DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI factor comun, formule, grupare - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · publicat 2 octombrie 2026

A descompune în factori o expresie înseamnă a o scrie ca un produs, iar primul pas este mereu scoaterea factorului comun. Mai jos găsești cele patru metode, ordinea în care le încerci și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cele patru metode de descompunere în factori

O expresie precum $3 x^{2} + 6 x$ este o sumă. Aceeași expresie scrisă $3 x (x + 2)$ este un produs de factori. Trecerea de la sumă la produs se numește descompunere în factori. Este drumul invers față de desfacerea parantezelor, așa că orice rezultat îl verifici înmulțind înapoi.

1. Metoda factorului comun. Cauți ce se repetă în toți termenii și scoți în fața parantezei. Factorul comun este produsul dintre cel mai mare divizor comun al coeficienților și literele comune, fiecare la cea mai mică putere la care apare:

$a b + a c = a (b + c)$

Factorul comun poate fi și o paranteză întreagă: $x (y - 1) + 4 (y - 1) =$ $(y - 1) (x + 4)$ . Dacă un termen este chiar egal cu factorul comun, în paranteză rămâne $1$ , care se scrie obligatoriu.

2. Formulele de calcul prescurtat, citite de la dreapta la stânga. Două formule se folosesc aproape în fiecare exercițiu:

$a^{2} - b^{2} =$ $(a - b) (a + b)$

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} =$ ${(a \pm b)}^{2}$

Prima se aplică la o diferență de două pătrate. A doua se aplică la trei termeni în care primul și ultimul sunt pătrate, iar termenul din mijloc este dublul produsului lor. Formulele le găsești explicate pe larg în articolul despre formulele de calcul prescurtat.

3. Gruparea termenilor. Când expresia are patru termeni și nu există un factor comun tuturor, îi împarți în două grupe de câte doi. Din fiecare grupă scoți factor comun și, dacă ai ales bine, rămâne aceeași paranteză, care devine noul factor comun.

4. Metode combinate. Multe expresii cer două sau trei metode, una după alta. Ordinea care funcționează aproape mereu este:

scoți factorul comun, dacă există;
te uiți la paranteza rămasă: are două pătrate cu minus între ele sau trei termeni care formează un pătrat perfect?
dacă are patru termeni, încerci gruparea;
te oprești doar când niciun factor nu mai poate fi descompus. Atunci descompunerea este completă.

Un semn bun: dacă după primul pas vezi $x^{2} - 9$ , $4 a^{2} - 25$ sau $x^{2} - 6 x + 9$ într-o paranteză, exercițiul nu s-a terminat.

Exerciții rezolvate : descompunerea în factori

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Factor comun cu litere și coeficiențiușor

Descompune în factori expresia $6 x^{2} y - 9 x y^{2} + 3 x y$ .

Rezolvare pas cu pas

Coeficienții sunt $6$ , $9$ și $3$ , iar cel mai mare divizor comun al lor este $3$ .
Litera $x$ apare în toți termenii, cu puterea cea mai mică $1$ ; la fel litera $y$ . Factorul comun este $3 x y$ .
Împarți fiecare termen la $3 x y$ : $6 x^{2} y : 3 x y = 2 x$ , $9 x y^{2} : 3 x y = 3 y$ , $3 x y : 3 x y = 1$ .
Rezultatul: $6 x^{2} y - 9 x y^{2} + 3 x y =$ $3 x y (2 x - 3 y + 1)$ .
Verificare: $3 x y \cdot 2 x - 3 x y \cdot 3 y +$ $3 x y \cdot 1 =$ $6 x^{2} y - 9 x y^{2} + 3 x y$ .

Răspuns: $3 x y (2 x - 3 y + 1)$

EXERCIȚIUL 2Paranteza ca factor comunușor

Descompune în factori: a) $a (x - 2) + 5 (x - 2)$ ; b) $3 x (x + 4) - (x + 4)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ambii termeni conțin paranteza $(x - 2)$ , deci ea este factorul comun.
Ce rămâne din fiecare termen: $a$ și $5$ . Rezultă $a (x - 2) + 5 (x - 2) =$ $(x - 2) (a + 5)$ .
b) Factorul comun este $(x + 4)$ . Al doilea termen se poate scrie $- 1 \cdot (x + 4)$ , deci din el rămâne $- 1$ .
Rezultă $3 x (x + 4) - (x + 4) =$ $(x + 4) (3 x - 1)$ .

Răspuns: a) $(x - 2) (a + 5)$ ; b) $(x + 4) (3 x - 1)$

EXERCIȚIUL 3Diferența de pătrate, cu litere și cu numereușor

a) Descompune în factori $49 x^{2} - 25$ . b) Calculează rapid $37^{2} - 13^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Ambii termeni sunt pătrate: $49 x^{2} = {(7 x)}^{2}$ și $25 = 5^{2}$ , iar între ei este minus.
Aplici $a^{2} - b^{2} =$ $(a - b) (a + b)$ cu $a = 7 x$ și $b = 5$ : $49 x^{2} - 25 =$ $(7 x - 5) (7 x + 5)$ .
b) Aceeași formulă merge și cu numere: $37^{2} - 13^{2} =$ $(37 - 13) (37 + 13)$ .
$(37 - 13) (37 + 13) =$ $24 \cdot 50 =$ $1200$ , fără să mai calculezi pătratele.

Răspuns: a) $(7 x - 5) (7 x + 5)$ ; b) $1200$

EXERCIȚIUL 4Recunoaște pătratul unui binommediu

Descompune în factori: a) $x^{2} - 10 x + 25$ ; b) $9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2}$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Primul termen este $x^{2}$ , ultimul este $25 = 5^{2}$ . Dublul produsului lor este $2 \cdot x \cdot 5 =$ $10 x$ , exact termenul din mijloc, cu semnul minus.
Deci $x^{2} - 10 x + 25 =$ ${(x - 5)}^{2}$ .
b) $9 a^{2} = {(3 a)}^{2}$ și $4 b^{2} = {(2 b)}^{2}$ , iar $2 \cdot 3 a \cdot 2 b =$ $12 a b$ , termenul din mijloc, cu plus.
Deci $9 a^{2} + 12 a b + 4 b^{2} =$ ${(3 a + 2 b)}^{2}$ .

Răspuns: a) ${(x - 5)}^{2}$ ; b) ${(3 a + 2 b)}^{2}$

EXERCIȚIUL 5Gruparea a patru termenimediu

Descompune în factori expresia $x y + 3 x - 2 y - 6$ .

Rezolvare pas cu pas

Nu există un factor comun tuturor celor patru termeni, așa că îi grupezi câte doi: $(x y + 3 x) + (- 2 y - 6)$ .
Din prima grupă scoți $x$ : $x y + 3 x = x (y + 3)$ .
Din a doua grupă scoți $- 2$ , ca să obții aceeași paranteză: $- 2 y - 6 = - 2 (y + 3)$ .
Acum $(y + 3)$ este factor comun: $x (y + 3) - 2 (y + 3) =$ $(y + 3) (x - 2)$ .
Verificare: $(y + 3) (x - 2) =$ $x y - 2 y + 3 x - 6$ , adică expresia inițială.

Răspuns: $(y + 3) (x - 2)$

EXERCIȚIUL 6Factor comun, apoi diferența de pătratemediu

Descompune complet în factori expresia $5 x^{3} - 45 x$ .

Rezolvare pas cu pas

Primul pas este factorul comun: coeficienții $5$ și $45$ au c.m.m.d.c. $5$ , iar $x$ apare cu puterea minimă $1$ . Scoți $5 x$ .
$5 x^{3} - 45 x =$ $5 x (x^{2} - 9)$ .
Paranteza $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2}$ este o diferență de pătrate: $x^{2} - 9 =$ $(x - 3) (x + 3)$ .
Descompunerea completă: $5 x^{3} - 45 x =$ $5 x (x - 3) (x + 3)$ .

Răspuns: $5 x (x - 3) (x + 3)$

EXERCIȚIUL 7Pătrat perfect ascuns în expresiegreu

Descompune complet în factori: a) $x^{2} - 6 x + 9 - y^{2}$ ; b) $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Primii trei termeni formează un pătrat perfect: $x^{2} - 6 x + 9 =$ ${(x - 3)}^{2}$ .
Expresia devine ${(x - 3)}^{2} - y^{2}$ , o diferență de pătrate cu $a = x - 3$ și $b = y$ .
Rezultă $(x - 3 - y) (x - 3 + y)$ .
b) Factorul comun este $4 x$ : $4 x^{3} - 24 x^{2} + 36 x =$ $4 x (x^{2} - 6 x + 9)$ .
Paranteza este pătratul unui binom: $x^{2} - 6 x + 9 =$ ${(x - 3)}^{2}$ , deci rezultatul este $4 x {(x - 3)}^{2}$ .

Răspuns: a) $(x - 3 - y) (x - 3 + y)$ ; b) $4 x {(x - 3)}^{2}$

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Națională: expresie descompusă, apoi calculatăgreu

Se consideră expresia $E (x) =$ $x^{2} - 4 + (x + 2) (2 x - 1)$ , unde $x$ este un număr real. a) Descompune în factori $x^{2} - 4$ . b) Arată că $E (x) =$ $3 (x + 2) (x - 1)$ pentru orice număr real $x$ . c) Calculează $E (98)$ .

Rezolvare pas cu pas

a) $x^{2} - 4 =$ $x^{2} - 2^{2} =$ $(x - 2) (x + 2)$ .
b) Înlocuiești: $E (x) =$ $(x - 2) (x + 2) + (x + 2) (2 x - 1)$ . Ambii termeni conțin paranteza $(x + 2)$ .
Scoți factor comun $(x + 2)$ : $E (x) =$ $(x + 2) (x - 2 + 2 x - 1) =$ $(x + 2) (3 x - 3)$ .
Din a doua paranteză scoți $3$ : $3 x - 3 = 3 (x - 1)$ , deci $E (x) =$ $3 (x + 2) (x - 1)$ .
c) Cu forma descompusă calculul e scurt: $E (98) =$ $3 \cdot 100 \cdot 97 =$ $29100$ .

Răspuns: a) $(x - 2) (x + 2)$ ; b) $E (x) =$ $3 (x + 2) (x - 1)$ ; c) $E (98) = 29100$

Cum alegi metoda de descompunere

Dacă toți termenii au ceva în comun (un număr, o literă sau o paranteză), începi cu factorul comun, indiferent ce urmează.
Dacă rămân doi termeni, amândoi pătrate, cu minus între ei, aplici diferența de pătrate; dacă rămân trei termeni cu două pătrate la capete, verifici termenul din mijloc pentru pătratul unui binom.
Dacă ai patru termeni fără factor comun tuturor, încerci gruparea: doi câte doi sau trei cu unul, până apare aceeași paranteză.

Greșeli frecvente la descompunerea în factori

Te oprești după primul pas. În $5 x (x^{2} - 9)$ descompunerea nu e gata: paranteza se mai descompune în $(x - 3) (x + 3)$ . Descompunerea este completă doar când niciun factor nu se mai poate scrie ca produs.
Uiți $1$ din paranteză. Când scoți $3 x y$ din $3 x y$ , rămâne $1$ , nu nimic. Fără el, la verificare îți lipsește un termen.
Aplici diferența de pătrate la o sumă. Formula $a^{2} - b^{2} =$ $(a - b) (a + b)$ merge doar cu minus. O sumă precum $x^{2} + 9$ nu se descompune cu formulele învățate la clasă.

Exersează : descompunerea în factori

Fișă de lucru: Descompunerea în factori, metode combinate, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Calcul algebric în R, clasa a VIII-acu barem (PDF) Lecția video: Descompunerea în factori, metode combinateclasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre descompunerea în factori

De ce se scoate întâi factorul comun?

Pentru că simplifică expresia și scoate la iveală formulele. În $5 x^{3} - 45 x$ nu vezi imediat nicio formulă, dar după ce scoți $5 x$ rămâne $x^{2} - 9$ , o diferență de pătrate.

Cum verific dacă am descompus corect?

Înmulțești factorii obținuți și trebuie să ajungi exact la expresia de la care ai plecat. Dacă apare alt termen sau alt semn, undeva e o greșeală.

Când este descompunerea completă?

Când niciunul dintre factori nu se mai poate descompune. Verifică fiecare paranteză: dacă mai are un factor comun sau seamănă cu o formulă, mai ai de lucru.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este factorul comun al expresiei $6 x^{2} + 9 x$ ?
2. Descompunerea corectă în factori a expresiei $4 a^{3} - 8 a^{2} + 12 a$ este:
3. Care dintre următoarele expresii NU are factor comun nentrivial (diferit de 1)?
4. Rezultatul descompunerii $15 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3}$ este:
5. Un elev afirmă că $12 a^{2} b - 8 a b^{2} = 4 a b (3 a - 2 b)$ . Afirmația este:

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 2 octombrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

CALCUL ALGEBRIC cu litere, termeni asemenea și paranteze - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT: pătratul sumei, al diferenței și diferența de pătrate - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

VALOAREA MINIMĂ A UNEI EXPRESII și valoarea maximă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

ECUAȚIA DE GRADUL 2 - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a IX-a)

Capitolul 2: Calcul algebric în r

PIRAMIDA TRIUNGHIULARĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

PIRAMIDA PATRULATERĂ REGULATĂ elemente, formule, arie și volum - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună