rezolvare pas cu pas

Semnul $\leq$ dă capăt închis, semnul $<$ dă capăt deschis: $A = [- 1, 4)$ .
$B$ conține toate numerele cel puțin egale cu $2$ : $B = [2, + \infty)$ .
Intersecția: numerele cel puțin egale cu $2$ și mai mici decât $4$ : $A \cap B = [2, 4)$ .
Diferența: din $A$ scoatem tot ce este cel puțin $2$ . Rămân numerele de la $- 1$ inclusiv până la $2$ exclusiv, pentru că $2$ este în $B$ : $A ∖ B =$ $[- 1, 2)$ .

Răspuns: $A \cap B = [2, 4)$ , $A ∖ B =$ $[- 1, 2)$

EXERCIȚIUL 7Numerele întregi din intersecțiegreu

Fie $A = (- 4, 3]$ și $B = [- 1, 7)$ . Determină $A \cup B$ , $A \cap B$ și numărul de elemente al mulțimii $(A \cap B) \cap ℤ$ .

Rezolvare pas cu pas

Reuniunea merge de la $- 4$ la $7$ . Numărul $- 4$ nu este în niciun interval, iar $7$ nici el: $A \cup B = (- 4, 7)$ .
Intersecția este porțiunea comună, de la $- 1$ la $3$ . Numărul $- 1$ este în $A$ și în $B$ , numărul $3$ la fel: $A \cap B = [- 1, 3]$ .
Numerele întregi din $[- 1, 3]$ sunt $- 1$ , $0$ , $1$ , $2$ și $3$ .
Mulțimea $(A \cap B) \cap ℤ =$ ${- 1,$ $0,$ $1,$ $2,$ $3}$ are $5$ elemente.

Răspuns: $A \cup B = (- 4, 7)$ , $A \cap B = [- 1, 3]$ , iar $(A \cap B) \cap ℤ$ are $5$ elemente

EXERCIȚIUL 8Mulțimi definite cu modulgreu

Fie $A =$ ${x \in ℝ | | x - 1 | \leq 3}$ și $B =$ ${x \in ℝ | | x | > 2}$ . Determină $A \cap B$ și $A ∖ B$ .

Rezolvare pas cu pas

$| x - 1 | \leq 3$ înseamnă $- 3 \leq x - 1 \leq 3$ . Adunăm $1$ în toate cele trei părți: $- 2 \leq x \leq 4$ , deci $A = [- 2, 4]$ .
$| x | > 2$ înseamnă $x < - 2$ sau $x > 2$ , deci $B =$ $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ .
Intersecția: din $A$ păstrăm doar numerele mai mici decât $- 2$ (nu există, pentru că $A$ începe la $- 2$ ) și pe cele mai mari decât $2$ . Rezultă $A \cap B = (2, 4]$ .
Diferența: din $A$ scoatem ce este în $B$ . Numărul $- 2$ rămâne, pentru că $| - 2 | = 2$ nu este mai mare decât $2$ ; la fel $2$ . Deci $A ∖ B =$ $[- 2, 2]$ .

Răspuns: $A \cap B = (2, 4]$ , $A ∖ B =$ $[- 2, 2]$

Cum recunoști ce operație cu intervale ți se cere

Semnul $\cup$ cere tot ce este acoperit de măcar un interval. Rezultatul rămâne în două bucăți dacă între intervale există măcar un număr neacoperit, de exemplu $(1, 4) \cup (4, 8)$ , unde lipsește $4$ .
Semnul $\cap$ cere doar porțiunea comună. Dacă intervalele nu se suprapun deloc, răspunsul este $\emptyset$ .
Semnul $∖$ sau scrierea $ℝ ∖ A$ cere să ștergi un interval din altul. Aici capetele se schimbă cel mai des din închise în deschise și invers.

Greșeli frecvente la operațiile cu intervale

Copiezi parantezele fără să verifici capetele. La $[0, 6) ∖ (2, 9]$ , capătul $2$ era deschis în $B$ , dar în rezultat este închis: $[0, 2]$ .
Lipești două intervale care nu se ating. $[1, 3] \cup [5, 8]$ nu este $[1, 8]$ . Numerele dintre $3$ și $5$ nu sunt în niciun interval, deci rezultatul rămâne scris ca reuniune.
Pui paranteză dreaptă la infinit. $+ \infty$ și $- \infty$ nu sunt numere, deci nu pot fi incluse. Scrii mereu $[5, + \infty)$ , niciodată $[5, + \infty]$ .

Exersează : operațiile cu intervale

Fișă de lucru: Operații cu intervale, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții, cu rezolvări Test: Intervale, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Intervale numerice și reprezentarea lor pe axăclasa a VIII-a, PDF de printat

Din același capitol

Întrebări frecvente despre operațiile cu intervale

Cum știu dacă un capăt este inclus în rezultat?

Îl verifici separat, cu definiția operației. La intersecție, capătul trebuie să fie în ambele intervale; la reuniune, în măcar unul; la diferență, în primul și nu în al doilea.

Ce scriu dacă intersecția a două intervale nu are niciun număr?

Scrii mulțimea vidă, $\emptyset$ . Se întâmplă când intervalele nu se suprapun sau se ating doar într-un capăt inclus într-unul singur, ca la exercițiul 2.

Poate reuniunea a două intervale să nu fie un interval?

Da. Dacă între ele rămâne o porțiune neacoperită, rezultatul se scrie ca reuniune de două intervale, de exemplu $(- \infty, - 2) \cup [5, + \infty)$ .

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este rezultatul intersecției intervalelor $[- 2, 5]$ și $[3, 8]$ ?
2. Care este rezultatul reuniunii intervalelor $(- 1, 4)$ și $[2, 7]$ ?
3. Fie intervalele $A = (- \infty, 3)$ și $B = [1, + \infty)$ . Ce reprezintă $A \cap B$ ?
4. Care este complementara intervalului $A = [2, 6]$ față de mulțimea numerelor reale $ℝ$ ?
5. Care este rezultatul operației $[- 3, 7] ∖ [1, 4]$ (diferența de mulțimi)?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 28 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA HEXAGONALĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună