de Echipa Școala Virtuală22 august 2026

Șiruri de numere naturale: formulă + 5 exerciții rezolvate

Dai peste un exercițiu cu șiruri de numere naturale și te uiți la el ca la un cod secret. Sunt niște numere scrise la rând, cu câteva puncte la final, și ți se cere „termenul următor" sau „regula șirului". Și tu te gândești: ce regulă? eu nu văd nicio regulă. Ei bine, tocmai asta-i frumos la siruri de numere naturale — regula există întotdeauna, tu trebuie doar să o descoperi. Și știi ce? E mai simplu decât pare. E ca și cum cineva a ambalat bomboane după un tipar fix și tu trebuie să ghicești tiparul. Odată ce îl vezi, nu mai poți să nu-l vezi.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este un șir de numere naturale și cum îl recunoști
Vei ști să identifici regula unui șir (adunare, scădere, înmulțire, împărțire)
Vei calcula orice termen dintr-un șir dacă îi cunoști formula
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest capitol

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un șir de numere naturale?

Un șir e o listă de numere scrise într-o ordine precisă, după o regulă fixă. Nu e o îngrămădeală de numere — e o succesiune în care fiecare număr e legat de cel dinaintea lui printr-o lege clară. De exemplu: 2, 5, 8, 11, 14... Observi ceva? La fiecare pas adaugi 3. Asta-i regula. Simplu. Fiecare număr din șir se numește termen. Primul termen e notat $a_{1}$ , al doilea $a_{2}$ , al treilea $a_{3}$ și tot așa. Practic, dacă știi unde e termenul în șir (locul lui), poți calcula valoarea lui. Există mai multe tipuri de șiruri, dar cel mai des întâlnit la clasa 5-8 e șirul aritmetic — cel în care diferența dintre doi termeni consecutivi e mereu aceeași.

💡 Regula de bază

Într-un șir aritmetic, adaugi (sau scazi) același număr la fiecare pas. Acel număr se numește rație și se notează $r$ . Formula termenului de pe locul $n$ este: $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ , unde $a_{1}$ e primul termen și $n$ e poziția termenului pe care îl cauți.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Se dă șirul: 3, 7, 11, 15, 19, ... Găsește al 10-lea termen al șirului.

🔢 Rezolvare

a_{1} = 3

r = 7 - 3 = 4

a_{10} = a_{1} + (10 - 1) \cdot r = 3 + 9 \cdot 4

a_{10} = 3 + 36 = 39

✅ Explicație

Mai întâi am aflat rația scăzând doi termeni consecutivi — 7 minus 3 dă 4, deci la fiecare pas adăugăm 4. Apoi am aplicat formula: pornim de la primul termen și adăugăm rația de 9 ori (nu de 10 ori! — asta e capcana). De ce 9? Că de la termenul 1 la termenul 10 avem 9 pași, nu 10.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La formula $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$ , mulți scriu $n$ în loc de $(n - 1)$ . Adică pentru al 10-lea termen înmulțesc rația cu 10, nu cu 9.

✅ Corect: Gândește-te așa — primul termen e deja dat, nu-l mai construiești. Deci faci doar $n - 1$ pași. De la locul 1 la locul 10 ai 9 pași. Scade mereu 1 din poziție înainte să înmulțești.

❌ Greșeala #2: Elevii calculează rația greșit când șirul e descrescător. Dacă șirul e 20, 17, 14, 11..., unii scriu rația ca 3 (pozitiv), nu -3.

✅ Corect: Rația se calculează scăzând termenul dinainte din cel următor: $r = a_{2} - a_{1} = 17 - 20 = - 3$ . Dacă șirul scade, rația e negativă. Formula funcționează la fel, dar rezultatul va fi mai mic pe măsură ce $n$ crește.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Se dă șirul 5, 10, 15, 20, 25, ... Găsește al 6-lea termen.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a_{1} = 5, r = 10 - 5 = 5

a_{6} = 5 + (6 - 1) \cdot 5

a_{6} = 5 + 25 = 30

Rația e 5 — e șirul multiplilor lui 5. Aplicăm formula cu $n - 1 = 5$ pași și gata.

Răspuns: Al 6-lea termen este 30.

Exercițiul 2. Șirul 30, 26, 22, 18, ... este un șir descrescător. Găsește al 7-lea termen.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a_{1} = 30, r = 26 - 30 = - 4

a_{7} = 30 + (7 - 1) \cdot (- 4)

a_{7} = 30 + 6 \cdot (- 4) = 30 - 24 = 6

Rația e negativă pentru că șirul scade. Formula e aceeași — atenție doar la semnul minus când înmulțești.

Răspuns: Al 7-lea termen este 6.

Exercițiul 3. Primul termen al unui șir aritmetic este $a_{1} = 8$ , iar rația este $r = 6$ . Calculează suma primilor 4 termeni ai șirului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a_{1} = 8

a_{2} = 8 + 6 = 14

a_{3} = 14 + 6 = 20

a_{4} = 20 + 6 = 26

S = 8 + 14 + 20 + 26 = 68

Când se cere suma și numărul de termeni e mic, cel mai simplu e să construiești șirul termen cu termen și să aduni la final. Rapid și fără risc de greșeală.

Răspuns: Suma primilor 4 termeni este 68.

Exercițiul 4. Știi că al 3-lea termen al unui șir aritmetic este 17 și al 5-lea termen este 27. Găsește rația și primul termen al șirului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

a_{5} - a_{3} = 2 \cdot r

27 - 17 = 2 \cdot r

10 = 2 \cdot r \Rightarrow r = 5

a_{1} = a_{3} - 2 \cdot r = 17 - 2 \cdot 5 = 17 - 10 = 7

De la termenul 3 la termenul 5 sunt exact 2 pași — deci diferența dintre ei e $2 \cdot r$ . Odată aflată rația, mergi înapoi din $a_{3}$ pentru a găsi $a_{1}$ .

Răspuns: Rația este $r = 5$ , iar primul termen este $a_{1} = 7$ .

Exercițiul 5. Provocare: Un elev economisește bani în fiecare săptămână. În prima săptămână pune deoparte 12 lei, în a doua 17 lei, în a treia 22 lei — și tot așa, după aceeași regulă. Câți lei pune deoparte în a 8-a săptămână? Câți lei a strâns în total după 8 săptămâni?

Vezi rezolvarea pas cu pas

a_{1} = 12, r = 17 - 12 = 5

a_{8} = 12 + (8 - 1) \cdot 5 = 12 + 35 = 47

a_{2} = 17, a_{3} = 22, a_{4} = 27, a_{5} = 32, a_{6} = 37, a_{7} = 42

S = 12 + 17 + 22 + 27 + 32 + 37 + 42 + 47 = 236

Mai întâi am calculat termenul 8 cu formula. Apoi, pentru sumă, am construit toți termenii și i-am adunat — 236 lei în 8 săptămâni. Nu-i rău pentru un plan de economii!

Răspuns: În a 8-a săptămână pune deoparte 47 lei. Total strâns: 236 lei.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un șir este aritmetic sau nu?

Calculezi diferența dintre fiecare pereche de termeni consecutivi. Dacă diferența e mereu aceeași, șirul e aritmetic. De exemplu: 4, 9, 14, 19 — diferențele sunt toate 5. Dacă diferențele variază (4, 9, 16, 25 — diferențe de 5, 7, 9), atunci nu e un șir aritmetic simplu, ci altceva.

Rația poate fi zero? Ce se întâmplă atunci?

Da, poate fi zero — și înseamnă că toți termenii sunt egali. De exemplu: 7, 7, 7, 7,... e un șir aritmetic cu $r = 0$ . E un caz special, dar e perfect valid. Formula funcționează la fel: $a_{n} = 7 + (n - 1) \cdot 0 = 7$ .

Trebuie să știu formula pe de rost sau o pot deduce?

Sincer? Cel mai bine e s-o înțelegi, nu s-o memorezi. Dacă știi că pornești de la $a_{1}$ și adaugi rația de $(n - 1)$ ori, formula vine natural. Eu recomand să o scrii de câteva ori și să o aplici — după 3-4 exerciții, o știi fără să te gândești.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Șiruri de numere naturale. Numărul de termeni și regula de formare a acestora.

Exersează cu fișa de lucru: Șiruri de numere naturale — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Instantele comunicarii narative explicate pentru clasele 5-8

21 august 2026

Scăderea numerelor naturale: 5 exerciții rezolvate

21 august 2026

Indicativul explicat cu exemple și 5 exerciții rezolvate

21 august 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună