VALOAREA MINIMĂ A UNEI EXPRESII și valoarea maximă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 30 septembrie 2026

Ca să afli valoarea minimă a unei expresii, o scrii sub forma ${(x - a)}^{2} + b$ . Cum un pătrat nu poate fi negativ, expresia este cel puțin $b$ , iar valoarea minimă $b$ se obține pentru $x = a$ . Mai jos găsești metoda formării pătratului perfect, cazul valorii maxime și 9 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Metoda pătratului perfect

Totul pornește de la o singură proprietate: pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero, iar egalitatea are loc doar când numărul este zero.

${(x - a)}^{2} \geq 0,$ $pentru orice x \in ℝ$

Valoarea minimă. Dacă adaugi $b$ în ambele părți, obții ${(x - a)}^{2} + b \geq b$ . Deci expresia $E (x) = {(x - a)}^{2} + b$ nu coboară niciodată sub $b$ , iar pentru $x = a$ pătratul este $0$ și $E (a) = b$ . Așadar valoarea minimă este $b$ și se atinge pentru $x = a$ .

Valoarea maximă. La $E (x) = b - {(x - a)}^{2}$ scazi din $b$ un număr pozitiv sau zero, deci $E (x) \leq b$ . Valoarea maximă este $b$ , tot pentru $x = a$ . O astfel de expresie nu are valoare minimă.

Cum formezi pătratul perfect. Pornești de la $x^{2} + p x + q$ . Scrii termenul din mijloc ca dublu produs, $p x =$ $2 \cdot x \cdot \frac{p}{2}$ , apoi adaugi și scazi ${(\frac{p}{2})}^{2}$ :

$x^{2} - 6 x + 11 =$ $x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 9 - 9 + 11$

$x^{2} - 6 x + 11 =$ ${(x - 3)}^{2} + 2$

Aici valoarea minimă este $2$ , pentru $x = 3$ . Folosești formulele de calcul prescurtat ${(x \pm a)}^{2} =$ $x^{2} \pm 2 a x + a^{2}$ . Dacă termenul cu $x^{2}$ are semnul minus, dai întâi factor comun pe $- 1$ și obții o expresie cu valoare maximă. Aceeași idee merge și cu modulul, pentru că și $| x - a | \geq 0$ : expresia $| x - a | + b$ are valoarea minimă $b$ .

Exerciții rezolvate : valoarea minimă a unei expresii

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Expresia este deja pătrat plus numărușor

Află valoarea minimă a expresiei $E (x) = {(x - 5)}^{2} + 3$ , $x \in ℝ$ , și numărul $x$ pentru care se obține.

Rezolvare pas cu pas

Pentru orice număr real $x$ , ${(x - 5)}^{2} \geq 0$ .
Adaugi $3$ : ${(x - 5)}^{2} + 3 \geq 3$ , deci $E (x) \geq 3$ .
Egalitatea are loc când $x - 5 = 0$ , adică $x = 5$ : $E (5) = 0 + 3 = 3$ .

Răspuns: valoarea minimă este $3$ , pentru $x = 5$

EXERCIȚIUL 2O expresie cu valoare maximăușor

Află valoarea maximă a expresiei $E (x) = 7 - {(x + 2)}^{2}$ , $x \in ℝ$ .

Rezolvare pas cu pas

${(x + 2)}^{2} \geq 0$ , deci din $7$ se scade mereu un număr pozitiv sau zero.
Rezultă $E (x) \leq 7$ .
Valoarea $7$ se obține când $x + 2 = 0$ , adică $x = - 2$ .
Expresia nu are valoare minimă: cu cât $x$ se depărtează de $- 2$ , cu atât $E (x)$ scade mai mult.

Răspuns: valoarea maximă este $7$ , pentru $x = - 2$

EXERCIȚIUL 3Primul pătrat format de tineușor

Scrie expresia $E (x) = x^{2} - 8 x + 20$ sub forma ${(x - a)}^{2} + b$ și află valoarea ei minimă.

Rezolvare pas cu pas

$8 x =$ $2 \cdot x \cdot 4$ , deci îți trebuie $4^{2} = 16$ ca să formezi pătratul ${(x - 4)}^{2}$ .
$E (x) =$ $x^{2} - 8 x + 16 + 4 =$ ${(x - 4)}^{2} + 4$ , pentru că $20 = 16 + 4$ .
${(x - 4)}^{2} \geq 0$ , deci $E (x) \geq 4$ , cu egalitate pentru $x = 4$ .

Răspuns: $E (x) = {(x - 4)}^{2} + 4$ ; valoarea minimă este $4$ , pentru $x = 4$

EXERCIȚIUL 4Minimul poate fi negativmediu

Află valoarea minimă a expresiei $E (x) =$ $x^{2} + 10 x + 18$ , $x \in ℝ$ .

Rezolvare pas cu pas

$10 x =$ $2 \cdot x \cdot 5$ , deci adaugi și scazi $5^{2} = 25$ .
$E (x) =$ $x^{2} + 10 x + 25 - 25 + 18 =$ ${(x + 5)}^{2} - 7$ .
${(x + 5)}^{2} \geq 0$ , deci $E (x) \geq - 7$ .
Valoarea $- 7$ se obține pentru $x + 5 = 0$ , adică $x = - 5$ . Valoarea minimă poate fi un număr negativ.

Răspuns: valoarea minimă este $- 7$ , pentru $x = - 5$

EXERCIȚIUL 5Coeficientul lui x² nu este 1mediu

Află valoarea minimă a expresiei $E (x) =$ $4 x^{2} - 12 x + 13$ , $x \in ℝ$ .

Rezolvare pas cu pas

$4 x^{2} = {(2 x)}^{2}$ și $12 x =$ $2 \cdot 2 x \cdot 3$ , deci pătratul căutat este ${(2 x - 3)}^{2} =$ $4 x^{2} - 12 x + 9$ .
$E (x) =$ $4 x^{2} - 12 x + 9 + 4 =$ ${(2 x - 3)}^{2} + 4$ .
${(2 x - 3)}^{2} \geq 0$ , deci $E (x) \geq 4$ .
Egalitate pentru $2 x - 3 = 0$ , adică $x = \frac{3}{2}$ .

Răspuns: valoarea minimă este $4$ , pentru $x = \frac{3}{2}$

EXERCIȚIUL 6Semnul minus în fața lui x²mediu

Află valoarea maximă a expresiei $E (x) = - x^{2} + 6 x - 2$ , $x \in ℝ$ .

Rezolvare pas cu pas

Dai factor comun pe $- 1$ la primii doi termeni: $E (x) =$ $- (x^{2} - 6 x) - 2$ .
Formezi pătratul în paranteză: $x^{2} - 6 x =$ ${(x - 3)}^{2} - 9$ .
$E (x) =$ $- [{(x - 3)}^{2} - 9] - 2 =$ $- {(x - 3)}^{2} + 9 - 2 =$ $7 - {(x - 3)}^{2}$ .
Deci $E (x) \leq 7$ , cu egalitate pentru $x = 3$ .

Răspuns: valoarea maximă este $7$ , pentru $x = 3$

EXERCIȚIUL 7Două variabile, două pătrategreu

Află valoarea minimă a expresiei $E (x, y) =$ $x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y + 15$ , unde $x$ și $y$ sunt numere reale, și perechea $(x, y)$ pentru care se obține.

Rezolvare pas cu pas

Grupezi termenii după variabile: $E =$ $(x^{2} - 6 x) + (y^{2} + 4 y) + 15$ .
$x^{2} - 6 x =$ ${(x - 3)}^{2} - 9$ și $y^{2} + 4 y =$ ${(y + 2)}^{2} - 4$ .
$E =$ ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 9 - 4 + 15 =$ ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + 2$ .
Suma a două pătrate este cel puțin $0$ , deci $E \geq 2$ . Egalitatea cere ca ambele pătrate să fie zero: $x = 3$ și $y = - 2$ .

Răspuns: valoarea minimă este $2$ , pentru $x = 3$ și $y = - 2$

EXERCIȚIUL 8Maximul unei fracțiigreu

Află valoarea maximă a expresiei $F (x) =$ $\frac{12}{x^{2} - 2 x + 4}$ , $x \in ℝ$ .

Rezolvare pas cu pas

Numitorul se scrie $x^{2} - 2 x + 4 =$ ${(x - 1)}^{2} + 3$ , deci este cel puțin $3$ și nu se anulează niciodată.
Numărătorul $12$ este fix. O fracție cu numărător pozitiv fix este cu atât mai mare cu cât numitorul este mai mic.
Cel mai mic numitor este $3$ , pentru $x = 1$ . Atunci $F (1) =$ $\frac{12}{3} =$ $4$ .
Pentru orice alt $x$ , numitorul este mai mare decât $3$ , deci $F (x)$ este mai mic decât $4$ .

Răspuns: valoarea maximă este $4$ , pentru $x = 1$

EXERCIȚIUL 9Tip Evaluare Națională: calcul, minim și numere întregigreu

Se consideră expresia $E (x) =$ ${(x + 2)}^{2} + {(x - 4)}^{2} - x^{2}$ , unde $x$ este număr real. a) Arată că $E (x) = x^{2} - 4 x + 20$ . b) Arată că $E (x) \geq 16$ , pentru orice număr real $x$ . c) Determină numerele întregi $x$ pentru care $E (x) \leq 20$ .

Rezolvare pas cu pas

a) ${(x + 2)}^{2} =$ $x^{2} + 4 x + 4$ și ${(x - 4)}^{2} =$ $x^{2} - 8 x + 16$ .
$E (x) =$ $x^{2} + 4 x + 4 + x^{2} - 8 x + 16 - x^{2} =$ $x^{2} - 4 x + 20$ .
b) $E (x) =$ $x^{2} - 4 x + 4 + 16 =$ ${(x - 2)}^{2} + 16$ . Cum ${(x - 2)}^{2} \geq 0$ , rezultă $E (x) \geq 16$ .
c) $E (x) \leq 20$ înseamnă ${(x - 2)}^{2} + 16 \leq 20$ , adică ${(x - 2)}^{2} \leq 4$ , deci $| x - 2 | \leq 2$ .
Rezultă $- 2 \leq x - 2 \leq 2$ , adică $0 \leq x \leq 4$ . Numerele întregi sunt $0, 1, 2, 3, 4$ .

Răspuns: a) demonstrat; b) $E (x) =$ ${(x - 2)}^{2} + 16 \geq 16$ ; c) $x \in {0,$ $1,$ $2,$ $3,$ $4}$

Cum recunoști un exercițiu pe valoarea minimă a unei expresii

Enunțul cere „valoarea minimă”, „valoarea maximă”, „cea mai mică valoare” sau „arată că $E (x) \geq$ un număr”.
Expresia conține $x^{2}$ și $x$ la puterea întâi: completezi pătratul perfect.
Expresia are două variabile, fiecare la pătrat: formezi câte un pătrat pentru fiecare variabilă și aduni ce rămâne.

Greșeli frecvente la valoarea minimă a unei expresii

Adaugi un număr ca să formezi pătratul, dar uiți să-l scazi. Dacă la $x^{2} - 6 x + 11$ adaugi $9$ , trebuie să scazi imediat tot $9$ . Altfel ai schimbat expresia, nu ai rescris-o.
Încurci valoarea minimă cu numărul x pentru care se atinge. La ${(x - 4)}^{2} + 1$ , valoarea minimă este $1$ (rezultatul expresiei), iar ea se atinge pentru $x = 4$ . Sunt două răspunsuri diferite și le scrii pe amândouă.
Semnul greșit la x. Din ${(x + 5)}^{2}$ rezultă $x = - 5$ , nu $x = 5$ . Pune condiția ca paranteza să fie zero și rezolvă ecuația.

Exersează : valoarea minimă a unei expresii

Fișă de lucru: Minimul sau maximul unei expresii, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Minimul sau maximul unei expresiiclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre valoarea minimă a unei expresii

Orice expresie are o valoare minimă?

Nu. O expresie de forma ${(x - a)}^{2} + b$ are valoare minimă, dar nu are valoare maximă. Una de forma $b - {(x - a)}^{2}$ are valoare maximă, dar nu are minimă. O expresie de gradul întâi, ca $2 x + 1$ , nu are nici minim, nici maxim pe mulțimea numerelor reale.

Cum știu ce număr adaug ca să formez pătratul?

Iei coeficientul lui $x$ , îl împarți la 2 și ridici rezultatul la pătrat. La $x^{2} - 10 x$ : $10 : 2 = 5$ , iar $5^{2} = 25$ , deci $x^{2} - 10 x =$ ${(x - 5)}^{2} - 25$ .

Trebuie să scriu și pentru ce x se atinge minimul?

Da. Ca să arăți că $b$ chiar este valoarea minimă (nu doar o margine), trebuie să arăți că expresia ajunge la $b$ pentru un anumit $x$ . Fără acest (x), demonstrația este incompletă.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este valoarea minimă a expresiei $x^{2} - 6 x + 11$ ?
2. Expresia $- x^{2} + 4 x - 1$ are un maxim sau un minim? Care este acea valoare?
3. Pentru ce valoare a lui $x$ expresia ${(x + 5)}^{2} + 7$ atinge valoarea minimă?
4. Care este valoarea maximă a expresiei $3 - {(x - 1)}^{2}$ ?
5. Care dintre expresiile de mai jos are valoarea minimă egală cu $0$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 30 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA HEXAGONALĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună